结构可靠度计算的实用二次二阶矩法

1、2008年12月第12期总第422期水运工程Port&WaterwayEngineeringDec.2008结构可靠度计算的实用二次二阶矩法李炜，康海贵(大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁大连116024)摘要：针对结构可靠度二次二阶矩法中曲率计算难度大，不便于工程推广的情况，利用矩阵理论建立了求解曲率的表达式，无须再从求解矩阵特征值的途径求解曲率值，简化了计算过程，提出了适应变量独立或相关情况的实用二次二阶矩法，算例验证了其精度和实用性。关键词：可靠指标；功能函数；二次二阶矩法中图分类号：TV3文献标志码：A文章编号：1002-4972（2008）12-0015-03An

2、approximatesecond-ordersecond-momentmethodforstructuresLIWei,KANGHai-gui(StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)Abstract:Anapproximatesecond-ordersecond-momentmethod(SORM)forstructureswithindependentorKeywords:reliabilityindex;performancefun

3、ction;SORM在实际工程结构的可靠度计算中，功能函数除了可能呈现高度的非线性之外，变量之间还往往存在一定的相关性。一阶矩方法(FORM)1-3用线性方程来近似功能函数，它没有考虑极限状态曲面的凹凸性，在极限状态方程高非线性情况下会产生较大的误差。二阶矩方法(SORM)4-6用椭圆或双曲线方程来近似极限状态方程，一定程度上提高了计算精度，但多是在变量独立条件下进行研究的。本文对变量相关或独立情况下的二次二阶矩法进行了研究，利用矩阵理论基本知识建立了二次二阶矩法中求解曲率的表达式，无须从计算矩阵特征向量角度经历复杂的矩阵运算求解曲率值，使二次二阶矩法更加便于实际工程的推广和应用。收稿日期：2

4、008-05-20算例证明了本文方法的准确性和工程实用性。1相关变量可靠度计算的二次二阶矩法7假设功能函数Z（X）=g（X）对于相关随机变量X=(X1，X2，Xn)T的相关系数为Xi，i）j，Xj（根据边际概率分布函数相等的原则，可以将其转换为标准正态随机变量Y=(Y1，Y2,，Yn)T，假设其相关系数矩阵为(1)，显然，当X为正态随机变量时，Yi，i）j；当X为非正态随机变量Yj=Xi，Xj（j。时，Yi，YjXi，Xji）y=1Y，YY，Y2nY，Y1Y，Y1n22Y，YY，Y112nn（1）作者简介：李炜（1981），男，博士研究生，从事工程结构可靠度评定方法的研究。·16&#

5、183;水运工程2008年从而结构失效概率表达式为：Pf=1（姨姨YZ(Y)<0乙(-1yTeY-1y)dy最终可以近似为7：Pf（-）姨n-1（3）其中：Q=-AT塄2g（y*姨Y（4）为一阶矩可靠指标；y*为验算点；I为单位矩阵；H为正交变换矩阵，用于对随机变量Y(=AY)做正交变换：Y=HU；A为相关系数矩阵Y分解得到的下三角矩阵，即有Y=AAT。利用曲率(即(HTQH)n-1的特征值矩阵)，式(3)可以改写为：Pf=（-）姨仪（5）（1-）ii=1相应的可靠指标为：SORM=-（1P）f对于独立随机变量，(4)变为：Q=-塄2g（y*姨（6）Y3求解曲率的实用方法令M=HTQH，

6、由于H为正交矩阵，因此根据其性质，M与Q的对角元素和相等，即：nnmii=qii（7）i=1i=1对于去掉第n行（列）的Mn-1=(HTQH)n-1，根据实对称矩阵的性质，存在正交矩阵P，使得：P-1Mn-1P=diag(1，2，n-1)；从而：n-1n-1mii=ki（8）i=1i=1联立(7)，(8)，有：n-1nnki=mii-mnn=qii-TQ（9）i=1i=1i=1其中：=-AT塄g（y*姨Y（10）当变量独立时，为：=-塄g（y*姨（11）Y利用式(9)可以直接求解各曲率数值，而不必像常规方法那样：利用先建立正交矩阵H，再通过求解(HTQH)n-1的特征值计算曲率。本文方法的步骤

7、如下：1）计算一阶矩可靠指标和验算点y*；2）根据相关系数矩阵Y求解下三角矩阵A，变量独立时，该步省略；3）求解功能函数一、二阶偏导数：塄g（y*），塄2g（y*）；4）由(10)(或(11)和(4)(或(6)确定和Q；5）由(9)求曲率；6）由(5)计算二阶矩失效概率Pf及可靠指标SORM。4算例分析极限状态方程7为：g（x1，x2，x3）=x3-姨12其中：x1服从对数正态分布，平均值和变异系数分别为1，0.16；x2服从极值I型分布，平均值和标准差分别为20，2；x3服从韦布尔分布，平均值和标准差分别为48，3。假定变量相互独立；假定x1，x2之间的线性相关系数为x1，x2=0.7。根据

8、变量分布特征，可以变换为标准正态变量y1，y2，y2，（过程略）。1）变量独立。利用一阶矩法求得可靠指标=3.0845；验算点坐标：y*1=0.6342，y*2=1.9569，y*3=2.2984。塄g(y*)=（-1.4503-4.4774-5.2550）T塄2g（y）*=500-1.01600-0.023050.24275000.14400计算曲率。n=1时，有：1=（q11+q22）-（TQ）n-1=（0.0578+0.2427）-第12期李炜，康海贵：结构可靠度计算的实用二次二阶矩法·17·󰀁0.2056T5󰀂󰀁0.6

9、344󰀂=0.206509n=2时，有：1+2=（q11+q22+q33）-TQ=（0.0578+0.2427+0.1440）-󰀃T󰀄󰀄0.2056󰀆󰀇󰀇󰀄󰀇󰀄󰀄󰀄0.6344󰀇󰀇󰀇󰀄󰀇󰀄󰀁󰀂·󰀅0.7451󰀇󰀈ϗ

10、043;󰀆󰀄󰀇󰀄0.2056󰀇󰀄󰀇󰀄󰀄󰀄0.6344󰀇󰀇󰀇=0.270564󰀄󰀇󰀄󰀄󰀇󰀇󰀅0.7451󰀈得2=0.064055失效概率为：Pf（-）（-）姨仪=（1-）姨i=0.0018892ii=1可靠指标为SORM=2.89614，与文献给出的可靠指标（2.8

11、960）较为一致。2）x1，x2线性相关，x1，x2=0.7。利用一阶矩法求得可靠指标=2.7830；验算点坐标：y*1=1.9009，y*2=2.1866，y*3=1.6416。相关系数矩阵：pp󰀁10.7yx=0.7010001󰀂得：A=󰀁0.71010001󰀂塄g(y*)=（-2.0036-4.6350-4.5284）T塄g(y*)=A=󰀁2-1.16109󰀂，Q=󰀁0.11741000.15103󰀂计算曲率：n=1时，有1=(q11+q22)-（TQ）n-1=

12、（0.1432+0.1171）-󰀁0.6830󰀂T0.4307󰀁0.0942󰀂󰀁0.4307󰀂=0.11624n=2时，有1+2=（q11+q22+q33）-TQ=（0.1432+0.1171+0.1513）-󰀃󰀄󰀄0.6830󰀆T󰀇󰀇0.6830󰀆󰀇󰀇󰀄󰀇󰀇󰀄󰀄󰀄

13、;󰀄󰀄0.4307󰀇󰀇󰀇󰀄0.4307󰀇󰀇󰀇=󰀄󰀇󰀄󰀇󰀄󰀁󰀂󰀃󰀄󰀄󰀄󰀄󰀄󰀇󰀇󰀅0.5899󰀈󰀅0.5899󰀈0.21489得2=0.0987失效概率为：Pf（-）（-）姨仪=（1-）姨=0.00384412ii=1可靠指标为SORM=2.6655，与文献给出的可靠指标2.6520）较为一致。5结语本文研究了变量相关情况下结构可靠度计算的二次二阶矩法，利用矩阵相关理论，得到了求解曲率的实用表达式，避免了常规方法中建立正交变换矩阵，继而通过求解矩阵特征值来确定曲率的复杂过程，便于将二次二阶矩法推广到实际工程应用中。参考文献：1RackwizzR.PracticalprobabilisticapproachtodesignFirst-orderreliability