第六章 向量空间

1、第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础.二 教学目的 使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力.三 重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的

2、代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来.二 内容和要求1内容：定义、例子及简单性质2要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法.三 教学过程1 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）.2 定义及例子定义1 令是一个数域,中的元素用小写拉丁字母表示；令是一个非空集合,中元素用小写希腊字母表示.我们把中的元素叫做向量,中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称是上的一个向量空间. 1）在

3、中定义了一个叫加法,对中任意两个向量都有中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做与的和,记为.2）有一个纯量乘法,对于中的每一个数和中每一个向量,有中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做与的积,记为.3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：有（1）； （2）；（3）在中存在一个向量叫零向量,积作；它满足对 有；（4）对,使得；这样的叫做的负向量；（负向量的定义）（5）； （6）；（7）； （8）.3 向量空间的简单性质 1）由于向量的加法满足结合律,所以任意个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2

4、）命题（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间中,零向量是唯一的；对,的负向量是由唯一确定的.（同一法,略）3）命题 对,有,； ；或.4 介绍一种写法-（向量矩阵的记法）设,把它们排成一行写成一个以向量为元素的矩阵（）,设；定义（）,其中.即按照数域上矩阵的乘法定义（）右乘以（这里约定对,有）.并且设,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（） ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考 1向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2由于本章与以后

5、内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算.二 内容要求1内容：子空间的定义、子空间的交与和.2要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1子空间的概念及判定（1）定义定义1 设是数域上的向量空间,是的非空子集,若对都有,则称对的加法封闭.若对都有,则称对纯量乘法封闭.定义2 令是数域上的向量空间的一个非空子集,若对的

6、加法和纯量乘法封闭,则称是的一个子空间.TH设是数域上的向量空间的一个非空子集,若对的加法和纯量乘法封闭,则本身也作成上一个向量空间.（2）子空间的判定TH向量空间的一个非空子集是的一个子空间的充要条件是对都有.2子空间的交与和定义3 设都是的子空间,则称为两个子空间的交.命题 也是的子空间.定义4 设都是的子空间,由所有能表示为的向量组成的集合成为与的和,记为；即=.命题 也是的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考 1向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍

7、一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断.二 内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法.三教学过程 1线性相关与线性无关 （1）线性组合、线性表示及其性质定义1 设是向量空间的个向量,是数域中任意个数,我们把和叫做向量的一个线性组合.定义2 若中向量可以表示成的线性组合,即使得,则称可以由线性表示.（例略）性质 命题向量组中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题若向量可以由线性表示,而每个可由线性表示,则可以由线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质

8、定义3 设是向量空间的个向量,若存在数域中个不全为0的数使得,则称线性相关,否则称线性无关.例1 若中有一个零向量,则一定线性相关.例2 判断中向量是否线性相关例3 在中对任意非负整数,证明线性无关.（解略）性质命题 若向量组线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若有一部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.（证略）命题 设线性无关,而线性相关,则一定可以由线性表示,且表示法唯一.命题 向量（）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2向量组的等价、替换定理定义4 设和是中的两个向量组,若每个都可以由线性表示,而每个也可以由线性表示,则称这两个向量组等价.定理

9、（替换定理）设向量组（1）线性无关,且每个都可以由（2）线性表示.则A）；B）必要时对（2）中向量重新编号,使得用替换后得向量组（3）与（2）等价.推论两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.3极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义5 向量组是向量组的一个部分组（）,若满足：1）线性无关；2）每个都可由线性表示.则称是向量组的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）.极大无关组的求法：1）一般方法设给定,求其一个极大无关组.先从考虑,若,保留；考虑看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去,考虑看其是否线性无关.依次类推直至,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量

10、组的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法对中向量组,求极大无关组.首先：可以证明“命题”：“设的矩阵经过行的初等变换得到的矩阵,则与的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A）求的线性关系,可以以列作矩阵,通过对作行初等变换化为标准形,由的列向量的线性关系可得的列向量的线性关系.进而B）用上述方法可求中向量组的极大无关组.例5 求中向量组的一个极大无关组.解：以为列作矩阵.设的列向量为,这样与有相同的线性关系.容易看出线性无关,且；因此线性无关且.于是是的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2从内容上本节在于给出了基

11、与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数求基的话,即求一组个线性无关的向量.4本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳.二 内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维

12、数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法.三 教学过程1引言我们知道当时,有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2一类特殊子空间由一组向量生成的子空间定义1设,那么由的线性组合组成的集合称为由这一组向量生成的子空间.记为（）,其中叫做生成元.例1 中,则.例2 中,则.关于生成子空间有：定理设,且不全为零向量,为其一个极大无关组,则（）=（）.3基与维数1）定义2 设,若1）线性无关；2）都可由线性表示.则称为的一个基.定义3 一个向量空间的一个基所含向量的个数叫做的维数；

13、记为.规定零空间的维数为0.2）定理定理（基的作用）设为的一个基,则都可唯一地由线性表示.定理维向量空间任意多于个向量的向量组一定线性相关.定理设,线性无关（易知）,则总可以添加个向量,使得作为的一个基.特别的任意个线性无关向量都可以取作基.例3 将扩充为的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取的一个基（如标准基）,然后用代替其中某两个如,使得,线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在上后线性无关.（法二）思想方法：可以从出发,利用为列再添上两个作成一个4阶方阵,使得,如,取,则为的一个基.定理设是上向量空间的两个有限维子空间,则也是的一个有限维子空间,且：.推论 对维向量空间

14、的子空间有：.4余子空间（1） 定义：设是的子空间,若存在的子空间满足：1）,2）；则称是的一个余子空间,且称是与的直和,记为. （2）定理定理设,则对有可以唯一地表示成,其中.定理维向量空间的任一子空间都有余子空间.若是的一个余子空间,则.（3）上述概念及结论可扩充至有限设是的子空间,若1）；2）,则称是的直和,记为.且有类似于定理6、7的结论. 6.5 坐标一 教学思考 1对维向量空间取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立与的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2注意坐标的概念依

15、赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立与的同构的基础.3具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义.二 内容要求1 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2 要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质.三 教学过程（一） 坐标的概念 1定义 设是的一个基,对有,则称元有序数组为向量关于基的坐标；其中叫做向量关于基的第个坐标.2定理设是的一个基,关于此基的坐标分别为和,则关于此基的坐标分别为: ,.（二）坐标变换1基变换设和是的两个基,则每个

16、可由线性表示,设 （1）,以关于基的坐标为列构成的矩阵称为由基到基的过渡矩阵.（1）式可以写成矩阵等式= （2）；称（1）或（2）为（由基到基的）基变换.设关于基的坐标为,关于基的坐标为,则一方面 （3）；另一方面 （4）；（2）代入（4）得= （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得= （6）；于是得定理设由基到基的过渡矩阵,则关于基的坐标与关于基的坐标为由等式（6）=联系着.3过渡矩阵的性质（1）基变换的传递性设、都是的基,且由基到基的过渡矩阵为,基到基的过渡矩阵为,即=、=,则=,即由基到基的过渡矩阵为.（2）定理设由基到基的过渡矩阵为,那么是一个可逆矩阵.反过来,任意一个阶可逆矩阵都

17、可以作为维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基到基的过渡矩阵为,则由基到基的过渡矩阵为.6.6 向量空间的同构一 教学思考 1向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域上有限维向量空间的唯一本质特征.3注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定.二 内容要求1、内容：同构映射、向

18、量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定.三 教学过程1同构的概念和性质（1）概念1）同构映射 设和是数域上两个向量空间,到的一个映射叫做一个同构映射；若A）是到的一个双射；B）对；C）对.（2）定理数域上任一维向量空间都与同构.（3）性质1）同构映射的性质定理设和是数域上两个向量空间, 是到的一个同构映射,则:A) B)对;C),其中;D)线性相关线性相关;E) 的逆映射是到的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A） 反身性：； B） B）对称性：若,则；C) 传递性：若,则.（由双射性质及定义易证）2有

19、限维向量空间同构的充要条件定理数域上两个有限维维向量空间和有： .6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考 1矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2注意：齐次线性方程组（含个未知量）的解的集合构成的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系.二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法.三 教学过程 1矩阵的秩的几何意义几

20、个术语：设,的每一行看作的一个元素,叫做的行向量,用表示；由生成的的子空间叫做矩阵的行空间.类似地,的每一列看作的一个元素,叫做的列向量；由的个列向量生成的的子空间叫做矩阵的列空间.引理设,1）若,是一个阶可逆矩阵,则与有相同的行空间；2）若,是一个阶可逆矩阵,则与有相同的列空间.定理矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵的秩.2线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设 （3）是数域上一个齐次线性方程组,令为其系数矩阵,则（3）可写为 （4）或；（3）的每一个解都可以看作的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因,所以；其次：,有,