王明慈版 概率论与数理统计 习题三

1、习题三1 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为X0123PX ( xi )Y0.40.30.20.10123PY ( yi )0.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：甲台机器一天的平均次品数 EX = 0 × 0.4 +1× 0.3 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1;乙台机器一天的平均次品数 EY = 0 × 0.43 +1× 0.5 + 2 × 0.2 + 3 × 0 = 0.9 ， EX > EY , 而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。x2 某种电子元

2、件的寿命 X （单位： h ）的概率密度为：f ( x) = áá2 x ,xex> 0;其中> 0为常数.求这种电子元件的平均寿命。á0, x < 0.+2解：= ( )= 2á= 2 2 á利用两次分部积分，可得= 。EXxf x dxxáxedx áx edxEX00á3 设随机变量 X 的概率密度为xk á , 0 < x < 1;的值f x( ) = 0, 其它.已知= 0.75, 求 及.xEX+f解：因为( x) 是密度函数，所以 f ( x) = 1, 即&#

3、225;+1á1+10 kx dx = 1 k又x= 1 + 1 0áá1ák= 1;ká1+ 2á1EX = 0.75,0 xkx dx = 0.75 kx + 2 0 =k= 075;+ 2ááá两式联立可解得= 3,= 2.k4 设设随机变量 X 的概率分布如下：-1012X1111P ( x )6662Xi求, (2+ 1),2 .EX EXEX 解：= (1) × 1 + 0 × 1 + 1× 1 + 2 × 1 = 1;EX6662E (2 X + 1)

4、 = (2) EX + 1 = 1; 1 = .EX666235 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。 解：设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为XX0123PX91 1212 P3 P9 P12即2 1 P3 P9 3P123 1 P3 P9 4P120123X330P44090440184401440 1 = 0.29;EX440440440440 =2 ()2 = 12 × 90 + 22 × 18 + 32 × 1 (129

5、 )2 0.30DXEXEX440440440440ó X =DX 0.55.x0,< 1;6 设随机变量的分布函数为 F ( x) = a + b arcsin x, 1 x 1; 试确定常数 a, b ，并求X与。EXDX1, x > 1. b, 1 1; 1x+解： ( ) = 1 2又( )= 1,f xx f x dx0, 其它.1 =b= 1, arcsin1 arcsin(1) = 1 = ;x1 1 2 dxbbðF (0) = a + b arcsin 0 = a;又 (0) =(0 0) = 0 111=( )= ,FP X = 1 . f

6、x dx1 ð1 2 dx2xa2+11111 dx11 21 2EX =xf ( x)=xdx, x是奇函数，积分区间是对称区间，所以= 0;EXðxðx=2 2=+2 = 2 ( )DXEXE XEX21111= = . x f x dx1 xð1 x2 dx227 设随机变量 X 服从自由度为 k 的 ÷分布，其概率密度为1= k 1/ 2 2,> 0; x( ) = 2k / 2 Ã( k ) xex其中 k 为正整数，求的数学期望和方差。f x2X0, 其它.+解： Ã 函数： Ã( ) = 

7、25; 1 x, Ã(+ 1) = Ã( ),> 0,á0 xe dxááá á2+ 1 1/ 2+ 2/ 21kkEX = 0 x=x 2 / 2 Ã( k ) xedx02 / 2 Ã( k ) xx edxkk22xt令 = = x 则 = 2 ，所以t21k=(2 ) 2 t(2 )0EX2k / 2 Ã( k )te dt2=1+ = k +1 k0 222 t2k / 2 Ã( k )t e dt2= k +12 22k + 10= +2t2k / 2 Ã(

8、 k )te dt2= k +12 2+ 2= Ã( k) = 2 = k = k;2k / 2 Ã( k )2222= + 2 1= k 1 x / 2 ()2DX0x 2k / 2 Ã( k ) xedxEX22令 t = = x 则x = 2t ，所以=1+= k +1 (2 ) 2t(2 ) 20DX2k / 2 Ã( k )te dtk2= k + 22 2+ k + 4 1220= t2k / 2 Ã( k )te dtk2=k4+ 4 Ã( ) Ã( ）,2 , 又Ã( k + 4 ) = Ã

9、;( k + 2 + 1) = k + 2 Ã( k + 2）= k + 2 kkÃ( k )2k2=kkk4+ 2 Ã( ）-22222222Ã( k )2= 2k.222k8 证明：函数( ) =( )2 当 =时取得最小值，且最小值为。提示：考虑ø tE XttEXDX( ) =() + ( )2 . tEXEXEXt证明：( ) =() + ( )2 tEXEXEXt=()2 + 2 ()( ) +( )2E XEXE XEXEXtE EXt=()2 + ( )2E XEXEXt2要使 (t) 最小，则后面加上的常数项 (EX t )就

10、要最小，所以EX2当 t = 0 时 (t) 最小，最小值为 E ( X EX )，即。DX9 某人的一串钥匙有 n 把，其中只有一把能开自己的门，他随意地试用这些钥匙，并且试用过的钥匙不再试用，求试用次数的数学期望与方差，提示：12 + 22 + 32 + +2 = n(n + 1)(2n + 1)n6解：设随机变量表示试用次数，则的概率分布为XX (= ) = 1 ,= 1, 2, 3; 所以= nn1+ 1 = ;P Xkknnn1EXkk =1+ 1n22 1=2 ()2 = 2 ( n)2 = = n.DXEXEXk =1 kn1212210 设随机变量 X 在 0, 2 上服从均匀

11、分布，Y = 2 X，求,。DYEY 12, 0 1 ,X解： 0, , f ( x) = x220, 其它.13 11=(22 ) = 2 22 2= 4 × x2 = ;EYEX0xdx3 061 =2 ()2 = 2 4 4 2 ( 1)2 = 1 ;DYEYEY0xdx64511 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量（单位： ）， 它 在Xt2000, 4000 上服从均匀分布。若每售出 1 ，可得外汇 3 万元。如果销售不出而积压，则t需要浪费保养费 1 万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？ 1 , 2000 4000,X解： U 2000,

12、 4000 ，则 f ( x) = 2000x0, 其它.设随机变量表示平均收Y益，货源为 s 吨，由题意= 3x (s x), 2000 X < s ，= s)(4 Y3s,14000 + 3s < X 40001EY2000xs 2000 dxss 2000 dx= 22 + 14000ss 2 × 200022000要使取得最大值，则由二次函数的极值情况知当 = 3500s时，最大。EYEYt12 游客从电视塔的底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个整点后的第 6 分钟，第 24 分钟，第42 分钟从底层上行。假设某游客在上午 8 : 00 9 : 00 之间到达电视塔底

13、层等候电梯处，到达的时刻是 8 点后的第 X 分钟，且 X 在区间0, 60 上服从均匀分布。求该游客等候电梯的时间的数学期望。YU解：0, 60, 等候时间与到达时刻的关系有：X6 x, 0 x 6;24 x, 6 < x 24;Y= 所以42 x, 24 < x 42;66 x, 42 < x 60.x6 6 = 24 24 x+ 42 42 x+ 60 66 x+ EY060 dx660 dx2460 dx4260 dx= 10.2n13 设随 机变量 X1 , X 2 X相互 独立， 并且 服从同 一分 布，数 学期 望EX i=，方差µ=2 ,= 1, 2

14、_. 求这些随机变量的算术平均值= 1 n的数学期望与方差。DX ióinXX i 1n i =_1 n1n1 n1 nE X解：= E( X ) =( X ) = EX= µ = µin i =1ini =1n i =1i=1i_1 n1n1n1n2=( ) = () = = 2 = ó=;D XDX in i =12 DX ini =12n i =1DX i2ónn i =1n14 计算泊松分布 P(ë ) 的三阶原点矩及三阶中心矩。kX解： P(ë ), P ( X = k ) = ë , 三阶原点矩为：&#

15、235;k !1k3 = 3 ë ë = 3 ë ëEXk =0 kk ! ekk = kk ! ek2k 12= k k =1ëë =(k 1)! emmë k k =1ë ë(k 1)! e= (+ 1)2 ëë (令= 1)ë m =0 mm! emk= (mm2 +2+ 1) ë ëë m =0m! e= 2 ë mm+2ëm+ ëë m =0 mm! em =0 m m! em =0 m m! e

16、= ë (2 +1)EXEX32ëë= ë (ë + 1) + ë + 1 = ë + 3+ ë()3 =( )3 =(3 32 + 3 2 3 )E XEXE XëE Xë Xë Xë= EX3 3ë EX2 + 3 2 3ë EXë= 3 + 32 + 3 (+1) + 3 2 3ëëëë ë ëë ëë=ë15 设 X ,Y 是随机变量，证明

17、 DX = DY 的充要条件是 X + Y 与 X Y 不相关。证明： DX = DY ,cov( X + Y )( X Y ) = E( X + Y )( X Y ) ( X + Y) ( X Y)=(2 EE2 ) ()2 + ()2所以 X + YE XYEXEY= DX DY = 0X与 Y 不相关；另一方面，若 X + Y 与 X Y 不相关，则cov( X + Y )( X Y ) = 0， DX = DY .16 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为( , ) = 1, y <, 0 << 1;xx求 cov( X , Y ); 并问 X 与 Y 是

18、否相关，是否独立？为什么？f x y0, 其它.解：cov( X , Y ) = EXY EXEY ，+ +EXY = xyf (x, y )dy = xydxdydxy<0 x 1x1= x(ydy)dx = 0< x <0 x+ xf X ( x) = f ( x, y)dy = 1= 2x, 0 < x < 1; x+fY ( y) = 1dxf ( x, y)dx = 1ydyx= 1 y , y < ;1所以=EXx2xdx =2x, EY = y(1 y )= 0(被积函数是奇函数),03 xdycov( X , Y ) = EXY EXEY =

19、 0, 但 X 与 Y 不独立，因为二者的联合密度不等于边缘密度的乘积。17 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 32xyxyx , 0 2, 0 ;f ( x, y) = 160, 其它.求（1）数学期望 EX , EY 。（ 2）方差 DX , DY .（3）协方差 cov( X , Y ) 及相关系数 R( X , Y ).解：5+2 33(1)( ) = ( , )= x = , 0 2,f X x f x y dy0 16 xydy32 xx= 23312127= ;EX0 x 32 x dx32 7 x 07+y)( , )2 33 (4), 024,fY ( y=

20、f x y dx = 16 xydx = 32 y y y x 43= (4 )=2;EY0 y 32 yy dy(2)2 = 2 2 35= 3,=2 2= 3 123 )2 = ;EXxx dxDXEXE X(03274942 = 3242y= (4 ) ,=2 4=2 ;EY0 y 32y dy5 DYEYE Y5(3) cov( X , Y ) = E( XY ) EXEY = xy f (x, y )dyx22= 0 02 2x y dxdydx 24 = 32 24 = 8 ;79763(, ) =X Ycov(, )R X Y 0.874.DXDY18 已知随机变量 X ,Y 相

21、互独立，且 EX = 5, DX = 1, EY = 2, DY = 1, 设YU = X 2 ,V = 2 X Y , 求（1）数学期望 EU , EV ; （2）方差 DU , DV ; （3）cov( ,V ), R( ,V ).UUY解：(1)EU = E ( X 2 ) = EX 2EY = 5 2 × 2 = 1;EV = E (2 X Y ) = 2EX EY = 2 × 5 2 = 8;(2)DU = D( X 2 ) = DX + D(2 ) = DX + 4DY = 5;YYDV = D(2 X Y ) = D(2 X ) + DY = 4DX + DY = 5;U(3) cov( ,V ) = EUV EUEVY= E( X 2 )(2 X Y ) 8=(22 5+ 2 2 ) 8EXXYY= 12 8 = 4;( , ) =Vcov( , )44=U= = .R U VDXDY5 5519 已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在 7300，标准差是 700，利用切比雪夫 不等式估计每毫升血液中白细胞数在 5200 9400 之间的概率。解：设随机变量表示白细胞数，则X