高二数学空间向量的坐标运算知识精讲 人教版

1、高二数学空间向量的坐标运算知识精讲一. 本周教学内容:空间向量的坐标运算教学目标理解空间直角坐标系;掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系;掌握夹角和距离公式。二. 重点、难点:重点:用坐标运算求数量积及夹角。难点:会用空间向量处理一些空间线面关系;法向量的应用。知识点1. 坐标运算规则:设,a a a a b b b b =(123123 则,a b a b a b a b +=+(112233 a b a b a b a b -=-(112233, a a a a R =(123, a b a b a b a b =+²112233

2、a b a b a b a b a b =112233a b a b a b a b +=1122330若,A x y z B x y z (111222则,AB O B O A x x y y z z =-=-(2121212. 夹角距离公式若,a a a a b b b b =(123123则,cos <>=+a b a b a b a b a a ab b b112233122232122232d x x y y z z AB =-+-+-(212212212A x y zB x y z (111222,例1. 已知,为一基底,判断是(e e e e e e 12311223

3、30+=1222321230+=的什么条件、(?R解:、不共面e e e 123= 1222320+=+=1122330e e e是充要条件。例2. 判断下列命题是否成立。(若与共线,与共线,则与共线;1a b b c a c (、共面,则它们所在直线也共面;2a b c (若、共线则存在唯一,使3a b R b a = 解:(当为零向量时,错1b (2错(当时,不唯一时300a b =(例3. 已知,、,、,三点A B C (+-+-11322339 共线,求与的值解:存在使k R AB k AC=00,(-=-=-1123226113k -1=-=10 332-=-且 0= =0例4. 求

4、ABC 所在平面的单位法向量,其中A (-1,-1,0、B (1,1,1、C (3,4,3解:,AB AC =(221453设,n x y =(1则由²²n AB n AC x y x y =+=+=022104530 ,n =-(1211于是单位法向量为±±,=±,n n =-|(231211132323例5. 如图,平行六面体,设,ABCD A B C D AB a AD b AA 11111= c a b c BAD BAA D AA =,已知,且°|5326011 (若,求,的值;11BD x a y b z c x y z

5、R x y z =+( (求;21|AC (求与所成的角311AC B C解:(111BD BA AD D D =+=-+a b c,x y z =-=111(21212|(AC AB BC C C =+=+|(AB BC CC AB BC BC CC AB CC 2212112²²²=+-25942312321252125(³³³³³³=497|1=AC 7|31=AC (|B C B B BC 1212=+=+|B B BC B B BC 12212²=+94232120³

6、9;³°cos =7,²cos |<>=A C B C A C B CA CBC 111111=+17711(AB BC C C B B BC ²= =15987 与所成角为A C B C arc 1115987cos例6. 已知向量在、轴上的射影分别为,若的起点为a x y z a -321(412,求的终点的坐标-a 解:,a =-(321 设,且,a AB B x y z =(,(321412-=-+-x y z 即x y z x y z -=+=-=-=431221711 B (7,1,1例7. 已知空间向量,且,a b c a b

7、c a b +=031| |c =4(求²²²1a b b c c a +(求²2a b 解:(由1002a b c a b c +=+=(+=|(a b c a b b c c a 22220²²² ²²²a b b c c a +=-13(由(知²²²21132a b c a b a b c +=-=-(| ²a b =-+=13432例8. 已知非零向量,且与不共线,对,作a b a b R c a b =+ (证明:使最小的向量垂直于;I |c c

8、 a (求当,时,使最小的II a b c c =-=-(|122111 证明:(由²²I c c c a b a a b b =+=+|(|222222 知当²²,最小,此时:=-=-2222a b a a ba c | c a ab a a b a a b a =+=-+=²²²²²(|220 c a (II 略1. 设A (3,3,1、B (1,0,5、C (0,1,0,则AB 的中点M 到C 点的距离为( A.534 B.532C. 532D.1322. 已知向量a 的横坐标为0,则向量a ( A

9、. 与xOy 平面平行 B. 与xOz 平面平行C. 与 x 轴平行 D. 与 x 轴垂直 3. 已知平面内的三个点 A（2，0，0） 、B（0，2，0） 、C（0，0，2） ，则平面的一个法向 量是（ ） A. （1，1，1） B. （1，1，1） C. （1，1，1） D. （1，1，1） 4. 已知 a = (cos ，1， sin ，b = (sin ，1， cos ， 则向量 ab 与 ab 的夹角是 _。 5. 已知 a = 4e1 + 3e2 e3 ，b = 5e1 4e2 + 2e3 ，其中 e1 ，e2 ，e3 是一组正交单位基底， 则 a 与 b 夹角的余弦值为_。 6.

10、已知ABC 的顶点 A（1，0，1） 、B（2，2，2） 、C（0，2，3） ，试求ABC 的面积。 7. 已知 A（2，0，6） 、B（3，1，12） 、C（0，3，7） 、D（5，2，13） ，求证：A、B、C、 D 四点共面。 8. 已知 M、N、P 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P平面 DMN。 用心 爱心 专心 119 号编辑 6 = = 3 6 29 · 2 54 29 2 7. 证明： AB = ( 3，1，12 ( 2 ， 0， 6 = (5，1， 6 AC = (0， 3， 7 ( 2 ， 0， 6 = (2 ，

11、 3，1 AD = (5， 2 ，13 ( 2 ， 0， 6 = (7 ， 2 ， 7 由 AD = x AB + y AC 得 (7 ， 2 ， 7 = x (5，1， 6 + y (2 ， 3，1 5x + 2 y = 7 x 3y = 2 6 x + y = 7 解之得 x = 1，y = 1 向量 AD 、 AB 、 AC 共面。 A、B、C、D 四点共面。 8. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 D（0，0，0） 1（2，0，2） 、A 、 P（0，1，0） 、M（0，2，1） 、N（1，2，0） 向量 A1 P = ( 0，1， 0 ( 2 ， 0， 2 = ( 2 ，1， 2 DN = (1， 2 ， 0 ， DM = (0， 2 ，1 A1 P · DM = ( 2 ，1， 2 · ( 0， 2 ，1 = ( 2 × 0 + 1× 2 + ( 2 ×1 = 0 A1