奥数新讲义特殊平行四边形2学

1、特殊平行四边形1矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：ABCD 是矩形Þ ÐA = ÐB = ÐC = ÐD = 90° ；ABCD 是矩形Þ AC = BD性质推论：CDABCOAB CBü1ý Þ OB =AC OA = OC þ判定：2ADBCÐA = ÐB = ÐC = 90° Þ ABCD 是矩形；ABC平行四边形ABCDü Þ ABCD 是矩形ýDAC = BDþAB2菱形

2、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：ABCD 是菱形Þ AB = BC = CD = DA ；D12CAABCD 是菱形Þ ì AC BDB DíÐ1 = Ð2î判定：AB = BC = CD = DA Þ ABCD 是菱形；平行四边形ABCDüCAý Þ ABCD 是菱形BAC BDþ3正方形定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形性质：具有菱形、矩形的所有性质判定： 依据定义特殊平行四边形之间的关系4有一个角是直角有一组邻边相等菱形菱形平行四边形正方

3、形矩形平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等矩形正方形O【例 1】（1）阴影部分表示的四边形是（2）以下说法错误的是（）A一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B每组邻边都相等的四边形是菱形C四个角都相等的四边形是矩形D对角线互相垂直的平行四边形是正方形（3）菱形的两条对角线长分别是6cm 和8cm ，则它的周长是（）A 5cmB10cmC 20cmD 40cm（4）把边长为1 的正方形对折 n 次，所得图形的面积是已知矩形ABCD中，两条对角线的交点为O,若OA = 5，AB = 6，【例 2】 则BC = 如图，矩形ABCD中，DF平分ÐADC 交AC于E，交BC于F，

4、 若ÐBDF=15 ，则ÐDOC= 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的是（ ）A AO=CO,BO=DO ，B AB=BC, AO=CO ，C AO=CO,BO=DO, AC BD ， D AO=CO=BO=DO 在菱形ABCD中， AB = 5 ， ÐBCD=120 则对角线AC等于（ ）A20B15C10D5 cm，则菱形的面积为cm2 菱形的一个内角为60 ， 如图，四边形ABCD是菱形，AEF是等边三角形，点E、F分别在边BC、CD上，且 AB=AE ，则ÐB 等于下列给出的条件，能判定一个四边形为菱形的是（ ）A. 有

5、一组对边平行且相等，有一个角是直角B. 有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线互相垂直C两组对边分别相等，且有一组相邻的角相等D一组对边相等，一组相邻的边相等，一组对角相等如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转 45 ， 则这两个正方形重叠部分的面积是四边形菱形矩形平行四边形 如左下图，直线l 过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线l 的距离分别是3和4，则正方形的边长为则ÐAFD 等于（ 如右下图，以正方形ABCD的一边向正方形外作等边三角形ABE，BD与EC交于F，）A 60B 50C 45D 40【例 3】 如图，将矩形 ABCD

6、沿 AC 翻折，使点 B 落在点 E 处，连接 DE 、ECE ，过点 E 作 EH AC ，垂足为 H DC（1）ACED 是什么图形,并加以证明；（2）若 AB = 8 ， AD = 6 求 DE 的长；（3）四边形 ACED 中，比较 AE + EC 与 AC + EH 的大小ABAD【例 4】 如图，矩形 ABCD 内有一点 P 1求证：（1） SDAPD + SDBPC= SDAPB + SDCPD = 2 S ABCD ；（2） PA2 + PC2 = PB2 + PD2 BC如图，正方形 ABCD 内有一点 P ， PA = 1 ， PB = 2 ， PC = 3（1）求 PD

7、的长；（2）求ÐAPB 的大小；（3）求正方形的边长【例 5】ADBCPPH【例 6】 已知：如图，菱形 ABCD ， E 是 AB 中点， DE AB ，AB = a 求： ÐABC 的度数DCAC 的长ABE 菱形 ABCD 的面积【例 7】 如图，正方形 ABCD 对角线相交于点O ，点 P 、Q 分别是 BC 、CD 上的点， AQ DP ，求证： OP = OQ ； OP OQ ADQCBP【例 8】 如图，直角 DABC 中， ÐC = 90° ， AC = 3 ，以 AB 为一边向三角形外作正方形 ABEF ，正方形的中心为O ，且OC =

8、 4 2 ，求 BC 的长度FAOECB【例 9】 两个相同的正方形，边长均为 a ，其中一个正方形过另一个正方形的中心，猜想：这两个正方形重叠部分的面积是否始终是一个定值？如果是，这个定值为多少？O【例 10】如图在正方形 ABCD 中，P 、Q 在对角线 BD 上，且ÐPCQ = 45° ，CD以线段 BQ 、QP 、PD 为边能否若不能，请说明理由一个直角三角形？若能给出证明，AB【例 11】 如图，在等边 DABC 中， ÐPCQ = 30° （1）以 AP 、 PQ 、QB 为三边，能否形中， PQ 所对应的角是多少度？三角形，若能，在此三角C

9、（2）证明： PQ2 = PA2 + QB2 + PA × QBQBAP如图，向 DABC 的外侧作正方形 ABDE 、ACFG 过 A 作 AH BC 于 H ，AH 与 EG 交于 P 求证： BC = 2AP 【例 12】EPGDAFBCHPQ【例 13】如图，矩形 ABCD 中， AB = 3 ， BC = 4 ，若将该矩形折叠，使点C 与点 A 重合，求折痕 EF的长AEDFBC【例 14】如图，折叠长方形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点F 处，如果 AB = 8 ， BC =10 ， 求 EC 的长ADECBFAND习题1 如图，四边形 ABCD 是正方形， CE = MNÐANM =， ÐMCE = 35° ，那么 EBCM习题2 如图，已知正方形 ABCD 中，点 P 在 BC 上，并且ÐAPB = 60° ，EF 垂直平分 AP 分别交 AB 、CD 、AP 于 E 、 F 、O ，若 BP = 1，则 DF =DAFECBPOO习题3 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，从各边分别作等边三角形 ABE 、 BCF 、CDG 、 DAH ，则四边形 AFGD 的（）EA B CD4 + 22 + 24 + 22 + 26 + 26 + 23 + 43 +