概率论基础知识

1、主要内容主要内容1.随机事件与概率随机事件与概率2.随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布4.随机变量的数字特征随机变量的数字特征 5.大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理1.随机事件与概率随机事件与概率1.1 随机事件随机事件1.2概率概率1.3条件概率条件概率1.4事件的独立性事件的独立性返回返回1.1 随机事件随机事件一、随机现象一、随机现象二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件三、样本空间三、样本空间四、事件的关系与运算四、事件的关系与运算例子（事件的关系和运算）例子（事件的关系和运算）练习题练习题一、随机现象一、随机

2、现象1. 确定性现象确定性现象: 例如，向上抛一颗石子必然下落；例如，向上抛一颗石子必然下落；同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下60度度的水必定不会沸腾，等的水必定不会沸腾，等 等。等。2. 随机现象随机现象: 例如，抛一枚硬币结果可能是正面例如，抛一枚硬币结果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一朝上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一目标射击的弹着点不尽相同，等等。这类现象目标射击的弹着点不尽相同，等等。这类现象有一个共同特点：即在个别试验中其结果呈现有一个共同特点：即在个别试验中其结果呈现出不确定性出不确定性,而在大量重复试验中其结果又具

3、有而在大量重复试验中其结果又具有某种规律性某种规律性统计规律性统计规律性.3. 概率论与数理统计具有广泛的应用。概率论与数理统计具有广泛的应用。 返回返回二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件 随机试验随机试验(三个特征三个特征):(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; (2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确所有可能的结果所有可能的结果; (3)进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。随机试验的每个可能发生的结果称为随机事件随机试验的每个可能发生的结果称为随机事件.简称为

4、简称为事件事件.事件通常用英文字母事件通常用英文字母A，B，C或或A1,A2表示，记成如下形式：表示，记成如下形式：A=可能发生的结果可能发生的结果.例子例子随机事件例子随机事件例子例例1：已知一批产品共：已知一批产品共30件，内含正品件，内含正品26件，次品件，次品4件，件，从中一次取出从中一次取出5件的试验件的试验.则则Ai=恰有恰有i件次品件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品最多有三件次品；C=正品不超过正品不超过2件件等都是随机事件，他们在一次试验中可能发生也可能不发生等都是随机事件，他们在一次试验中可能发生也可能不发生.例例2：掷一粒骰子，观察它出现的点数。可：

5、掷一粒骰子，观察它出现的点数。可能的结果为：能的结果为： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 三、样本空间三、样本空间 一般地，在随机试验中，把不可分割的事件称为一般地，在随机试验中，把不可分割的事件称为基本事件；由两个及两个以上基本事件组合而成的基本事件；由两个及两个以上基本事件组合而成的事件称为复合事件事件称为复合事件. 对于随机试验的每一个基本事件，我们可以用对于随机试验的每一个基本事件，我们可以用只含一个元素的单元素只含一个元素的单元素 表示，其中表示，其中 与与 表表示的基本事件一一对应示的基本事件一一对应.和所有基本事件相对应的元素和所有基本事件相对应的元素的全体组成的集合称

6、为该随机试验的样本空间，通常记的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，通常记作作 ，样本空间中的元素称为样本点，样本空间中的元素称为样本点.四、四、 事件的关系与运算事件的关系与运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系: 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生, 则称事则称事件件B包含事件包含事件A,记作记作A B。 若若A B且且A B, 即即A=B, 则称则称A与与B相等相等BA2事件的并事件的并由属于由属于A或者属于或者属于B的所有样本点组成的集合，的所有样本点组成的集合，称为称为A与与B的并（或者和），记作的并（或者和），记作 或者或者A+B.显然事件表示显然事

7、件表示“事件事件A与与B事件至少有事件至少有一个发生一个发生”这一事件这一事件.BAAB3事件的交事件的交由属于同时由属于同时A又属于又属于B的所有样本点组成的的所有样本点组成的集合，称为集合，称为A与与B的交（或者积），记作的交（或者积），记作 或者或者 .显然事件显然事件 表示表示“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”这一事件这一事件.BA ABBAABBA4事件的差事件的差由属于由属于A但不属于但不属于B的所有样本点组成的所有样本点组成的集合，称为的集合，称为A与与B的差，记作的差，记作 .事事件件 表示表示“事件事件A发生而事件发生而事件B不发不发生生”这一事件这一事件. BAB

8、AABBA5对立事件对立事件样本空间样本空间 与与A的差的差 称为事件称为事件A的的对立事件（或者逆事件），记作对立事件（或者逆事件），记作 ，事，事件件 表示表示“事件事件A不发生不发生”. 对立事件对立事件A和和 间的关系可以表示为：间的关系可以表示为：.AAAAAAAA,AA6互不相容事件互不相容事件如果在同一试验中，事件如果在同一试验中，事件A与事件与事件B不可能不可能同时发生，则称事件同时发生，则称事件A与事件与事件B互不相容互不相容.记记作作 .基本事件是互不相容的基本事件是互不相容的.BAAB补充点补充点补充点补充点事件的并、交和互不相容事件可推广到事件的并、交和互不相容事件可推

9、广到n个事件间的关系个事件间的关系.现就互不相容事件叙述如下：在一次事件现就互不相容事件叙述如下：在一次事件中，如果中，如果n个事件个事件 两两互不相两两互不相容，则称容，则称 是互不相容的事件组是互不相容的事件组.如果互不相容的事件组如果互不相容的事件组 满足满足 ，则称事件组则称事件组 为一个划分为一个划分.nAAA,.,21nAAA,.,21nAAA,.,21121.nniiAAAA 或 记 作nAAA,.,21可以验证集合的运算率均适用于事件的可以验证集合的运算率均适用于事件的运算，即事件的运算满足下列关系式：运算，即事件的运算满足下列关系式：（1）交换律：）交换律： （2）结合律：）

10、结合律： （3）分配律：）分配律： （4）德莫根）德莫根(Demorgan)公式：公式： 其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个 事件的情形事件的情形.ABBAABBA,CBACBACBACBA)()(,)()()()()(),()()(CABACBACABACBABABABABA,返回返回例子例子1例例 一个货箱中装有一个货箱中装有12只同类型的产品，其中只同类型的产品，其中3只是一等品，只是一等品，9只是二等品，从其中随机地抽取只是二等品，从其中随机地抽取两次，每次任取一只，两次，每次任取一只， 表示第表示第i次抽取的次抽取的是一等品，试用是一等品

11、，试用 表示下列事件：表示下列事件：B=两只都是一等品两只都是一等品C=两只都是二等品两只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的是一等品第二次抽取的是一等品)2 , 1( iAi)2 , 1( iAi解题过程解题过程解题过程解题过程解解 ：由题意，：由题意， 第第i次抽取的是一等品次抽取的是一等品，故，故 第第i次抽取的是二等品次抽取的是二等品iAiA21AAB 12CAA 2121AAAAD)()(2121AAAAE例子例子2例例 从从1，2，3，4，5，6六个数字中任取一个六个数字中任取一个数，数，A=取得的数为取得的数为4的约数的约数，B=取得

12、的数为取得的数为偶数偶数，C=取得的数不小于取得的数不小于5.试用集合表示下列事件试用集合表示下列事件：(1)(2)事件事件“A发生，发生，C不发生不发生”；事件；事件“B,C至少至少有一有一个发生个发生”的逆事件的逆事件 BCABBA,解题过程解题过程例子例子2解题过程解题过程解解 设设i表示基本事件表示基本事件取得的数为取得的数为i所对应的样本所对应的样本点，则样本空间点，则样本空间 (1)(2)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 14 , 2 , 1A6 , 4 , 2B6 , 5C6 , 4 , 2 , 16 , 4 , 24 , 2 , 1 BA64 , 2 , 16 , 4 ,

13、 2 AB55 , 3 , 16 , 5BCBCBC1,2,41,2,3,41,2,4AC 3 , 14 , 3 , 2 , 15 , 3 , 1CBCB返回返回练习题练习题1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？能事件？（1）某商店有男店员）某商店有男店员2人，女店员人，女店员8人，任意抽调人，任意抽调3人去人去做其他的工作，那么做其他的工作，那么A=3个都是女店员个都是女店员,B=3个都是男个都是男店员店员，C=至少有至少有1个男店员个男店员，D=至少有至少有1个女店员个女店员(2) 一批产品中只有一批产品中只有2件次品，现从中任取件次

14、品，现从中任取3件，则件，则A=三三件都是次品件都是次品，B=至少至少1件正品件正品，C=至多至多1件正品件正品，D=恰有恰有2件次品和件次品和1件正品件正品练习题练习题2练习题练习题22。一个工人加工了。一个工人加工了4个零件，设个零件，设 表示第表示第 i个个零件是合格品，试用零件是合格品，试用 表示下列事件：表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；）至少有一个零件是不合格品；（3）只有一个零件是不合格品）只有一个零件是不合格品.iA4321,AAAA3。A,B,C为一次试验中的三个事件，试用为一次试验中的三个事件，试用A,B,

15、C表示下列表示下列事件：事件：（1）A发生，发生，B,C不发生；不发生； (2)A,B中至少有一个发生；中至少有一个发生； (3)A,B,C至少有一个不发生；至少有一个不发生；(4)A,B,C至多有一个发至多有一个发生生.返回返回1.2 概概 率率一、概率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义2.概率的古典定义概率的古典定义3.概率的定义与简单计算概率的定义与简单计算二、概率的运算公式二、概率的运算公式 加法公式加法公式一、概率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义在相同的条件下进行在相同的条件下进行n次重复试验，事件次重复试验，事件A发生的次数发生的次数m称为事件

16、称为事件A发生的频数；发生的频数；m与与n的比值称为事件的比值称为事件A发生的频率，记作发生的频率，记作 nmAfAfnn)(),(即一般地，当试验次数一般地，当试验次数n增大时，事件增大时，事件A发发生的频率生的频率 总是稳定在某个常数总是稳定在某个常数p附近，附近，这时就把这时就把p称为事件称为事件A发生的概率，简称发生的概率，简称事件事件A的概率，记作的概率，记作 上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确定的，故这个定义称为概率的统计定义定的，故这个定义称为概率的统计定义.根据这根据这个定义，通过大量的重复试验，用事件发生的个定义，通过大量的重复试

17、验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的概率的常用基本方法概率的常用基本方法. )(AfnpAP)(返回返回2.概率的古典定义概率的古典定义考虑下面两个随机试验：考虑下面两个随机试验：E1：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的点数，基本事件有点数，基本事件有6个，由骰子的个，由骰子的“均均匀性匀性”可知，每一个基本事件发生的可可知，每一个基本事件发生的可能性相等能性相等.E2：一批产品有：一批产品有N个，要随机抽取一个，个，要随机抽取一个，检测其等级，则检测其等级，则N个产品被抽取的机会个产品被抽取的机会是相

18、同的，每一次检测的结果就是一个是相同的，每一次检测的结果就是一个基本事件，故基本事件，故N个基本事件出现的可能个基本事件出现的可能性相等性相等.这两个试验都具有以下特点：这两个试验都具有以下特点：(1)只有有限个基本事件只有有限个基本事件(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同.这类随机试验称为等可能概型，由于这种概型在概这类随机试验称为等可能概型，由于这种概型在概率论发展初期是主要研究对象，所以也称为古典概率论发展初期是主要研究对象，所以也称为古典概型型.在古典概型中，若基本事件的总数为在古典概型中，若基本事件的总数为n，事件，事件包含的基本事件

19、数为包含的基本事件数为m，则事件的概率定义，则事件的概率定义为为 ，这个定义称为概率的古典定义，这个定义称为概率的古典定义.nmAP)(返回返回3概率的定义与简单计算概率的定义与简单计算与随机试验相联系的数量指标与随机试验相联系的数量指标 ，都具，都具有下列共同的属性：有下列共同的属性：(1)(2)(3) 为互不相容事件，则为互不相容事件，则 )(AP1)(0AP0)(, 1)(PPnAAA,.,21niiiniAPAP11)(在数学上，刻划随机试验中事件在数学上，刻划随机试验中事件A的的 发生发生 的可能性大小的数值，如果满足上述三条性质，的可能性大小的数值，如果满足上述三条性质，就称为事件

20、的概率就称为事件的概率.)(AP由上述三条基本性质还可以推出：由上述三条基本性质还可以推出： )(1)(APAP返回返回二、概率的运算公式二、概率的运算公式加法公式加法公式由概率的性质知道，若事件由概率的性质知道，若事件A和和B互不相互不相容，即容，即 则则 BA)()()(BPAPBAPAB事件事件 时，上式就不成立了时，上式就不成立了. BAAB而有而有)()()()(BAPBPAPBAP该公式称为概率的加法公式该公式称为概率的加法公式加法公式可推广到有限个事件至少有一个加法公式可推广到有限个事件至少有一个发生的情形，如三个事件发生的情形，如三个事件 的并的加的并的加法公式为：法公式为：C

21、BA,()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC返回返回1.3条件概率条件概率一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式1.条件概率条件概率2.乘法公式乘法公式二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式2.贝叶斯公式贝叶斯公式 补充点补充点练习题练习题返回一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式一般地，把一般地，把“在事件在事件B已发生的条件下，事已发生的条件下，事件件A发生的概率发生的概率”称为条件概率，记作称为条件概率，记作，读作，读作“在条件在条件B下，事件下，事件A的概率的

22、概率”.)(BAP()()()0()PA BPA BP BP B同理同理()()( )0( )P ABP B AP AP AAB1.条件概率条件概率返回返回2.乘法公式乘法公式由条件概率的一般公式由条件概率的一般公式,得得 ()( ) ()( ( )0)()( ) ()( ( )0)P ABP B P A BP BP ABP A P B AP A 上述公式称为概率的乘法公式上述公式称为概率的乘法公式.概率的乘法公式可推广到有限个事件交概率的乘法公式可推广到有限个事件交的情形的情形.设有设有n个事件个事件 满足满足 则则 12,.,nA AA0),.,(21nAAAP).().()()().(1

23、2121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP当当n=3时时返回返回二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式设设 是联系于一随机试验的完备是联系于一随机试验的完备事件组事件组.任一事件任一事件 可表示成可表示成 nHHH,.,21)(AAAHHHAAn).(21121()().()nniiH AH AH AH A由前面已学公式得由前面已学公式得111( )()()() (|)nnniiiiiiiP APH AP H AP H P A H该公式称为全概率公式该公式称为全

24、概率公式返回返回2.贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式设设 是样本空间的一个完备事是样本空间的一个完备事件组件组,A是任一事件是任一事件,且且 ,则则nHHH,.,21( )0P A () (|)(|)( )iiiP H P A HP HAP A1() (|)() (|)iiniiiP HP A HP HP A H1,2,in该公式称为贝叶斯公式该公式称为贝叶斯公式.在使用该公式时往往先利用全概率公式求出在使用该公式时往往先利用全概率公式求出( )P A返回返回补充点补充点对于全概率公式和贝叶斯公式对于全概率公式和贝叶斯公式.可以直观可以直观地进行如下理解地进行如下理解:把事件把事件A看成看成

25、“结果结果”,把把 看成导致这一结果的看成导致这一结果的“原原因因”, 把全概率公式看成为把全概率公式看成为“由原因推结果由原因推结果”,把贝叶斯公式看成把贝叶斯公式看成“由结果找原因由结果找原因”。两正好相反两正好相反.nHHH,.,21返回返回1.4事件的独立性事件的独立性1.事件的独立性事件的独立性 2.N重贝努利试验重贝努利试验 返回返回1.事件的独立性事件的独立性一般地，设事件一般地，设事件A,B是一随机试验的两个是一随机试验的两个事件事件,且且 ，若，若 ，则称事件则称事件B对事件对事件A是独立的，否则称为不是独立的，否则称为不独立的独立的.0)(AP)()|(),()|(BPAB

26、PBPABP结论结论结论结论由定义可推出下列结论：由定义可推出下列结论：(1)若事件若事件A独立于事件独立于事件B，则事件，则事件B也独立于事件也独立于事件A,即两事件的独立性是相互的即两事件的独立性是相互的.(2)若事件若事件A与事件与事件B相互独立，则三对事件相互独立，则三对事件 与与 ，A 与与 ， 与与 B也都是相互独立的也都是相互独立的.(3)事件事件A与与B相互独立的充要条件是，相互独立的充要条件是，两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一事件是否发生互不影响与另一事件是否发生互不影响.AABB)()()(BPAPABP推广推广推广

27、推广事件的独立性可推广到有限个事件的情形事件的独立性可推广到有限个事件的情形:若事件组若事件组 中的任意中的任意k 个事件交的个事件交的概率等于它们的概率积，则称事件组概率等于它们的概率积，则称事件组 是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其他事件发生与否的影响他事件发生与否的影响.例如例如:三个事件三个事件A,B,C若满足等式若满足等式 则称事件则称事件A,B,C是相互独立的是相互独立的 nAAA,.,21nAAA,.,21)2(nk ),()()(),()()(CPAPACPBPAPABP)()()()(),()()(CPBPAPABCPCPBP

28、BCP注意点注意点注意点注意点事件组相互独立，其中任意两事件相互独事件组相互独立，其中任意两事件相互独立；反之却不一定正确立；反之却不一定正确.在实际问题中，两事件是否独立，并不总在实际问题中，两事件是否独立，并不总是用定义或充要条件来检验的，而可以根是用定义或充要条件来检验的，而可以根据具体情况来分析、判断据具体情况来分析、判断.只要事件之间只要事件之间没有明显的联系，我们就可以认为它们是没有明显的联系，我们就可以认为它们是相互独立的相互独立的.返回返回2.N重贝努利试验重贝努利试验如果随机试验只出现两种结果如果随机试验只出现两种结果 ,则称其为则称其为伯努里试验伯努里试验 .在相同的条件下

29、在相同的条件下,对同一试验重复进行对同一试验重复进行n次次,如果如果每次试验的结果互不影响每次试验的结果互不影响,则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n次独立试验次独立试验.n次独立的伯努里试验称为次独立的伯努里试验称为n重伯努重伯努里试验里试验.对于对于n重贝努利试验重贝努利试验,我们最关心的是在我们最关心的是在n次独立次独立重复试验中重复试验中,事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率AA和( )nP k定理定理定理定理在在n重贝努利试验中重贝努利试验中,设每次试验中事件设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p( ) ,则事件则事件A恰好发恰好发生生k次的概率次的概率若记若记则则

30、 ,由于由于 恰好是恰好是展开式的展开式的k+1项项,所以称此公式为二项概率所以称此公式为二项概率公式公式01p( )(1)kkn knnP kC pp0,1,2,kn1qp ( )kkn knnP kC p qkkn knC p q()npq返回返回2.随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布2.1离散型随机变量离散型随机变量2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布 2.1离散型随机变量离散型随机变量1.随机变量的概念随机变量的概念2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律

31、3.0-1分布与二项分布分布与二项分布 0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 练习题练习题2.1 返回返回1.随机变量的概念随机变量的概念为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试验中的基本事件与实数集建立某种联系验中的基本事件与实数集建立某种联系.例如例如:某人向一飞机射击，观察其是否击中飞某人向一飞机射击，观察其是否击中飞机，机， 则基本事件则基本事件A=击中击中,B=未击中未击中构成一个构成一个完备事件组完备事件组.为了便于研究为了便于研究,我们引进

32、变量我们引进变量X,规定规定X取取1,0分别对应分别对应“击中击中”,“未击中未击中”事件事件.从而从而对事件对事件A,B的研究就转化为对实数的研究就转化为对实数X的研究的研究.定义定义定义定义一般地，按研究随机试验的某种规律性要求，建一般地，按研究随机试验的某种规律性要求，建立样本空间立样本空间与实数集的某个子集的某种对应关与实数集的某个子集的某种对应关系，使每个基本事件都有一个确定的实数与之对系，使每个基本事件都有一个确定的实数与之对应应.与全体基本事件相对应的数组成的集合记为与全体基本事件相对应的数组成的集合记为M，用一个变量在，用一个变量在M中（或在中（或在M的某个范围内）的的某个范围

33、内）的取值来表示和变量的取值所对应的基本事件组成取值来表示和变量的取值所对应的基本事件组成的事件，我们把这样的变量称为的事件，我们把这样的变量称为随机变量随机变量，M称为称为随机变量的取值范围随机变量的取值范围. 随机变量通常用随机变量通常用X,Y,Z等表等表示示. 返回返回2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律若随机变量的取值可以一一列举（有限个若随机变量的取值可以一一列举（有限个或无穷可列个）出来，则称这类随机变量或无穷可列个）出来，则称这类随机变量为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量对于离散型随机变量,我们需要知道它的我们需要知道它的所有可能值及取每一个可能

34、值的概率所有可能值及取每一个可能值的概率. 分布律分布律分布律分布律设设X为离散型随机变量为离散型随机变量,可能取值为可能取值为且且 则称则称 为为X的分布律的分布律(或分布列或分布列)分布律常用表格表示分布律常用表格表示,这样更为直观这样更为直观.12,kx xx(),1,2,kkP Xxp kkpX P1x2xkx1p2pkp性质性质分布律性质分布律性质随机变量的分布律具有下列性质随机变量的分布律具有下列性质：(1)(2),.)2 , 1(0kpkkkp1返回返回反之，若一数列具有以上性质，就可以看作反之，若一数列具有以上性质，就可以看作为某一随机变量的分布律为某一随机变量的分布律0-1分

35、布分布若随机变量若随机变量X只取两个可能值只取两个可能值0,1,且且则称则称X服从服从0-1分布分布.X的分布律为的分布律为:(1)P Xp(0)P Xq01,1ppq其中其中01XPqp0-1分布常用于随机试验只考虑两种结果分布常用于随机试验只考虑两种结果,比比如抛硬币如抛硬币,正面与反面正面与反面;投篮投篮,中与不中等等中与不中等等.返回返回二项分布二项分布一般地，在一般地，在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A在每次试在每次试验中发生的概率为验中发生的概率为p，X表示在表示在n次试验中次试验中A发生发生的次数，则的次数，则X的分布列为的分布列为 其中其中则称则称X服从参数为服从参

36、数为n,p的二项分布，简记为的二项分布，简记为()(0,1,2,3,. ).kkn knP XkC p qkn01,1ppq二项分布是一种常用的分布。二项分布是一种常用的分布。),(pnBX泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理设设 是常数，是常数，n是任意正整数，且是任意正整数，且则对于任意取定的非负整数则对于任意取定的非负整数k，有，有由泊松定理，我们可得，当由泊松定理，我们可得，当n很大，很大，p很小时，很小时，有近似公式有近似公式注：在实际的计算中，当注：在实际的计算中，当 时，计算时，计算用上述公式效果颇佳！用上述公式效果颇佳！0nnplim(1)!kkkn knnnnC ppekekpp

37、Ckknkkn!)1 (其中其中np05. 0,20pn返回返回泊松分布泊松分布如果随机变量的分布律为如果随机变量的分布律为 ，则称则称X服从参数服从参数 的泊松分布，记作的泊松分布，记作 .服从泊松分布的随机变量服从泊松分布的随机变量X的概率值可在附录的的概率值可在附录的泊松分布表中查出泊松分布表中查出.,.),.,2 , 1 , 0, 0(!)(nkekkXPk)(PX返回返回2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数 1。 分布函数的概念分布函数的概念 2。 分布函数的性质分布函数的性质返回返回1。分布函数的概念。分布函数的概念设设X为随机变量，称函数为随机变量，称函数为为X的分布函数。

38、的分布函数。注意：随机变量的分布函数的定义适应于任意的注意：随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量。随机变量。 离散型的分布函数离散型的分布函数),(),()(xxXPxF离散型的分布函数离散型的分布函数由于由于 ，由概率的性质知，由概率的性质知， 即即:xxkkxXxXxxkxxkkkpxXPxXPxF)()( )kkxxF xp其中求和是对所有满足其中求和是对所有满足 时相应的概率时相应的概率 求和求和kxxkp返回返回分布函数的性质分布函数的性质(1) 是不减函数是不减函数,即对于任意的即对于任意的 有有 即即(4) 右连续右连续,即即0( )1F x( )F x12xx12()(

39、)F xF x()0,()1FF lim( )0, lim( )1xxF xF x( )F x0(0)lim()( )xF xF xxF x 已知已知X的分布函数的分布函数F(x),我们可以得出我们可以得出下列事件的概率下列事件的概率. 结论结论结论结论(1)(2)(3)( )P XbF b( )( )P aXbF bF a1( )P XbF b 返回返回2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1。连续型随机变量及其概率密度。连续型随机变量及其概率密度2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布3。正态分布。正态分布 分位数分位数返回返回1。连续型随机变量及其概率密度。连续型随

40、机变量及其概率密度若对于随机变量若对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负函，存在非负函数数f(x)，使得对于任意的实数，使得对于任意的实数x，有，有则称则称X为连续型随机变量，并称为连续型随机变量，并称f(x)为为X的概率的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。密度函数，简称概率密度（或密度函数）。 xdttfxF)()(连续型随机变量在某一点的概率连续型随机变量在某一点的概率连续型随机变量在某一点的概率连续型随机变量在某一点的概率对于任意的实数对于任意的实数x， ，有，有当当f(x)可积时，可积时，F(x)为连续函数，令为连续函数，令则则 即连续型随机变量在某一点的概率为零

41、即连续型随机变量在某一点的概率为零.0 x)()(0 xxFxFxXxxPxXP0 x0 xXP性质性质性质性质（1）（2）（3）（4）设）设x为为f(x)的连续点，则的连续点，则 存在，且存在，且0)(xf1)(dxxfbadxxfaFbFbXaP)()()(badxxfbXaPbXaPbXaP)(另有另有若若(1)(2)两个性质符合就是连两个性质符合就是连续型随机变量的概率密度续型随机变量的概率密度注，性质注，性质(3)离散型没有离散型没有)( xF)()( xfxF几何意义几何意义几何意义几何意义如图如图yx0abf(x)bxaP图中阴影部分面积代表了该区域的概率。图中阴影部分面积代表了

42、该区域的概率。返回返回2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从区间服从区间 上的均匀分布上的均匀分布,简记为简记为其分布函数为其分布函数为: , a b其他,0,1)(bxaabxf , Xa b0( )1xaF xbaxaaxbxb直观图形直观图形几何图形几何图形如图f(x)0 xab1baF(x)0abx另有计算公式另有计算公式另有公式另有公式如果如果 是是 的一个子区间（即的一个子区间（即 ），），则有则有上式表明上式表明X在在 任一子区间取值的概率与区间任一子区间取值的概率与区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，

43、也就是的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是说，说，X在区间在区间 上的概率分布是均匀的，因此上的概率分布是均匀的，因此叫做均匀分布叫做均匀分布.使用这一公式计算均匀分布的概率很方便使用这一公式计算均匀分布的概率很方便.,dc,babdca11()( )()ddccP cXdf x dxdxdcbaba,ba,ba返回返回指数分布指数分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分的指数分布布.简记为简记为其分布函数为其分布函数为,0( )0,0 xexf xx01( )0 xeF x 00 xx指数分布有着广泛的

44、应用，常用来做各种指数分布有着广泛的应用，常用来做各种“寿命寿命”分布的近似，分布的近似，例如动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时例如动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等，都通常假定服从指数分布间等，都通常假定服从指数分布. )(EX返回返回3。正态分布。正态分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数且为常数且 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 的正态分布，记作的正态分布，记作 .正态分布的密度函数的图像称为正态曲线正态分布的密度函数的图像称为正态曲线 )(21)(222)(xexfx,02,),(2NX几何图形几何图形几何图

45、形几何图形如图如图f(x)x0aa图形特点及正态分布曲线的性质图形特点及正态分布曲线的性质(1)曲线关于曲线关于 对称对称(2)当当 时，取到最大值时，取到最大值(3)参数参数 决定正态曲线的形状，决定正态曲线的形状， 较大曲线较大曲线扁平，扁平， 较小曲线狭高较小曲线狭高. xx21)(xf分布函数分布函数分布函数分布函数设设 ，则，则X的分布函数为的分布函数为特别地，当特别地，当 时的正态分布时的正态分布 ，称为标，称为标准的正态分布。准的正态分布。其密度函数为其密度函数为其分布函数为其分布函数为 dtexFxt222)(21)(),(2NX1, 0) 1 , 0(N)(21)(22xex

46、xdtedttfxXPxxtx2221)()()(标准正态分布密度函数图形标准正态分布密度函数图形标准正态分布密度函数图形标准正态分布密度函数图形如图如图)(xx0aa图形关于图形关于 轴对称，且在轴对称，且在 取得最大值取得最大值y0 x21标准正态分布函数标准正态分布函数 的性质的性质(1)(2)(x)(1)(xx21)0(计算公式计算公式计算公式计算公式标准正态分布函数的值可以直接查表得。标准正态分布函数的值可以直接查表得。一般的正态分布函数一般的正态分布函数 与标准的正态分布函数与标准的正态分布函数 的关系，设的关系，设)(1)(1)(),()()()()(aaXPaXPabaXPbX

47、PbXaP)(xF)(x)()(xxXPxF),(2NX)()(abaXPbXPbXaP)(1aaXP分位数（临界值）分位数（临界值）定义定义 标准正态分布的临界值记为标准正态分布的临界值记为 ， 满足满足 则称点则称点 为标准正态分布的分位数（或临界为标准正态分布的分位数（或临界值）值） 由由 ，查标准正态分布表求查标准正态分布表求 .uu)(1)(uXPuXPu1)()(uuXPu返回返回2.4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布1.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布 2.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布返回返回1.离散型随机变量函数的

48、概率分布离散型随机变量函数的概率分布设设g(x)是一给定的连续函数是一给定的连续函数,称称 为随机变为随机变量量X的一个函数的一个函数,显然显然Y也是一个随机变量也是一个随机变量.当当X取取值值x时时,Y取值取值y=g(x).重点在于讨论如何由已知的随机变量重点在于讨论如何由已知的随机变量X的概率分的概率分布布,去求函数去求函数 的概率分布的概率分布.()Yg X()Yg X结论结论结论结论离散型随机变量离散型随机变量X的取值可列的取值可列 ,则则Y的的取值也是可列的取值也是可列的 ,因此因此Y也是也是个离散型随机变量个离散型随机变量.但是但是 中可中可能有相等的情况能有相等的情况.当当 有相

49、等的情况时有相等的情况时,应把应把 相等的那些相等的那些 所对应的概率相加所对应的概率相加,作为作为Y取值取值的概率的概率.12,kx xx12(), (),(),kg xg xg x12(), (),(),kg xg xg x12(), (),(),kg xg xg x()kg xix()kg x注：在最后所得分布律，按注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然的各取值的自然顺序重新排列一下顺序重新排列一下返回返回2.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布设设X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为设设 是一严格单调的可导函数，其值域为是一严格单调的可导

50、函数，其值域为 且且 。记。记 为为 的反函数，则的反函数，则的概率密度的概率密度特别地，当特别地，当 时时)(xfX)(xg,0)( xg)(yhx )(xgy )(XgY 0| )( |)()(yhyhfyfXY其他 y,| )( |)()(yhyhfyfXYy返回返回3.多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念3.2随机变量的独立性随机变量的独立性3.3两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 返回返回3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数2。二维离散型随机变量。二维离散型

51、随机变量 3。二维连续型随机变量的概率密度和边。二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度缘概率密度返回返回1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数定义定义 n个随机变量个随机变量 ，构成的整体，构成的整体 称为一个称为一个n维随机变量或维随机变量或n维随机维随机向量，向量， 称为称为X的第的第i个分量。个分量。定义定义 设设 为一个二维随机变量，记为一个二维随机变量，记称二元函数称二元函数 为为X与与Y的联合分布函数或称为的联合分布函数或称为 的分布函数。的分布函数。nXXX,21),(21nXXXXiXni, 2 , 1),(YX,),(yYxXPyxFxy),(yxF),(

52、YX续续（续）二维随机变量（续）二维随机变量 的两个分量的两个分量X与与Y各自的分布函数分别称为各自的分布函数分别称为二维随机变量二维随机变量 关于关于X与关于与关于Y的边缘分布函的边缘分布函数，记为数，记为 与与 。 边缘分布函数与联合分布函数的关系。边缘分布函数与联合分布函数的关系。),(YX),(YX)(xFX)(yFY),(,)(xFYxXPxXPxFX),(limyxFy),(,)(yFyYXPyYPyFY),(limyxFx 几何图形几何图形几何图形几何图形如图如图xyo),(yxDD为分布函数为分布函数 在在 处的函数值处的函数值),(yxF),(yxD为以为以 为顶点，位为顶点

53、，位于该点左下方的无穷矩形于该点左下方的无穷矩形),(yxxy0),(11yx),(21yx),(22yx),(12yx1y1x2y2x矩形域为落在区域矩形域为落在区域内的概率。内的概率。,2121yYyxXx计算公式计算公式计算公式计算公式落在矩形域内概率为落在矩形域内概率为分布函数分布函数 的性质的性质(1) 是变量是变量x或或y的不减函数的不减函数(2)(3) 关于关于x和关于和关于y均右连续均右连续(4)对任意固定的对任意固定的 ， 有有),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP),(yxF),(yxF1),(0yxF),(yxF21xx

54、21yy 0),(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF返回返回2。二维离散型随机变量。二维离散型随机变量定义定义 若二维随机变量若二维随机变量 只取有限多对或可只取有限多对或可列列无穷多对无穷多对 ，则称，则称 为二维为二维离散随机变量。离散随机变量。设二维随机变量设二维随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 ， 在各个可能取值的概率为：在各个可能取值的概率为：),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YX),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YXijjipyYxXP, 2 , 1,ji分布律分布律性质性质性质性质 的分布律具有下列性质：的分布律具

55、有下列性质：(1)(2)由由 的分布律可求得它的分布数的分布律可求得它的分布数 ，),(YX0ijp, 2 , 1,ji1ijijp),(YX),(yxFxxyyijijpyYxXPyxF,),(边缘分布律边缘分布律边缘分布律边缘分布律定义定义 对于离散型随机变量（对于离散型随机变量（X,Y），分量），分量X或或Y的分布律称为（的分布律称为（X,Y）关于）关于X或或Y的边缘分布的边缘分布律，记为律，记为 或或可由（可由（X,Y）的分布律求出。）的分布律求出。ip1,2,3i jp1,2,3j iiijjpP Xxp1,2,3i jjijipP Yyp1,2,3j 性质性质性质性质边缘分布律具有

56、下列性质：边缘分布律具有下列性质：（1）（2）0jp0ip ,1,2,3i j 1ijip 1ijjp 返回返回3。二维连续型随机变量的概率密度和。二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度边缘概率密度定义：设二维随机变量定义：设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为若存在非负可积函数为若存在非负可积函数为 ，使得对于任意，使得对于任意的实数的实数x,y都有都有则称则称 为二维连续型随机变量，并称为二维连续型随机变量，并称为为 的概率密度函数或的概率密度函数或X与与Y的联合密度函的联合密度函数。数。(, )X Y( , )F x y( , )f x y( , )( , )xyF x yf u

57、v dudv (, )X Y( , )f x y(, )X Y性质性质性质性质按定义：概率密度函数按定义：概率密度函数 有以下性质：有以下性质：（1）（2）( , )f x y( , )0f x y ( , )1f x y dxdy 分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系若若 在在 处连续，则有处连续，则有( , )f x y( , )x y2( , )( , )F x yf x yx y 概率计算公式概率计算公式概率计算公式概率计算公式如果已知如果已知 的概率密度的概率密度 ，则，则在平面区域在平面区域D内取值的概率为：内取值的概率为：(, )X Y( , )f x y(, )X

58、Y(, )( , )DPX YDf x y dxdy几何意义：随机点几何意义：随机点 落在平面区域落在平面区域D上的上的概率等于以平面区域概率等于以平面区域D为底，以曲面为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积。为顶的曲顶柱体的体积。(, )X Y( , )zf x y两种重要的分布两种重要的分布两种重要的分布两种重要的分布1。均匀分布。均匀分布 定义定义 2。二维正态分布。二维正态分布 定义定义 连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布返回返回均匀分布定义均匀分布定义设设D为平面上的有界区域，其面积为为平面上的有界区域，其面积为S且且S0，如果二维随机变量（如果二维随机变量（X,Y）的概率

59、密度为）的概率密度为则称（则称（X,Y）服从区域）服从区域D上的均匀分布（或称上的均匀分布（或称（X,Y）在）在D上服从均匀分布），记作上服从均匀分布），记作 01),(SyxfelseDyx),(DUYX),(特殊情形特殊情形特殊情形特殊情形（1）D为矩形区域，为矩形区域， 此时此时（2）D为圆形区域，如（为圆形区域，如（X,Y）在以原点为圆）在以原点为圆心，心，R为半径的圆域上服从均匀分布，则（为半径的圆域上服从均匀分布，则（X,Y） 的概率密度为的概率密度为dycbxa,0)(1),(cdabyxfelsedycbxa, 01),(2RyxfelseRyx222 返回返回二维正态分布定义

60、二维正态分布定义若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）概率密度为：）概率密度为：其中其中 都是常数，且都是常数，且则称（则称（X,Y）服从二维正态分布，记作）服从二维正态分布，记作)()(2)()1 (212212222212121212121),(yyxxeyxf),(yx,2221211| , 0, 021),(),(222121NYX返回返回连续型随机变量（连续型随机变量（X,Y）的边缘分布）的边缘分布定义：对连续型随机变量（定义：对连续型随机变量（X,Y），分量），分量X或或Y的概率密度称为（的概率密度称为（X,Y）关于）关于X或或Y的边缘概率的边缘概率密度，简称边缘密度，记为密度，