【高考数学秘籍】双曲线

1、第 59 讲双曲线2 21. （2015 福建卷）若双曲线 E:X 6=1 的左、右焦点分别为 F!, F2,点 P 在双曲线 E上，且 IPFg 3，则|PF2|等于(B)A. 11 B . 9C. 5 D. 3魁 3 由题意知 a = 3由双曲线的定义有|PF1|PF2|=|3|PF2|= 2a= 6，所以|PF2|= 9.1 1A . y= xB . y=寸1C. y =挣 D . y=EES 因为，所以c=25a，所以 b=- c2 a2= *a.2 2而X2y2= 1 的渐近线方程为 y=x,a ba所以所求的渐近线方程为y= 2x.2 23.（2017 天津卷）已知双曲线 令一 1

2、（a0, b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近a b线上， OAF 是边长为-的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为2 2 - -x y “A = 1 4122x2c.3y=1由 mOF 是边长为-的等边三角形得到/ AOF = 60 c= |OF|= 2. 又点 A 在双曲线的渐近线 y=bx 上,a所以一=ta n 60 = J3.a又 a2+ b2= 4，所以 a= 1, b = 3,2所以双曲线的方程为 x23 = 1.324. （2017 新课标卷I）已知 F 是双曲线 C : x2 = 1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1,3

3、），则 APF 的面积为（D）1 12.已知双曲线x y孑b2=1(a0,b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（C）2 2B.X-y-=11242D . x2人=13堪 3 根据题意画出草图如图所示(D)-3c.3 D.22CO 因为 F 是双曲线 C: X2鲁=1 的右焦点，所以 F(2,0).3因为 PF_lx轴，所以可设 P 的坐标为(2 , yp).2因为 P 是 C 上一点，所以 4 一 y3 = 1,解得 yp= 3,所以 P(2, 3), |PF|= 3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1 ,113所以 S&PF= 2X|PF|x1 = 2x

4、3X1 =-.2 25.(2016 北京卷)已知双曲线Xy2= 1(a0, b0)的一条渐近线为2x+ y= 0, 一个焦a b点为(5, 0)，贝Ua =1, b=2.2 2因为双曲线 字一泊=1(a0, b0)的一条渐近线为 2x+ y= 0,即 y= 2x,所以？=2又双曲线的一个焦点为(.5, 0),所以 a2+ b2= 5由得 a = 1, b= 2.2 26. (2016 山东卷)已知双曲线 E:弓y2= 1(a0 , b0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, a bAB, CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|,贝 U E的离心率是如图，由题意知又 2

5、|AB|= 3|BC|,所以所以 2(c2 a2) = 3ac,两边同除以 a2并整理,得 2e2 3e 2= 0,解得 e= 2(负值舍去).2 27.已知点 P 是双曲线 4p 字=1(a0)上的一点，以点 P 及焦点 F1、F2为顶点的三角形 的面积等于 1，且/ F1PF2= 90求双曲线的方程.|PF1| |PF2| = 4a,根据题意有222|PF1| + |PF2| = 4c ,2 2 2由得 |PF1|PF2|= 2(c 4a ),-2.22.2又 c = 4a + a = 5a ,12所以 SAPF1F1= 2|PF1| |PF2|= a = 1,2故所求双曲线方程为x y2

6、= 1.：l煎屯J #*2&已知 M(X0 ,y)是双曲线C:X2 y2= 1 上的一点，F1,F2是 C 的两个焦点.若 MF1MF20,则 y0的取值范围是(A)所以MFiMF2= (j3 Xo, yo)(J3 xo, yo)=x0+ y0 3= 3y0 10, 解得33y0, b0)的左顶点为 A,右焦点为 F，点 B(0，b)，且 BA BF = 0,则双曲线 C 的离心率为C33 因为 A( a,0), F(c,0), B(0, b), 所以 BA=(a, b), E3F=(c,b),因为 BA BF = 0,所以一 ac+ b2= 0, 即卩 c2 a2 ac= 0,21

7、+ V5所以 e2 e 1= 0,所以 e=厂(负值舍去).10.已知双曲线 C 的中心在坐标原点 0,对称轴为坐标轴，点(一 2,0)是它的一个焦点， 并且离心率为j3(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 已知点 M(0,1)，设 P(X0,0)是双曲线 C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点，求 MP MQ 的取值范围.2 2區 3 (1)设双曲线的方程为 a2器=1(a0, b0)，半焦距为 c,则 c = 2,又由c= 3，得 a = . 3, b2= c2 a2= 1,a 32故所求双曲线 C 的方程为育y2= 1.依题意有：Q( X0, y0),所以 MP = (X0, y 1), MQ = ( X0, y 1),2所以 MP MQ = X0 y0+1，又 X yc)= 1,3所以 IMP MQ = 4X0+ 2,2由 X0y0=