概率论与数理统计第2章作业题解(初稿)

1、第二章作业题解2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式.解:123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。、12并且，P(X=2)=P(X=12)=；P(X=3)=P(X=11)=；363634P(X=4)=P(X=10)=；P(X=5)=P(X=9)=；363656P(X=6)=P(X=8)=菰；P(X=7)=o3636日口6-|7-k|即P(X=k)=!1(k=2,3,4,5,6,7,8,9,1

2、0,11,12)362.2设离散型随机变量的概率分布为PX=k=ae",k=1,2，试确定常数a.二二二4解：根据PP(X=k)=1,得Zae*=2a(eJ)k=1,即一二=1。k=0k=0k=01-e故a=e-12.3甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的概率：(1)两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多.解：分别用A，Bi(i=1,2)表示甲乙第一、二次投中，则P(A1)=P(A2)=0.7,P(A1)=P(A2)=0.3,P(B1)=P(B2)=0.4,P(B1)=P(B2)=0.6,两人两次都未投中的概率为：P(A1A2B1B7)

3、=0.3x0.3x0.6x0.6=0.0324,两人各投中一次的概率为：P(A1a2B?B2)P(a1a2B1B1)P(A2A1B1B2)P(A1a2B2B1)40.70.30.40.6=0.2016两人各投中两次的概率为：P(A1A2B1B2)=0.0784。所以：(1)两人投中次数相同的概率为0.0324+0.2016+0.0784=0.3124(2)甲比乙投中的次数多的概率为：P(AA2面B2)P(A1A2B2B1)P(A1A2B1B2)P(aA2百B2)P(Aab1B2)=20.490.40.60.490.3620.210.36=0.56282.4设离散型随机变量 X的概率分布为PX

4、=k=15,k=1,2,3,4,5,求学习帮手15 15 52.5设离散型随机变量 X的概率分布为PX =k=2k,k =1,2,3,，求(1) PX =2,4,6 ;(2) PX -3(1) P(1，XM3)(2)P(0.5:二X:二2.5)123解：(1)P(1WXW3)=+1515155(2) P(0.5X<2.5)=P(X=1)P(X=2)24)二3、11解：(1)PX=2,4,6+221(3) PX-3=1-PX=1-PX=2=2.6设事件A在每次试验中发生的概率均为0.4,当A发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率：(1)进行4次独立试验,指示灯发出信号;(2

5、)进行5次独立试验,指示灯发出信号.解：(1)P(X23)=P(X=3)+P(X=4)二C：0.430.60,44=0.1792(2) P(X-3)=P(X=3)P(X=4)P(X=5)=C30,430.62C540.440.60,45=0.31744.2.7 某城市在长度为t(单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：(1)某天中午12时至下午15时未发生火灾；(2)某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.k解：(1)P(X=k)=Le”一,由题意，九=0.5父3=1.5*=0,所求事件的概率为e/.5.k!,0,2.

6、8 P(X>2)=1-e1-e1-Up由题意，九=0.5父4=1.5,所求事0!1!件的概率为1-3e：2.9 为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员,现有同类设备180台，且各台设备工作相互独立，任一时刻发生故P的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行彳理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99?解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,则XB(180,0,01)。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P(X<m)>0,99,也即P(X_m1)二0.01因为n=180较大，p

7、=0.01较小，所以X近似服从参数为儿=180x0.01=1.8的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.10 种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：1000f(x)=,x -10000,xY1000求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。解：一个元件使用1500小时失效的概率为POOOOMXH1500)： 100050010002 dx = - x100C15001000设5个元件使用1500小时失效的元件数为、，一，1、Y,则丫 B(5,-)。3所求的概率为2122380P(Y=2)=C；(1)2(2)3=石。

8、332432.11 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦时)是一连续型随机变量，概率密度函数JxdMoYxY1,10,其他假设该地区每天白供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天供电量不足的概率,若每天的供电量上升到90万千瓦时，每天供电量不足的概率是多少解：求每天的供电量仅有80万千瓦时，该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦时(亦即X20.8百万千瓦时)的概率：0.80.8P(X0.8)=1-P(X_0.8)=1-f(x)dx=1-12x(1-x)2dx-0=1_(6x2_8x3+3x4)0.8=0.0272若每天的供电量上升到90万千瓦时，每天供电量不足的概率为

9、：0.90.92P(X>0.9)=1-P(X工0.9)=1-f(x)dx=1-12x(1-x)dx0=1-(6x2-8x3+3x4)0.9=0.003722.11 设随机变量KU(2,4),求万程x+2Kx+2K+3=0有实根的概率.解：方程x2+2Kx+2K+3=0有实根，亦即=4K2-8K-12=4(K-3)(K+1心0显然，当K*3KE1时，方程x2+2Kx+2K+3=0有实根；又由于KU(-2,4),所求概率为：-1-(-2)+43=lo4-(-2)32.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率：(1)发射管寿命不超过10

10、0小时；(2)发射管的寿命超过300小时；一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率P(X<100)=/o000.005e-OO5xdx=-e-OO5x00=1-e-5=0.39(2)发射管的寿命超过300小时的概率：P(X300)=1-P(x<300)=1(Oe-5)=e-5=0.223一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.0-50.5J.5(1-e)(e-e)=0.15。2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打的

11、电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为X,XE(0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为P(X>10)=f%.5e"-5xdx=e"-5x*=e，''4010又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y,则YB(282,e,)。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为九=282xe,%1.9的泊松分布。所求的概率为P(Y-2)=1-P(Y=0)-P(Y=1).1.9.9.9=1-e-1.9e=1-2.9e=0.566252.14 某高校女生的收缩压X(单位：毫米汞柱)服N(110,122),求该校某名女生：(

12、1)收缩压不超过105的概率;(2)收缩压在100至120之间的概率解: P(X < 105)=中(105-11012)= >(-0.42) =1 - 中(0.42)=1-0.6628=0.3372120-110.,100-110.(2)P(100三X三120)=：()一：(一)二(0.83)(0.83)=26(0.83)-1=2父0.7967-1=0.5934。0.01设计的,设成年男性的2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过身高X(单位：厘米)服从正态分布N(170,622),问车门的最低高度应为多少？解：设车门高度分别为x。则：x170P(X<x)

13、=10.01=0.99=：,()x-170查表得，9(2.33)=0.99,因此=2.33,由此求得车门的最低高度应为184厘6米。2.16 已知20件同类型的产品中有2件次品，其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次，每次只取一件，取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数，求X的概率分布与分布函数.P(X =2) =C8 =&C：095解：X的可能取值为0,1,2。1817161512因为P(X=0)=一,；201918171912332P(X=1)=1-一二一199595所以X的分布律为X012P12323199595X的分布函数为012F(x)=，992951x：二00<

14、x：11<x<2x_22.17袋中有同型号小球5只，编号分别为1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只，以X表示取出的3只中的最小号码，求随机变量X的概率分布和分布函数解：X的可能取值为1,2,3。C26因为P(X=1)=-r=0.6；C31011P(X=3)=-3=0.1;c5310P(X=2)=1-0.6-0.1=0.3所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为F(x)=0.60.91三x:22_x二3x-32.18设连续型随机变量X的分布函数为：0,x<1,F(x)=<lnx,1x<e,J,x之e求(1)PX<2,P0<X<

15、3,P2<X«2.5.(2)求X的概率密度函数f(x)。解：(1)P(X<2)=F(2)=ln2P(0:二X：二3)=F(3)-F(0)=1-0=1P(2：X-2.5)=F(2.5)F(2)=ln2.5ln2=ln1.25(2)11xf(x)=F，(x)=101<x二e其它2.19设连续型随机变量X的分布函数为22xa+be2,x之0,F(x)0,x<0.(1)求常数a,b(2)求X的概率密度函数f(x)。(3)求PJin4<xw洞6).解：(1)由F(y)=1及limF(x)=F(0),x_0a=1二得,，故a=1,b=-1.a+b=0x22(2)f(

16、x)=F(x)=xe0x-0x:0(3)P(、.ln4:二X<ln16)=F(.ln16)-F(,ln4)ln16ln4,一，一彳1二(1e2)-(1-e2)=0.25o42.20设随机变量X的概率分布为X0冗2n3n2Pk0.30.20.40.1解：(1)丫的可能取值为0,2,4，因为P(Y=0)=P(X=；)=0.2；P(Y=n2)=P(X=0)+P(X=n)=0.7；23二P(Y=4二2)=P(X=万)=0.1所以Y的分布律为Y02兀4兀2P0.20.70.1(2) Y的可能取值为-1,1。因为P(Y=1)=P(X=0)+P(X=n)=0.7;_二_3二P(Y=1)=P(X=-)P

17、(X=万)=0.3所以Y的分布律为Y-11P0.70.32.21设随机变量X的分布函数为0.35 0.8T三x：二11_x：2x-2(1)求X的概率分布；(2)求¥= X的概率分布。解：(1)X的可能取值为F(x)的分界点，即-1,1,2。因为P(X=1)=0.3；P(X=1)=0.80.3=0.5；P(X=2)=10.8=0.2所以X的分布律为X-112P0.30.50.2(2) Y的可能取值为1,2。因为P(Y=1)=P(X=1)+P(X=1)=0.8;P(Y=2)=P(X=2)=0.2所以Y的分布律为Y12P0.80.22.22设随机变量XN（0,1）,求下列随机变量Y概率密度

18、函数X2Y=2X-1;(2)Y=e；(3)Y=X.解：设FY（y）和fY（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数已知fX（x）=e22二y1_y1、因为FY(y)=P(Y三y)=P(2X-1<y)=P(X三)=Fx(T)求导得fY(y) = fx("(T)=1fx(?(y1)211+1中e2:e8222、2二所以Y参数分别为-1,22服从正态分布。(2)当yM0,Fy(y)=PYWy=Pi)=0,当y>0,由已知条件，x21_2fx(x)=72T'FY(y)=P(Y£y)=P(e3y)=P(-X<lny)t2=P(XJnye2-lny)=1P

19、(X<-lny)=1-FX(-lny)=1-dt-12：求导得efY(y) = y、. 2二0,2ln x-",y 0,y 三 0;W0 ,FY(y) = PY My =P(®)=0fx(X)FY(y) =P(Y £y) =P(X2 wy) =P(.y = Fx(,Y)-Fx(-J)EXE . y)e求导得fY(y)= 2 y0_y22.,y -0;2.23 设随机变量XU(0,n)求下列随机变量Y概率密度函数： Y =2ln X;(2)Y =cosX ；(3) Y = sinX .解：(1)已知 fX(x)=0 :二 x :二二其他则 FY(y)= P(Y

20、 三 y)= P(2ln X 三 y)= P(X 三 e2) =FX(e2)求导得y y i y yfY(y) = fX(e2)(e2) =2e2fX(e2)y因为当0 <e2，即y <2ln冗时,21fX(e2)= 一；当y取其他值时_y fX(e)0。'JV9In.所以fY(y)=,27ey<2lnn为所求的密度函数o、0其他(2)根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道Y=COSX亡(1,1)。当y(-1,1),FY(y)=P(YWy)=P(cosXWy)=P(arccosyEXWg,由于随机变量XU(0R,容易求得FY(y)J-arCC0Sy冗1-

21、1：y：1求导得fY(y)=«nJ_y2,0其他(3)根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道Y=sinX乏(0,1)。当y50,1),FY(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)=P(0<X<arcsiny)+P(n-arcsiny<X<n),由于随机变量XU(0,n),容易求得FY(y)=2arCSinyJIf2/.-1<y<1求导得fY(y)=.,1-y20其他二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：(1 )离散型随机变量的分布律如果离散型随机变量之可能取值为ai(i=1,2,)，相应的取值ai的概率P色=ai)=

22、pi称pi=P=aii=1,2,% % %pi =P(W=aiPl P2 Pi 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量X的分布律：为随机变量。的分布列，也称为分布律，简称分布。(2)连设X为随机变量，如果存在一个定义在整个实轴上的函数f(x),满足条件：续型随机-bo(1)f(x)之0(2)Jf(x)dx=1变量的分(3)对于任意实数a,b(aMb)(a可以是-8b也可以是oo),有年密度bPa<XWb=ff(x)dx；1a则称X为连续型随机变量，而f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。(3)离P(X=x)定P(x<XMx+dx)f(x)dx散与连续积分兀f(

23、x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=xk)=pk在离散型型随机变随机变量理论中所起的作用相类似。量的关系设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(X<x)(4)分称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。布函数P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以彳#到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8，x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0<F(x)<1,6xx<十好;2 F(x)是单调不减的函数，即xi<x2时，有F(x1)MF(x2)；3 F()=limF(x)=0,F(十8)=limF

24、(x)=1；x_ocx-hc4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；5°P(X=x)=F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)=£pk；xk至x对于连续型随机变量，F(x)=f(x)dx。(5)八0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=1p=q大分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2，n。P（X=k）=Pn（k）=C：pkqn*,其中q=1-p,0<p<1,k=0,1,2,，n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB（n,p）。当n=1时，p（X=k）=pkq1",k=0.1,这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为-kP（X=k）