第八章线性空间

1、 线性空间当代及古典代数学是一门研究运算和运算规则的学科它致力于具有更一般本性之元素上各种运算诸性质的研究运算所反映的是数学对象之间的一种多对一的对应关系，它给集合中原本松散堆集的元素中的任意两个之间带来了“千丝万缕”的联系，运算是使集合产生数学结构的原因，运算性质的不同决定着这种结构的不同而线性空间就是针对线性运算的研究在代数、几何、数学分析等不同的数学领域内的许多数学对象具有加法和数乘运算（比如多项式、矩阵、几何向量等等），这两种运算是数学中最基本、最普遍的两种运算尽管这些运算的对象不同、具体的运算方式不同，但是从纯数学的角度看它们却有着共性抽取它们中所包含的共同的数学内容进行抽象研究就形

2、成了线性空间的概念，这种研究方法更具概括性和普遍意义，能更深刻、更本质地反映事物的规律，可以大大提高研究效率同时应该清楚，这种研究方法抓住了不同事物的共性而抛弃了具体对象的个性，因此与各具体对象的个性相关的内容在这种研究方法中无法得到体现这是一个研究角度问题1 向量的线性关系一、向量线性相关性线性相关性是线性代数的灵魂，旨在整理、刻画在线性运算下向量之间的联系规律，是实现“以有限把握无限”的工具主要由线性表出（等价）、线性相关（无关）、极大无关组等知识构成对这部分知识的理解应注重其机理的把握1当向量可以由向量组线性表出时，应从下两个方面加以理解：向量可以由向量组进行表达和把握；向量的作用可以由

3、向量组来取代于是，当两个向量组与等价时，就有：与可以互相进行表达和把握；向量组和具有相同的数学功能2当向量组（）线性相关时，其中必有一个向量可以由其余向量线性表出从以上理解角度来看，的作用可以由其余向量来取代于是，在向量组中剔除后所得到的更为“简洁”的向量组（少了一个向量）与原向量组的数学功能相同，这说明在向量组中是相对多余的从这个意义上讲，线性相关的向量组中有这种相对多余的向量，而线性无关的向量组中就没有这种相对多余的向量，所以线性相关（线性无关）的实质是对向量组是否达到“最简”的一个刻画3从上述角度来理解，向量组的极大无关组就是该向量组中的一个“最简洁的部分组”，即：与原向量组有相同的数学

4、功能但含向量最少的一个部分组一般地，线性空间有无穷多个向量（除了零线性空间）由线性空间中有限个非零向量作线性组合可以得到线性空间中的无穷多个向量，于是,自然就会考虑到这样一个问题：能否利用线性空间中有限个向量通过线性组合将整个空间中的所有向量表达出？此问题的意义是显而易见的，因为若能够用有限个向量通过线性组合将空间中的所有向量表达出来，就可以通过这有限个向量来控制整个空间，这对于线性空间的研究将十分有利遗憾的是这不总能做到！尽管如此，这一思考将线性空间分为有限维和无限维两大类，而高等代数课本中着重讨论的有限维线性空间就是这一类能“以有限把握无限”的线性空间正是这种以有限把握无限的方法探明了有限

5、维线性空间的结构和分类对有限维线性空间来说，用来控制整个空间的这有限个向量应如何筛选是首先要考虑的问题我们自然希望这有限个向量应尽可能地少，而线性相关、线性无关正是这里的筛选工具线性空间的一组基就是一组能将空间中所有向量线性表出的、最简洁的（含向量数目最少）一个向量组统观上述整个思维框架，线性表出（等价）、线性相关（无关）、极大无关组等知识在其中扮演的角色，所起的作用就显现出来了基、坐标和维数就是在此基础上建立起来的重要概念基的作用主要体现在两个方面：以有限个向量控制整个空间中的向量；建立数域上的抽象线性空间与线性空间之间的一一对应关系这就是向量的坐标向量与其坐标之间不仅是一一对应的，更为重要

6、的是这种对应还保持运算有了这样的联系，中向量之间的运算和关系就可以转化为它们坐标之间的运算和关系，这样就可以通过研究元数组达到研究向量的目的中的向量和运算都是抽象的，而中的向量和运算都是具体的，所以这样的转化不仅大大增加了问题的清晰度，同时也增加了问题的可操作性基的上述两个作用都是建立在用基将向量线性表出的基础上的从这个意义上讲，应该把“用基线性表出向量时的难易”作为衡量一组基“好坏”的标准，即：把是否容易求得一向量在此基下的坐标作为衡量基“好坏”的标准于是，在几个常见的线性空间，中首选的基应是：；，例1证明：实数域作为有理数域上的线性空间是无限维的证明取一个超越数，则不是任何有理系数多项式的

7、根换言之，对任何正整数及个有理数，如果，必有所以线性无关，即实数域作为有理数域上的线性空间含有任意多个线性无关的向量，故是无限维的例2证明：若方阵的行向量组可以由其列向量组线性表出，则的列向量组可以由其行向量组线性表出证明设和分别是的行向量组和列向量组则它们的秩相同，设其秩为取的一个极大无关组，由已知条件可知向量组,中任意一个向量可以由线性表出，所以是向量组,的一个极大无关组，从而,的秩也是，于是的一个极大无关组也是,的一个极大无关组所以可以由线性表出，从而可以由线性表出Steinitz替换定理设有两个向量组(I) (II)向量组(I)线性无关,并且可以由向量组(II)线性表出，则；在向量组(

8、II)中存在个向量，使在(II)中用替换这个向量后得到的向量组与(II)等价证明只须证(II)由已知可得,线性相关，所以存在不全为零的数，使（*）这里不全为0（否则与线性无关矛盾）可设，则可由,线性表出，于是（*）可化为（*）同上道理，不全为0可设，则可由,线性表出，于是（*）可化为如此继续下去，最终可得可由,线性表出，所以可由,线性表出又，由已知可知，,可由线性表出所以与,等价 二、 线性相关性的抽象1935年Whitney在一篇名为关于线性相关的抽象性质的文章中,将向量线性相关性的某些性质进行抽象推广，首次提出了拟阵的概念但当时并没有引起人们的重视直到60年代Tutte发表了关于拟阵的演讲

9、一文，才使拟阵理论得到了进一步发展此后的十年,拟阵理论的发展达到了高峰现在我们知道，拟阵理论与线性代数和几何学有着密切的联系、在组合数学和组合优化中起着重要的作用此外，图论、横贯理论、组合设计和格论等方面的许多问题能够在拟阵理论中得到统一关于线性空间中一组向量的线性相关性，有下面熟知的性质：若线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关；若向量组和都线性无关且，则必存在，使线性无关将向量的上述性质用集合的语言进行抽象便得到下述概念定义1设是一个有限集合，T是的子集族，满足1)T；2)若T，则T；3)若T，且，则存在，使T则称T为一个拟阵对的子集，若T，则称为的独立集；若T，则称为的相关集设是线性空

10、间中的有限个向量组成的集合，T中的向量线性无关，由上面两个性质及定义1可知T是一个拟阵，称之为向量拟阵可见拟阵是向量组线性相关性的上两个性质的抽象推广对向量拟阵T，设T，易见T等价于向量不能由向量组线性表出（向量组线性无关）；T等价于向量可以由向量组线性表出（向量组线性相关）拟阵既然是向量线性相关性的抽象推广，它的许多概念内容及研究方法可以与向量组的相关知识对应起来拟阵的独立集和相关集是线性无关、线性相关概念的推广设T为一个拟阵，的子集叫做的极大独立集即：T，且若，则 T的极大独立集是向量组的极大无关组概念的推广定理1设T是一个拟阵，是的一个子集，是的两个极大的独立集，则注：此定理是向量组的两

11、个极大无关组所含向量个数相同的对应结果证明如果，不妨设，由定义1 的3)，存在，使T又注意到，此与是的极大的独立集矛盾定义3设T为一个拟阵，的极大独立集（也叫的基）中元素的个数称为的秩（向量组的秩概念的推广），记为的极大独立集称为的基；的极小相关集称为的圈注：向量拟阵的基就是向量组的极大无关组，的圈就是向量组的极小相关组向量组的两个极小相关组所含向量个数未必相同比如：和是向量组的两个极小相关组，但是含向量个数不同由定理12.5可知，的独立集若满足，则是的极大独立集设均为的子集，若既是的极大独立集又是的极大独立集，则是的极大独立集(由的极大性，对，有T；对，有T所以对，有T）线性空间同构的概念同

12、样可以推广到拟阵定义4设T和T是两个拟阵若存在双射：，使T当且仅当T，则称和是同构的一般地，与向量拟阵同构的拟阵统称为向量拟阵什么样的拟阵是向量拟阵？即任意给出一个拟阵，是否存在一个向量拟阵与之同构？这个1935年由Whitney提出的问题至今尚未解决！例1(剖分拟阵)设是一个有限集，是的一个剖分（即且时）对每个，给定一个正整数，令 T， 则T为一个拟阵，称为剖分拟阵证明显然，T满足定义中的1)和2).下证T满足3)设T，且令，则，且当时，由知，至少存在一个，使（由T的定义可知，）取，显然因为，所以，当时，；当时，总之有，即T这样T满足定义中的3)故T为一个拟阵对于，由于，由是不难得到，是的基

13、当且仅当；是的圈当且仅当存在，使且；在中尽可能多地选取不超过个元素（当时，选个；当时，选个；当时，选个），所选取的元素的全体就构成的一个极大独立集定义5一个子集系统T，是由有限集及的一个子集簇T组成，使得在集合的包含关系下，T是封闭的（即若T，则T）对子集系统T的组合优化问题是指下述问题：当对集合中每一个元素给定一个权后，求一个T，使其权和最大在解决子集系统的组合优化问题时，常考虑使用下边的贪婪算法Greedy 算法令；取中的最大权元素；若T，则将作为新的、作为新的返回；若T，则将作为新的返回；如此做下去直至Greedy 算法是一个十分自然的算法它的想法是始终试图把权尽可能大的元素加进中，仅当

14、把它加进里不可行时才放弃它虽然其想法既简单又朴素，但Greedy 算法在一些看上去并不简单的组合优化问题中却十分有效应当指出，并非所有子集系统的组合优化问题都可以用Greedy 算法求得最优解按照能否用Greedy 算法求其对应的组合优化问题的解，子集系统可分为两类定理2 子集系统T的组合优化问题可以用Greedy 算法求解当且仅当T是拟阵2幻方与半幻方本节介绍线性空间知识的一个应用实例幻方自古以来就吸引着人们的注意力是有理数域，若，则称为半幻方，所有阶半幻方的集合记为；若，则称为幻方，所有阶幻方的集合记为注：半幻方就是每一行元素的和与每一列元素的和都相等的方阵；幻方就是每一行元素的和、每一列

15、元素的和以及每条对角线上元素之和都相等的方阵我们的问题是：这种幻方（半幻方）有多少个？它们的结构如何？不难想象幻方（半幻方）有下述性质： 一个幻方（半幻方）按顺时针或逆时针方向旋转仍是幻方（半幻方） 一个幻方（半幻方）的转置仍是幻方（半幻方） 两个幻方（半幻方）之和以及一个幻方（半幻方）的常数倍仍然是幻方（半幻方），即幻方（半幻方）的线性组合仍是幻方（半幻方）所以和都是线性空间的子空间，而是有限维的，所以和都是有限维的所以利用它们的基就可以将所有的半幻方和幻方都构造出来下边在有理数域讨论三阶幻方和一类特殊四阶幻方的构造1 三阶幻方的构造设是一个的三阶幻方（这里分别其行和、列和、对角线和）为说话

16、方便，用分别表示的三个行和、用分别表示的三个列和、用分别表示的两个对角线和由得，由此得，所以 (1)由得，所以 (2)由得，所以 (3)由得，所以 (4)由得，所以 (5)由得，所以 (6)注意到(1)(6)得可见任意一个三阶幻方可以由，线性表出又显然，线性无关，故构成的一组基于是，可知三阶幻方的构造是 (7)例1 是否存在由自然数构成的三阶幻方，如果存在给出其构造方法解设是这样的幻方，则由(1)可知若，则由于，所以，这里是中的不同数但是在中只有和这两对数的和为6，这是不可能的所以类似地可知都不等于9因此中必有一个是9注意到幻方的性质，可设，再由得利用(7)有 ，即注意到是中的不同数，可得（或

17、）由得再由得,所以2. 一类特殊四阶幻方的构造一个阶方阵，如果它的每一行、每一列、每条对角线以及将它分成四个2阶块后每个块中的数字之和都是同一个确定的数，则称这个四阶方阵为一个Drer幻方用分别表示一个阶方阵的行和、列和、对角线和、块和例2 0-方： ，1-方：，将所有Drer幻方构成的集合记为DDrer幻方的简单性质： Drer幻方按顺时针或逆时针方向旋转仍是Drer幻方 Drer幻方的转置仍是Drer幻方 Drer幻方的线性组合仍是Drer幻方 D对于矩阵的加法和数乘构成有理数域上的线性空间，它是的子空间下边讨论Drer幻方的构造只要找到D的一组基，便可以构造出所有Drer幻方除了0-方和

18、1-方之外，最简单的Drer幻方就是由0和1构成的、的所有Drer幻方，称之为基本方显然，基本方的每行、每列、每条对角线、每个块中有且只有一个，其余元素均为0因此，基本方共有八个：，注：基本方可按下述规律构造出：首先在第一个块中的1有四种可能的位置，而每一种情况对应着中1的两种可能位置由基本方的特点可知，只要中1的位置确定了，中1的位置随之就被固定了，所以基本方共有个因为，所以线性相关又设 ，即考虑此矩阵中的元，得，再考虑矩阵中的元，得，所以线性无关下边证明D中任意一个元素可以由线性表出，这样就是D的一组基，即D于是由就可以构造出所有Drer幻方对D，设，为说话方便，用分别表示的四个行和、用分别表示的四个列和、用分别表示的四个块和、用分别表示的两个对角线和先证明的元素满足：(8)(9)(8)的证明:由得 (10) 又，即 (11)(10)-(11)可得 (12) 类似地可证得 (13) (12)+(13)可得 . (14)由得，即 (15) (14)+(15)得所以利用此等式结合性质即得总之(8)成立(9)的证明：由