概率论与数理统计试题及答案

1、考试时间120分钟班级姓名学号评卷人填空题(每题3分，共24分)1 .设A、B为随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(BA)=0.8,则P(BUA)2 .三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3,此密码能被译出的概率是=.3 .设随机变量X|_N(N,ct2),Y=eX,则Y的分布密度函数为.4 .设随机变量XN(N,。2),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率等于0.5,则N=5 .设D(X)=16,D(Y)=25,PXY=0.3,贝(JD(XY)=.6 .掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为7 .某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，

2、其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为(答案用标准正态分布函数表示)8 .设Xi,X21HX5是来自总体XUN(0,1)的简单随机样本，统计量C(Xi+X2)/Jx：/X2+X2t(n).则常数C=,自由度n=.二计算题(共50分)评卷入1.(10分)设袋中有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？史斐-评卷人2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密度函数为(1/5)e/5 叱0x 0其它某顾客在窗口等待服务，

3、若超过10分钟，他就离开.他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY-1.成绩评卷人3.（10分）设二维随机变量（X,Y）在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：（1）求随机变量X,Y的边缘概率密度；（2）求条件概率密度fxY（x|y）.绩_评卷人4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）成绩评卷人5.(10分)某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望.成绩评卷人(10分

4、)设Xi,X2,|l|Xn是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为le-Wlf(x;L)= u,0，其它其中匕6 >0是未知参数，Xi,X2*|,Xn是组样本值，求:成绩,评卷人四.(8分)假设名是8的无偏估计，且有D(的0试证苗=(明2不是82的无偏估计.述继_评卷人五.(8分)设XhXzJILXn,是来自总体XN(自户12)一，2的一组样本，丫1,丫2川，工是来自总体YN(匕声2)的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为§2,s2,且设出，口2尸12,仃2均为未知.欲检验假设H0：仃2=仃2,Hi:仃12仃；，显著性水平«事先给定.试构造适当检验统计量并给

5、出拒绝域(临界点由分位点给出)评分标准一：填空题:(每小题3分)1.0.7;2.0.6；3.1/(,2Tcy).exp-1/(2；=2).lny-'2y0；4. 4;5.53;6.n/2;7.i(2);8.3/2,3.二：计算题1 .解：记A：取得正品硬币；B：投掷r次，每次都得到国徽；取a,A作为样本空间的划分.P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)m1_mn.2rm一m1n-mn2r''''I.rmn2mn2 .解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P,P=j，/5)eJ/5)dx=e/注意到顾客每月到银

6、行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为e.所以YB(5,e),即PY=k=C；(eN)k(1-e?)"k=0,1,|,5PY_1=1-Py=0=1-(1-e)5|a/24x|22Ii一1/ady-(a八2-|x|)|x|三a/、一2fX(x)=._f(x,y)dy="2凶ya2'-QUI0其它由对称性，妊！J1/a2dx=2(a/V2|y|)|y|a/V2fY(y)=.J(x,y)dx="aa2'-I0其它(2)当|y|<a/时，有fXiY(x|y)=fhF2a-2|y|x|_ a/ .2 - y其它4.解：记取出的四

7、只电子管寿命分别为Xi,X2,X3,X4,所求概率为P,Y.0P=Pmin(Xi,X2,X3,X4)_180i =1,2,3, 444二PXi-180=1-PXi<180,4一=1-：'(1)=0.0006325.解：记圆盘面积为S,圆盘直径为R,则S=(1/4)nR2,由随机变量函数的数学期望的计算方法有b2E(S)=(1/4)二r(1/b-a)dra一22=(二/12)(baba)三：解：(1) 矩法估计量一.x_jXr：x_jE(X)=jxf(x)dx=J：eIdxh-xeme"dx二-e11-,1二二J二一二3r-E(X2)=：x2f(x)dx=eudx=-x2

8、e2xe"dx二J22"一)"一)2u2E(X)=(f=XE(X2)=(一)2u2;A2解之得以日的矩法估计量?=X-,A，-X2,?”；八2-X2(2) 极大似然估计,.11n,L(J,旬二-expI-")：二minxi,|,xn-i41,n,一、lnL-nln(x-n-)：minx1,111,xn1i4也L=n>0,故lnL是口的递增函数，故l?=minx11|nxn6kl6由詈=°得外xmgW,所以极大似然估计量为！？=minX1,|Xn,=XminXjj,Xn四：证明:由方差的计算公式有：E(¥)=E(g2=D(g+E(g2,再由夕是日的无偏估计可得:E(7)=D(3U2易见当D（g>0时，铲=（今不是日2的无偏估计.五：构造检验统计量F=S2,S2当Ho为真时，F=S2F(n11,n21),S2S2S2/02二2当Ho不真而H1为真时，由F=了=一2.心，即一个F（n1一1刀2-1）S22S2/C2二22的统计量乘以一个小于1的数，F=Sr有偏小的