超导电子学－2.1ppt

1、许伟伟许伟伟南京大学超导电子学研究所南京大学超导电子学研究所2约瑟夫森隧道效应约瑟夫森隧道效应电子对所对应的隧道效应电子对所对应的隧道效应n 约瑟夫森方程约瑟夫森方程n 磁场的作用磁场的作用n 约瑟夫森结的电动力学方程约瑟夫森结的电动力学方程n关于结参数的讨论关于结参数的讨论n隧道结内的谐振模式隧道结内的谐振模式63 由巴丁由巴丁(Bardeen)、库珀、库珀(Cooper)和施瑞弗和施瑞弗(Schrieffer)建立了微建立了微观理论（观理论（BCS），在实验中得到证实的），在实验中得到证实的 “微观量子态微观量子态”可以很好的可以很好的解释超导机理，根据这个理论，超导中的电子以解释超导机理

2、，根据这个理论，超导中的电子以“库柏对库柏对”的形式的形式存在，电流载流子的运动遵循微观量子理论。存在，电流载流子的运动遵循微观量子理论。哈密顿量哈密顿量哈密顿量，哈密顿量，H，是一个描述系统总能量的算符，为一个可观测量，是一个描述系统总能量的算符，为一个可观测量，对应于系统的总能量。对应于系统的总能量。哈密顿量是系统各类各种能量态的总集合，如果我们将哈密顿算符哈密顿量是系统各类各种能量态的总集合，如果我们将哈密顿算符的谱，视为测量系统总能时所有可能结果的集合。哈密顿算符的谱可的谱，视为测量系统总能时所有可能结果的集合。哈密顿算符的谱可以透过谱测度被分解，成为纯点、绝对连续、奇点三种部分。而这

3、三以透过谱测度被分解，成为纯点、绝对连续、奇点三种部分。而这三种部分对应系统的三种不同的能量状态。纯点谱与本征矢量相应，奇种部分对应系统的三种不同的能量状态。纯点谱与本征矢量相应，奇点对应到系统的束缚态。绝对连续谱则对应到自由态。点对应到系统的束缚态。绝对连续谱则对应到自由态。薛定谔方程薛定谔方程在势场在势场V（x）中的粒子，其经典哈密顿量）中的粒子，其经典哈密顿量H=T+V的算符表示成：的算符表示成：哈密顿算符哈密顿算符=动能算符动能算符+势能势能若若4 为在时间为在时间 t 的系统状态，哈密顿算符产生了量子态的时间演化：的系统状态，哈密顿算符产生了量子态的时间演化：其中其中 为约化普朗克常

4、数，此方程为薛定谔方程。为约化普朗克常数，此方程为薛定谔方程。若给定系统在某一初始时间（若给定系统在某一初始时间（t = 0）的状态，可以积分得到接）的状态，可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 H 与时间无关，则与时间无关，则薛定谔方程是用来描述微观体系粒子运动状态，其表达形式就是哈密薛定谔方程是用来描述微观体系粒子运动状态，其表达形式就是哈密顿量本征函数的形式。顿量本征函数的形式。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后，再乘上

5、时间部分以后就成了完整的波函求出定态波函数的空间部分后，再乘上时间部分以后就成了完整的波函数了数了 5超导中的电子以超导中的电子以“库柏对库柏对”的形式存在，由此形成的电流载流子的的形式存在，由此形成的电流载流子的运动，遵循微观量子理论，这种运动可以用如下的薛定谔波动方程运动，遵循微观量子理论，这种运动可以用如下的薛定谔波动方程来解释：来解释：jH ( , ) exp( , )r tjr t rr其中其中为粒子的波函数，可如下式表示：为粒子的波函数，可如下式表示：其中，其中，341.054 10J sh为普朗克常数为普朗克常数（1.1）（1.2）62( , )r tr( , )r trE &a

6、mp;h如如H 是哈密尔顿常数，根据量子动力学原理，是哈密尔顿常数，根据量子动力学原理，与粒子的密度成正比，在稳定态，与粒子的密度成正比，在稳定态，H 可以用粒子的能量可以用粒子的能量 E 替换。因此，公式（替换。因此，公式（1.1）可简化为：可简化为：因此，在粒子中，量子特性就可简化为波函数的相位因此，在粒子中，量子特性就可简化为波函数的相位（1.3）可以认为是常数，可以认为是常数， （1.3）在非超导态（在非超导态（“正常态正常态”），公式（），公式（1.3）不会导致宏观量的量）不会导致宏观量的量子关系，因为此时电流载流子（单电子或空穴）遵从子关系，因为此时电流载流子（单电子或空穴）遵从“

7、费米狄费米狄拉克拉克”统计规律，它们的能量不会相等。因此，对于所有的粒子统计规律，它们的能量不会相等。因此，对于所有的粒子而言，它们的相速度而言，它们的相速度 是不同的，所有的宏观量是代表所有粒是不同的，所有的宏观量是代表所有粒子的总和子的总和, 因此正常导体中，其相位不具有这些特征。因此正常导体中，其相位不具有这些特征。jH 7 Bose-Einstein （波色（波色爱因斯坦）统计爱因斯坦）统计 这种统计法在粒这种统计法在粒子不可区别的基础上认为子不可区别的基础上认为多个粒子可以处于同一量子状态多个粒子可以处于同一量子状态。Fermi-Dirac （费米（费米狄拉克）统计狄拉克）统计 这种

8、统计法和这种统计法和Bose-Einstein统计的不同之处在于统计的不同之处在于每一个量子状态最多只能容纳每一个量子状态最多只能容纳一个粒子一个粒子。 以以粒子是不可区别粒子是不可区别的观点为基础的统计处理称为量子统计，由前的观点为基础的统计处理称为量子统计，由前一类粒子所组成的等同粒子系统服从一类粒子所组成的等同粒子系统服从Fermi-Dirac（费米（费米狄拉狄拉克）统计，而由后一类粒子所组成的等同粒子系统，则服从克）统计，而由后一类粒子所组成的等同粒子系统，则服从Bose-Einstein（波色（波色爱因斯坦）统计。爱因斯坦）统计。 Boltzmann（波尔兹曼）统计的特点是，不仅认为

9、（波尔兹曼）统计的特点是，不仅认为粒子是可区别粒子是可区别的的，粒子间无相互作用，而且认为在粒子能级的任一量子状态上，粒子间无相互作用，而且认为在粒子能级的任一量子状态上能容纳任意数量的粒子。但量子力学认为，一切同种的微观粒子能容纳任意数量的粒子。但量子力学认为，一切同种的微观粒子都是无法区别的，即都是等同的。都是无法区别的，即都是等同的。 8超导体中的库柏对由个动量和自旋相反的电子组成，它们的总自旋超导体中的库柏对由个动量和自旋相反的电子组成，它们的总自旋为零，因此库柏对遵从为零，因此库柏对遵从Bose-Einstein(波色波色爱因斯坦爱因斯坦)统计分布，低统计分布，低温时会保持最低能态温

10、时会保持最低能态(基态基态)。因此，它们的相速度。因此，它们的相速度 是相同的。是相同的。库柏对的尺寸相对较大（库柏对的尺寸相对较大（ 大约大约104 cm），比他们之间的平均距离），比他们之间的平均距离（和原子距离位于同一等级，大约（和原子距离位于同一等级，大约107 cm）要大得多，换句话说，）要大得多，换句话说，库柏对的波函数在很大程度上是交迭的。库柏对的波函数在很大程度上是交迭的。 因为这两个因素，超导中给定点的所有的库柏对可以认为是因为这两个因素，超导中给定点的所有的库柏对可以认为是“锁锁相的相的”，并且能够用单一的波函数来描述。换句话说，超导体中的，并且能够用单一的波函数来描述。换

11、句话说，超导体中的电流是由于一致处于电流是由于一致处于“冷凝冷凝”态的，而不是由单个库柏对产生的。态的，而不是由单个库柏对产生的。所有粒子的总和并不会使相位所有粒子的总和并不会使相位 消失，因此，宏观量（尤其是电流）消失，因此，宏观量（尤其是电流）依赖于相位依赖于相位 ，而相位在电磁场的作用下是以，而相位在电磁场的作用下是以“量子方式量子方式”变化的，变化的，从而对从而对E有贡献。有贡献。E &h9这种量子依赖性，不仅导致了超导体的零电阻和这种量子依赖性，不仅导致了超导体的零电阻和Meissner效应，而效应，而且也会导致好几个相关效应，如且也会导致好几个相关效应，如磁通量子化磁通量子

12、化和约瑟夫森效应。和约瑟夫森效应。磁通量子化限制了磁通磁通量子化限制了磁通 nB dA 0n 15034-192.07 10 Wb226.62 10 J Se1.6 10 Cheh 沿着超导体内任何闭合线（任何超导闭环），从而使磁通是量子化的：沿着超导体内任何闭合线（任何超导闭环），从而使磁通是量子化的：其中其中n是整数，是整数， 是常数，满足下面的关系：是常数，满足下面的关系：习惯性的称习惯性的称 为磁通量子。为磁通量子。0（1.5）0101/2je2*(*)*2ejeJAmc rrh式中式中c为光速，为光速，e*是电子电荷是电子电荷e的两倍，的两倍，m*是电子质量是电子质量m的两倍，的两倍

13、，取决于对电子对波函数取决于对电子对波函数, ,按照设按照设定的归一化后定的归一化后粒子粒子(电子对电子对)可以作为一个可以作为一个“整体整体”用下述形式的宏观被函数来描述用下述形式的宏观被函数来描述 粒子实际密度粒子实际密度 粒子相位粒子相位当存在矢量势当存在矢量势 A 时，根据时，根据金兹堡一兰道金兹堡一兰道(G(GL)L)方程，电流密度写成方程，电流密度写成112eeJAmcrrh此公式决定电流分布，位相此公式决定电流分布，位相 的空间变化描述了超导体的载流状态的空间变化描述了超导体的载流状态iEt在定态条件下，在定态条件下，波函数波函数随时间的变化，遵从量子力学薛定谔方程，随时间的变化

14、，遵从量子力学薛定谔方程，其形式为：其形式为：方程表达了，波函数方程表达了，波函数 与库珀对能量与库珀对能量 E 的关系的关系 12,LRLREE 约瑟夫森方程约瑟夫森方程超导体单独存在时，波函数超导体单独存在时，波函数 和能量分别为：和能量分别为： LR1/21/2LRjRLjRLee粒子相位粒子相位粒子密度粒子密度13RRRLLLLRiEKtiEKtLRRRLLLREeVEeVieVKtieVKt 为了表示互相耦合，引入系数为了表示互相耦合，引入系数K，表征两块超导体间的耦合程度的量，取，表征两块超导体间的耦合程度的量，取决于转移率的大小，由于是弱耦合的情形，决于转移率的大小，由于是弱耦合

15、的情形，K是一小量。是一小量。描述系统的薛定谔方程描述系统的薛定谔方程 将是将是设两端电压为设两端电压为 V， 能量的变化等于电荷乘以电压能量的变化等于电荷乘以电压qV， EL-ER = 2eV，并将能量的零点到在左右两边能量值的中间，并将能量的零点到在左右两边能量值的中间，则则iEt14RL,以以 代入，虚、实部分开代入，虚、实部分开并经三角运算，得并经三角运算，得121212122()sin()2()sin()()cos()()cos()LLRRLRLRRLLRRLLRLRLRKtKteVKteVKt ,LRRLJtt 令令（电流密度）（电流密度）122()sinLRKJ 有有(1)(2)

16、(3)(4)（1、2）中）中1512sinsinKJJLR在在时，时，122()sinLRKJ 12KJ临界电流密度（3、4）得到得到2eVt1212()cos()()cos()LRRLLRLRLReVKteVKt (3)(4)令令LR在在时，时，RL（1、2）得到得到1612sinsin2KJJeVt约毖夫逊振荡电流的频率范围一般说来是超高频约毖夫逊振荡电流的频率范围一般说来是超高频例如：例如：20v电势差所相应的频率，电势差所相应的频率， 2就约为就约为10GHz，2483.6/eMHzV电流是一个园频率为电流是一个园频率为的振荡电流，的振荡电流，由电压由电压V V 确定确定通过势垒的电流

17、等于某一电通过势垒的电流等于某一电流乘上相位差的流乘上相位差的Sin函数函数相位差随时间的变化等于一相位差随时间的变化等于一个电压个电压（1、2、3、4）得到得到1718库珀对在超导体库珀对在超导体之间的隧道过程之间的隧道过程V V 使隧道结两侧的库珀对存在能量差使隧道结两侧的库珀对存在能量差E E， E E 2 2eVeV，所以库柏对，所以库柏对从一侧转移到另一侧时，必须伴随有发射或吸收园频率为从一侧转移到另一侧时，必须伴随有发射或吸收园频率为的虚光的虚光子过程，根据量子力学的公式，子过程，根据量子力学的公式，由于发射和吸收光子的是虚过程，所以这样的系统只能存在交变的振荡电流。由于发射和吸收

18、光子的是虚过程，所以这样的系统只能存在交变的振荡电流。 2EeV a) V=0 b) V019图9.3G (A)和24.8 G(B)微放功率产生许多零斜率区A的水平标度为58.8vcm，垂标度为67Acm，B的水平标度为50vcm，垂标度为50 Acm(引自Shapl r。l 963)294G微波辐照响应台阶微波辐照响应台阶 20磁场的作用下的隧道效应：磁场的作用下的隧道效应：磁场引起的位相差的空间变化磁场引起的位相差的空间变化 考虑考虑 y 方向磁场的作用，方向磁场的作用，0 xzAHy A在在 x方向，且方向，且 y 方向结无限大，方向结无限大，故故A矢量势矢量势Hy2122()2emcJ

19、Acerrh2eeJAmcrrh在一块超导体内，电流为在一块超导体内，电流为或者或者1/2je，载流子，载流子 2e）沿闭合路径积分，即可求得沿闭合路径积分，即可求得的变化。的变化。 在那里屏蔽电流密度在那里屏蔽电流密度Js消失了，从而也就避开了可在势垒附近发生消失了，从而也就避开了可在势垒附近发生的电子对密度的可能减少的电子对密度的可能减少 CL和和CR 在穿透区域中的线段可以选择为在穿透区域中的线段可以选择为垂直于垂直于Js，在这一假定下，式中第一项可以忽略，进一步忽略势垒厚，在这一假定下，式中第一项可以忽略，进一步忽略势垒厚度可得：度可得：注意路径的取法，可以把积分路径注意路径的取法，可

20、以把积分路径CL和和CR扩展到穿透区域之外扩展到穿透区域之外假定：超导膜的厚度远大于伦敦穿透深度假定：超导膜的厚度远大于伦敦穿透深度 （为几百埃的量级）为几百埃的量级），22()xdxb点点x+dx处两侧处两侧波函数的相位差波函数的相位差 a点点 x 处两侧处两侧波函数的相位差波函数的相位差 ( )x现在指的是相位差现在指的是相位差()() ( )( )LbRbLaRaexdxxdxxxA dlcrrh2()( )exdxxH dscrrh23z2()( )22LRyLRexdxxH dscteHxce dHidtcrrhhrrh磁场的作用是使相位差随空间而变化。除非磁场为零，磁场的作用是使相

21、位差随空间而变化。除非磁场为零，或结的面积非常小，均应考虑这一效应。或结的面积非常小，均应考虑这一效应。x22yye dHxce dHc1sin2JJeVt外磁场的存在，将导致位相差的空间调制，从而导致约瑟夫森电外磁场的存在，将导致位相差的空间调制，从而导致约瑟夫森电流密度的空间调制，不同处的约瑟夫森电流彼此是位相相关的。流密度的空间调制，不同处的约瑟夫森电流彼此是位相相关的。24上一讲讨论过频域的总电流上一讲讨论过频域的总电流evt2ddd)(212)(tjtjeWe （谱分解）（谱分解）*()0()( )Imdd()()()()()()jtjdjtI tWWeS jeWWeRj25()()

22、()()222( )Im( )( )LRtt tt tjjjjt tI tedt eeS teeR t *()0()( )Imdd()()()()()()jtjdjtI tWWeS jeWWeRjd)(212)(tjtjeWe( )( )d ,( )( )dj tj tLRSs t etRR t et其中引入频谱分解：其中引入频谱分解：()( )( )LRjR teR t 其中定义：其中定义： 2.2.1-1 2.2.1-1 2.2.1-2 2.2.1-2 傅里叶变换：傅里叶变换：谱函数谱函数【前章】26KK变换变换)(Red1)(Im)(Imd1)(ReSpSSpS下面先考虑准粒子隧道电流下

23、面先考虑准粒子隧道电流【前章】27oodcCLmmCLmCLoodCLtttVVIatmaatVVcItI)(dcos)cos(2cos2)cos()(111tinnntooeeVJteVitVtei)()sinexp(d )(exp111)()()(eVnJWnn)(VIdc经典理论经典理论 若隧道结的特性是若隧道结的特性是，则上述电压作用下的电流是，则上述电压作用下的电流是量子理论量子理论 上述电压使电流算符的相位受到调制上述电压使电流算符的相位受到调制富里叶变化展开富里叶变化展开贝塞尔函数展开贝塞尔函数展开谱函数谱函数【前章】28RLtjtjtetRRtetSSd)()(d)()()(R

24、eS)(ImS与与满足满足KK关系关系1020( )Re()( )Im()JJIR jIR j )(sin()()(cos()()()(dd12tItIWWJJconstVtVo)()(cos),()(sin),(21tTVItTVIoJoJ，设，设则关于电子对的部分是则关于电子对的部分是在在时，成为时，成为291( )01(, )1( )1NJoNK xxeRIoK xxeRx221/22001(, )11()sin()1JooNxIoxKxeRxx ,/2 ,( )oooeVxK z 在在BCS近似之下，近似之下，T=0时，有时，有是按是按度量的能隙（具有度量的能隙（具有的量纲）的量纲）第

25、一类完全椭园积分第一类完全椭园积分0T时应作数值计算。时应作数值计算。在在30)0 ,(1oJI)0 ,(2oJI左侧左侧 k 增加一个准粒子，有多少物理过程？增加一个准粒子，有多少物理过程？项一般很小，可解释为相干效应对于正常电流的干涉。项一般很小，可解释为相干效应对于正常电流的干涉。cos2JI（Rev,phys, Appd,1973）31oyyxHcdeHcdex2211112sinsin()/22sin()/2sin()sinyoyyoyxxyoyxe dJJJH xcaxe dIJdsJ aH xdxaxcedH acJ a acdH ac小结条件在外磁场小结条件在外磁场Hy中中将其

26、积分，得到将其积分，得到磁场引起约瑟夫森结电流的变化磁场引起约瑟夫森结电流的变化Hy3212oxyccda Hee 1sin()sinyxxyoyxedH acIJ a acdH acmax1sin(/)(/)oxyoIJ a a sino最大电流最大电流 Imax， 1令：令： 电流的表达式：电流的表达式： 33夫琅和费衍射是由于光源的相干性，而约瑟夫森结中不同处的电流夫琅和费衍射是由于光源的相干性，而约瑟夫森结中不同处的电流密度是位相相干的。这是约瑟夫森电流的一种衍射现象，它是一种密度是位相相干的。这是约瑟夫森电流的一种衍射现象，它是一种宏观量子衍射现象。在小结条件下，实验与理论符合得相当

27、好。宏观量子衍射现象。在小结条件下，实验与理论符合得相当好。o为为整数倍时，整数倍时，Imax=0max1sin(/)(/)oxyoIJ a a34约瑟夫森结的电动力学问题约瑟夫森结的电动力学问题1sinzzzrDEvJJtttt222xyyxe dcHiHcedxcHedy 41();441yxzzDHJctHHDJxycct讨论位相差讨论位相差 所满足的偏微分方程所满足的偏微分方程由麦克斯韦方程由麦克斯韦方程3514141();4sinyxzzzzzrHHDDHJJctxycctDEvJJtttt2222222211sinJxyCtSine-Gordon方程方程SGE22212222()s

28、in8414422rrrcvJedxyttsCtt sevvttet单位面积的电容221()8JcedJ令：令：1/2()rtCcd361/2251/2211()/ 0.051.6 10()()8(/) ()rJJtCcC cdcedJJd米安 米米2221sinJx)exp(tan41Joxx2222sin0JCt911/21010zJCH（通常为几百微米的量级）（通常为几百微米的量级）在在xo附近附近J42的范围内的范围内不是不是 0 或或 说明在直流约瑟夫逊电流局限在结内某小范围内，说明在直流约瑟夫逊电流局限在结内某小范围内，与空间无关与空间无关 摆的方程摆的方程各处相同，磁场为零，电场

29、各处相同，磁场为零，电场势垒势垒纵向等离子体振荡纵向等离子体振荡驻常的情况驻常的情况4J7374J1/2251/2211c()/c 0.051.6 10()()8(/) ()rJJtCCdcedJJd米安 米米（通常为几百微米的量级）（通常为几百微米的量级）2Lsmn enM 效应，效应，L称为伦敦穿透称为伦敦穿透深度深度,是磁场在超导体内发是磁场在超导体内发生显著变化的尺度。生显著变化的尺度。按式估算，按式估算，L10-6cmJ 10-4cm10-6m3821/21()8JcedJ2Lsmn eLRdtJ1结电流密度结电流密度伦敦穿透深度伦敦穿透深度约瑟夫森穿透深度约瑟夫森穿透深度 超导材料

30、的伦敦穿透深超导材料的伦敦穿透深度度 通常为几百埃。通常为几百埃。约瑟夫森穿透深度约瑟夫森穿透深度J为数万埃。为数万埃。表示存在外磁场时该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度表示存在外磁场时该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度 JL10-6cm10-4cm39J J表示存在外磁场时表示存在外磁场时, ,该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度。该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度。 当结尺寸当结尺寸 L Lx xJ J ，外磁场在整个势垒区内，外磁场在整个势垒区内，称为称为“小结小结”。当结尺寸当结尺寸 L LX X J，外磁场只能向结势垒区内穿透约，外磁场只能向结势垒区内穿透约J 深度深度

31、( (在在J处处, ,外外磁场衰减到磁场衰减到 H He)e)，外磁场只能存在于结边缘，外磁场只能存在于结边缘J 长度的范围，长度的范围，结势垒区内的磁场分布是结势垒区内的磁场分布是的，的，称为称为“大结大结”。 Hy4012sinsin2kJJeVt 2222222211sinJxyCtSine-Gordon方程方程SGEoyyxHcdeHcdex22直流约瑟夫森效应直流约瑟夫森效应交流约瑟夫森效应交流约瑟夫森效应磁场约瑟夫森效应磁场约瑟夫森效应41当约瑟夫森结两瑞的电压当约瑟夫森结两瑞的电压V不等于不等于0时，结中存在交变超时，结中存在交变超流，其频率该交变起流在外加高频流，其频率该交变起

32、流在外加高频 f 电磁场的作用下，可电磁场的作用下，可在处在处(f为外加电磁场的频率为外加电磁场的频率)产生微波感应台阶产生微波感应台阶(夏皮罗台夏皮罗台阶阶)，即使不施加外电磁场，亦可由于施加一直流磁场，而产即使不施加外电磁场，亦可由于施加一直流磁场，而产生自感台阶生自感台阶(非斯克台阶非斯克台阶)；该交变超流亦可向外幅射频率；该交变超流亦可向外幅射频率为为 f 的电磁波。的电磁波。上述现象统称作交流约瑟夫森效应。上述现象统称作交流约瑟夫森效应。在在V0时，在超导隧道结中确实可以出现零压电流，时，在超导隧道结中确实可以出现零压电流，即直流超导电子对隧道电流。该电流是位相相干电流，即直流超导电

33、子对隧道电流。该电流是位相相干电流，磁场的存在时将引起其随空间而变化。磁场的存在时将引起其随空间而变化。 这种这种V0条件下所反映的物理规律被称之为直流约瑟条件下所反映的物理规律被称之为直流约瑟夫森效应。夫森效应。概括起来概括起来424344LR分别代表约瑟大森隧道结左右两侧超导体的能隙，分别代表约瑟大森隧道结左右两侧超导体的能隙，P表示取表示取积分的主要部分，积分的主要部分， f(E)为费米函数。为费米函数。关于结的参数的讨论关于结的参数的讨论临界电流临界电流与温度的依赖关系与温度的依赖关系 对流过结区的约瑟夫森电流密度作积分而得到为约瑟夫森临界电流对流过结区的约瑟夫森电流密度作积分而得到为

34、约瑟夫森临界电流Ic，这，这是约瑟夫森器件最重要的物理参量。描述约瑟夫森临界电流是约瑟夫森器件最重要的物理参量。描述约瑟夫森临界电流Ic对温度和磁对温度和磁场的依赖关系。场的依赖关系。根据超导微观理论推导出约瑟夫森临界电流对温度的依赖关系为：根据超导微观理论推导出约瑟夫森临界电流对温度的依赖关系为：式中式中745首先来考虑首先来考虑 T0的情况的情况。当当T0时，若时，若E0，则，则 f(E)=0于是于是作变量代换可以推导出：作变量代换可以推导出： 式中式中K(x)为第一类完全椭圆积分。假若为第一类完全椭圆积分。假若L R (两者相差小于两者相差小于23倍倍)，利用：，利用：x 0时，时，K(

35、x) 的渐近表达式的渐近表达式 K(x) 2，上，上式变为式变为4610(0)2NTIRe（可以与准粒子隧道的跳变进行比较）（可以与准粒子隧道的跳变进行比较）实际实际 I IC C该表达式在实际中是非常有用的事实上，只要看一下结的该表达式在实际中是非常有用的事实上，只要看一下结的 IV特性曲线，就可以对直流约瑟夫森电流的最大值作出快速估算特性曲线，就可以对直流约瑟夫森电流的最大值作出快速估算该式表明最大零电压电流等于当结的两电极均为正常态金属时该式表明最大零电压电流等于当结的两电极均为正常态金属时IV 特性曲线中电压为（特性曲线中电压为（/ /2）e 处的电流值处的电流值1(0)2NIe R对

36、于对称结情况，对于对称结情况， L R ，(1)式变为精确表达式式变为精确表达式V47图图 Nb/AlOx/Nb结的结的I-VI-V曲线曲线T=100mK，显示该结的漏电流很小，显示该结的漏电流很小 图图 NbN/AlN/NbN的的IV曲线曲线T=4.2K，这个结的漏电流比较大，这个结的漏电流比较大 I: 1mA/div V: 2mV/div I: 10 A/div V: 1mV/div48-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6-3.0-1.50.01.53.0I(uA)V(mV) CJJ I-V V:0.2mV I:2uAT:0.367K49(a) Sn-SnOx-Sn结(b) S

37、n-SnOx-Pb结实验效据实验效据(实心圆实心圆)与利用计算与利用计算出的理论曲纽出的理论曲纽(实线实线)相比较相比较图图 最大最大(直流直流)约瑟夫森电流与温度的依赖关系约瑟夫森电流与温度的依赖关系c( )( )tanh22NBTI T Rek T温度大于零时温度大于零时直流约瑟夫森电流与温度的关系直流约瑟夫森电流与温度的关系0T 对称结的情况对称结的情况L L(T)=(T)=R R(T)=(T)=(T)(T)可以证明有可以证明有50T0 T0 L L(T)(T)R R(T) (T) 的普遍情况，则有：的普遍情况，则有： 1 2222220 ,1,2.1()2()()(0)2(0)(0)(

38、)(0)(0)(21)()(0)cLC LLLRRLRcLRLRLRiiijiicITt TdtdtIKejtdtT ( )(0)iiidT 式中式中为约化能隙为约化能隙ictTT为约化温度为约化温度 根据此公式进行理论计算，结果用下面图表示。根据此公式进行理论计算，结果用下面图表示。 51图图 计算出的不同超导电极隧道结的最大直计算出的不同超导电极隧道结的最大直流约瑟夫森电流随温度而变的理论关系曲线流约瑟夫森电流随温度而变的理论关系曲线是两电极的能隙和临界温度数据归一化到绝对是两电极的能隙和临界温度数据归一化到绝对零度时的临界电流和左侧超导体的临界温度。零度时的临界电流和左侧超导体的临界温度

39、。101202 、 、 、表表 几种常规超导材料的性能参数几种常规超导材料的性能参数材料材料临界温度临界温度Tc (K)超导能隙超导能隙(meV)Al（铝）（铝）1.20.21In（铟）铟）3.40.51Sn（锡）（锡）3.70.56Ta（钽）钽）4.50.68Pb（铅）铅）7.21.35Nb（铌）铌）9.31.552强耦合使强耦合使I1减小，减小， 例如例如T=0时，时，Pb减为减为78%，Sn减为减为91%teCJtC211AJeICRN11312若结面积若结面积 A，在PbPb结上实验观测到的电流随温度的变化叉号为计算得到的强偶合值三角符号为利用公式的预期结果，而园圈符号是把强耦合值代公

40、式得到的结果图 归一化的约瑟夫森电流与温度的关系曲线J1的经验公式的经验公式53理论上，结跳变电流理论上，结跳变电流Isw的统计分布的统计分布P(I)与跃迁率与跃迁率可以看出结的这一跳变现象与超导隧道过程的量子行为紧密相关，测可以看出结的这一跳变现象与超导隧道过程的量子行为紧密相关，测量以量子隧穿引起的结跳变电流的统计分布，可从另一侧面理解超导量以量子隧穿引起的结跳变电流的统计分布，可从另一侧面理解超导隧道过程的量子行为，并进一步表征超导量子比特的宏观量子状态隧道过程的量子行为，并进一步表征超导量子比特的宏观量子状态。 .01P(I)=exp( )II dI结跳变电流测量结跳变电流测量 54图

41、图2.1 (c)通过对时间的测量来获得电流的测量方案；通过对时间的测量来获得电流的测量方案；(d)方案中同步信号、偏方案中同步信号、偏置电流、结电压的时序图置电流、结电压的时序图.采用了计数器, 对两个上升沿信号之间的时间间隔进行测量,精度达到25ps, 将信号源的同步信号送到计数器的开始触发端,结电压经过低噪声放大器后,送到计数器的停止计数触发端。当信号源开始输出信号，即开始对结加偏置电流时,计数器立即开始计时；当结两端出现跳变电压时,计数器立即停止计数。从计数器上得到的时间t,结合偏置电流的变化速率dI/dt,就可以得到对应的结的跳变电流,如此进行重复, 得到104个跳变电流值,然后进行统

42、计分析。 55图图2.4 (a) 1.6104次的结跳变电流原始数据次的结跳变电流原始数据; (b)4.2K到到850mK的的P(I)，实线为理论值，实线为理论值; (c) 850mK到到30mK的的P(I)(b)(c)(a)56(c)(a)为为50mk时时104次的结跳变电流的次的结跳变电流的跳变时间间隔的原始数据跳变时间间隔的原始数据; 1.2K到到13mk的电流分布函数的均的电流分布函数的均方根方根与温度与温度T的关系曲线的关系曲线.57(b) 1.2k到到13mK的结跳变电流统计分布的结跳变电流统计分布P(I)结跳变电流结跳变电流I曲线曲线; (b)58eeeeIReggNc22422

43、211111/22pJppICeCJIACAAJ 总总一定与无关与正比特征频率（能隙特征频率（能隙频率频率）等离子频率等离子频率 c1,A J无关无关 与与几个常用参量几个常用参量5911112RCNRCRCIeR CCJAJ一定时，与 无关与 成正比RC截止频率截止频率 McCumber常数常数 12121121/221()2cNNNeR IR CeRI CeI Ce I与面积无关，与与面积无关，与J成反比成反比c很重要，它的大小决定了结的很重要，它的大小决定了结的工作模式工作模式1CIc60sin1122222222JtCyxVGJJozsin122222222211sin/oGCxyCt

44、CtJsin112222222JtCtCx将正常电流计入后：将正常电流计入后：可得：可得：当结构与当结构与y方向无关时，方向无关时，Sine-Gordon方程方程电子对电子对准粒子准粒子61xHcdetVeyoo22)(sin1)1(21222222xktJtCtCxoo22oooyee dVkHc11dd22ddooeeVVtt零级近似取：零级近似取：o（各项意义，（各项意义， 作为一种波动）作为一种波动）利用利用 把上式改写为：把上式改写为：1为：为：一级近似的一级近似的在在x方向无限长的情形方向无限长的情形 （无限长结）（无限长结）sin112222222JtCtCx6222122222

45、1222221/222221211()exp()exp ()(1)/arg gtan1 (/)oooooooooooooVVjtk xxCtCtJVgjtk xVk CCgJk C )sin()sin()cos(1111ooooooJJxktVgxktgV)sin()cos()sin(11xktVgxktJxktJJooooooo复数记号：复数记号：返回至实数记号：返回至实数记号：1/oVg在在时，有时，有6322222211)/()/(1 /2sin2oooooJooCkCJVJgJ1ooCk2122max12oyoJoyCVdHCCJJH 其中有直流项其中有直流项oJ满足下列关系时满足下列

46、关系时为最大为最大 yH在无限长结中，谐振点的位置与在无限长结中，谐振点的位置与有关，有关， yH越高，谐振峰出现在较大的电压处，但峰值越低。越高，谐振峰出现在较大的电压处，但峰值越低。ook/C电磁波的相速电磁波的相速 与与相等时呈出谐振，相等时呈出谐振，极大值对应于下列极大值对应于下列Vo电压值：电压值：6422222 221 ()1()()1 () ()noononooJooon CjgLCB kjC kn CVL2221222 221()()41 () ()oonononJoooJ CJBkCkn CLLCneLCnVoo24有限长结有限长结 L由此可得出由此可得出J中有直流项，它是中

47、有直流项，它是x的函数，的函数，在结长在结长L上平均后得上平均后得极值发生在极值发生在C 0.05C 1.5109cm/sce L 10-1cm 估算：估算： (10 v的量级的量级)与磁场无关！与磁场无关！2()coscosd2()sincosdnoonooLn xB kk xxoLLLn xC kk xxoLL1exp ()cosexp ()oononn xVgjtk xgjtL式中：式中：处处65222221max)()(4/)(nkCkBLJJononoJo222222222cos()2()()2sin()2nononBkCkn奇数偶数yLHd22222)2sin(2/2)()()(n

48、nnnkCkBEononn峰值峰值:/o（是是Q值，上述适用于低值，上述适用于低Q）或或66 dc bias+L. F. ac bias实验曲线实验曲线67台阶高度台阶高度68sin1dd222Jx112114tan exp ()2sin sec11sin2tan oJoJxxxxhttt 再讨论一下再讨论一下驻常驻常(稳恒稳恒)磁场的情况磁场的情况易证其解是易证其解是sin1122222222JtCyxSine-Gordon方程方程结构与结构与y方向无关，稳恒磁场条件下：方向无关，稳恒磁场条件下：8yHx 69磁场表示为磁场表示为sec2212212)2(2)2(2JoJooyyoyxxhd

49、xdHHdHdex2(2)d()secd2ooyoJJxxd Hxhx),()2(Ld结区结区包围的总磁通是：包围的总磁通是：702002dsin2ddsin d2sec2222secd2octococoJocococJJVJJtJJxxVJ thJxxEhxJ J4o在有限的小范围（在有限的小范围（）内完成上述变化；总磁通为）内完成上述变化；总磁通为 储存在一个涡旋里的能量是：储存在一个涡旋里的能量是：Josephson 耦合能耦合能 Ec 磁场能量磁场能量Em2因此，这一解相当于一个涡旋：基本上只有因此，这一解相当于一个涡旋：基本上只有 0，两个值；两个值；Ec7122221d (2d)2

50、112(2d)secd222d2()2(2d)myooooJJooJcJocEBxxxhxJJ221Ho(2d),(,)L 磁场能量磁场能量，密度为，密度为，对，对积分后得到单位宽度里的能量。积分后得到单位宽度里的能量。mE4cmoJcEEEJ储存在一个涡旋里的能量储存在一个涡旋里的能量7222222211sinJxCt)(exptan41vtx2114uJEJco下面简单地讨论一下含时的情况下面简单地讨论一下含时的情况它的解是它的解是o 包含的总磁通为包含的总磁通为xt cos1总能量：磁能（总能量：磁能（），电能（），电能（），耦合能），耦合能运动的孤子或涡旋运动的孤子或涡旋 与不含时的情

51、况与不含时的情况 对比：对比： ,vtvuc u 多出一项传播因子多出一项传播因子可由功率关系确定可由功率关系确定J21 uJ变成了变成了相对论收缩在运动的涡旋中相对论收缩在运动的涡旋中在运动的涡旋中：在运动的涡旋中：14tan exp ()oJxx 73CvtxvtVoosecdd2LvLvtVooo222 涡旋的运动伴随着电压涡旋的运动伴随着电压在同一点在同一点x处，这相当于一个电压脉冲，处，这相当于一个电压脉冲，2 ,2 在某点处有一个涡旋移过，相当于在某点处有一个涡旋移过，相当于从从 0 变至变至 vLt 若涡旋以平均速度若涡旋以平均速度 v 经长度为经长度为L的结运动，则时间是：的结

52、运动，则时间是：至至o积分，可知它包围的面积是积分，可知它包围的面积是对于对于t 从从74与与Fiske台阶的相比，涡旋运动引起的台阶台阶的相比，涡旋运动引起的台阶 产生于零磁场（产生于零磁场（ZFS） 相当于偶数次的台阶相当于偶数次的台阶 具有孤子的特征（碰撞后的特征）具有孤子的特征（碰撞后的特征）下阶段讨论：下阶段讨论：LCeLCVo2maxCV 的最大值是的最大值是 的完全解的完全解考虑了各项损耗及偏置后的考虑了各项损耗及偏置后的Sine-Gordon方程（方程（SGE）D. W. McLaughlin and A. C. Scott, Phys. Rev A18,1652,1978A.

53、 C. Scott, F. Y. F. Chu, and D. W. McLaughlin, proc, IEEE,vol.16,p.1443,1973N. F. Pedersen, Solitons in JTL, in Modern problems in Condensed Matten scr(eds. A. A. Maradudin & V. M. Agranevich, North Ho)0sin1dd222Jx75水槽中的孤波水槽中的孤波 吴孤子吴孤子把孤立波孤子定义为：把孤立波孤子定义为：在传播过程中形状、幅度和速度都维在传播过程中形状、幅度和速度都维持不变的脉冲状行波

54、；在互相碰撞后，持不变的脉冲状行波；在互相碰撞后，仍能保持各自的形状和速度不变。仍能保持各自的形状和速度不变。从物理学来看，孤子是物质从物理学来看，孤子是物质非线性效应的一种特殊产物。非线性效应的一种特殊产物。从数学上看，某些非线性偏从数学上看，某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。量有限的不弥散解。 1995,复现复现1834年，美国科学家约翰年，美国科学家约翰.斯科特发现斯科特发现 761973年，孤立波的观点开始引入到光纤传输中。年，孤立波的观点开始引入到光纤传输中。在频移时，由于折射率的非线性变化与群色散效应相平衡，光脉冲在频移时，由于折射率的非

55、线性变化与群色散效应相平衡，光脉冲会形成一种基本孤子，在反常色散区稳定传输。由此，逐渐产生了会形成一种基本孤子，在反常色散区稳定传输。由此，逐渐产生了新的电磁理论新的电磁理论光孤子理论，从而把通信引向非线性光纤孤子传光孤子理论，从而把通信引向非线性光纤孤子传输系统这一新领域。输系统这一新领域。光孤子（光孤子（soliton ）就是这种能在光纤中传播的长时间保持形态、）就是这种能在光纤中传播的长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超大容量的光通信。大容量的光通信。 神经脉冲象现在称作神经孤子，以恒定的速度

56、（神经脉冲象现在称作神经孤子，以恒定的速度（不到每秒不到每秒10米，）米，）无耗散地传播。数学理论证明，神经在其阈值处发放后，在另一无耗散地传播。数学理论证明，神经在其阈值处发放后，在另一个孤子产生之前，有一个休眠期。神经孤子的传播个孤子产生之前，有一个休眠期。神经孤子的传播 和相互作用和相互作用牵涉到牵涉到“记忆记忆”。这一事实对于提出大脑记忆的一般理论可能有。这一事实对于提出大脑记忆的一般理论可能有一定意义。一定意义。现已发展出一个全新的研究领域：研究神经纤维中孤子如何碰撞，现已发展出一个全新的研究领域：研究神经纤维中孤子如何碰撞，如何排除不规则性，以及如何排除不规则性，以及 如何在接头处

57、相互作用。有些理论家如何在接头处相互作用。有些理论家已把神经孤子称为已把神经孤子称为“思维之基本粒子思维之基本粒子”。77目前目前光孤子（时间和空间孤子），物质波孤子（包括波色爱因斯坦孤子，光孤子（时间和空间孤子），物质波孤子（包括波色爱因斯坦孤子，引力孤子），晶格孤子（包括机械振动孤子，布拉格孤子以及声学孤引力孤子），晶格孤子（包括机械振动孤子，布拉格孤子以及声学孤子），磁学孤子，流体孤子（包括热传导孤子）甚至神经孤子，子），磁学孤子，流体孤子（包括热传导孤子）甚至神经孤子， 它们的共同的语言，就是非线性薛定愕方程。它们的共同的语言，就是非线性薛定愕方程。在超导体的问题中会出现另一类非线性孤

58、立波方程，叫做正弦在超导体的问题中会出现另一类非线性孤立波方程，叫做正弦戈登戈登方程（方程（Sine-Gordon方程），方程）， 2222222211sinJxyCt78约瑟夫森结构所表观出的最显著的特性之一，约瑟夫森结构所表观出的最显著的特性之一，在外磁场中发生超电流的衍射和干涉现象，在外磁场中发生超电流的衍射和干涉现象，这是由于库珀对的波动性和隧穿约瑟夫森这是由于库珀对的波动性和隧穿约瑟夫森弱连接的位相相干性的结果。弱连接的位相相干性的结果。 约瑟夫森电流对磁场的极高灵敏度，是许多约瑟夫森效应约瑟夫森电流对磁场的极高灵敏度，是许多约瑟夫森效应最重要应用的关键，最重要应用的关键， 研究最大

59、直流约瑟夫森电流对外磁场的依赖关系，是考察研究最大直流约瑟夫森电流对外磁场的依赖关系，是考察结的重要行为的有效手段，特别是，可以得到关于结的内部结的重要行为的有效手段，特别是，可以得到关于结的内部电流密度分布的重要信息。电流密度分布的重要信息。约瑟夫逊结在磁场中的行为（驻常的情况）约瑟夫逊结在磁场中的行为（驻常的情况）879又表示存在外磁场时该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度又表示存在外磁场时该外磁场沿着结势垒平面向内部的穿透深度 J8021/1/21012()()82JcedJedJ不仅与不仅与d有关，而且与通过势垒区的约瑟夫森临界电流密度有关，而且与通过势垒区的约瑟夫森临界电流密度J1

60、有关。有关。JLRdt81sin1222Jxsin21JJHcdexy222221sin0( )oxkxkxJx约瑟夫逊结在磁场中约瑟夫逊结在磁场中yH由于自场的作用，由于自场的作用，也不会恒定。也不会恒定。yH其中其中是结内的场，包括外加场和由于是结内的场，包括外加场和由于J J 的存在而引起的场（自场）。的存在而引起的场（自场）。yH由上述第一、二式可知，一般地说由上述第一、二式可知，一般地说不会是恒量；即使外加场是恒定的，不会是恒量；即使外加场是恒定的，JLJ很大的情况，即很大的情况，即，其中，其中L是是x方向的最大尺寸。此时，方向的最大尺寸。此时，先考虑先考虑yH而上述第二式表明此时的而上述第二式表明此时的