第九章(第一部分)重积分

1、第九章 重积分（第一部分）二重积分一、二重积分的概念 1定义 ： .2几何意义： 表示曲顶柱体的体积3物理意义： 的质量. 二、二重积分的性质1线性性质：.2可加性：.3的面积：.4单调性：若在上，则.5估值性质：设，是的面积，则. 6中值定理：设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得 .7奇偶对称性：8轮换对称性：若和互换后区域不变，即关于直线对称，则.三、二重积分的计算方法1利用直角坐标计算（关键：选择积分次序） .（1）型区域： ，（见图（a）. 图（a） 图（b）（2）型区域： ，（见图（b）.2利用极坐标计算：. 3.二重积分的换元法设在平面上的闭区域上连续，变换将平

2、面上的闭区域变为平面上的闭区域，且满足(1) 在上具有一阶连续偏导数；(2) 在上雅可比式： ；(3) 变换是一对一的，则有.五、二重积分的应用1几何应用 （1）曲顶柱体的体积 （其中）. （2）曲面面积 .2物理应用（1）质量 .（2）质心 ，.（3）转动惯量 ，.（4）引力 .四、例题例1. 求，：.解：因为区域关于直线对称，利用轮换对称性有.例2. 证明.分析 观察所要证明的等式的左右两边不难发现，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于将左边的二次积分交换

3、次序。解 设为：；把表示成型区域为：；于是有.例3.计算二重积分，其中分析若将二重积分直接化为极坐标系下的二次积分，积分会很麻烦，故考虑将极坐标转化为直角坐标。解 ， 例4. 求，其中是由轴、轴和直线所围成的闭区域。解：令，或，则变为：, , 故.（第二部分）三重积分一 、三重积分的概念1定义 .2物理意义 表示体密度为的空间物体的质量.二、三重积分的性质1线性性质：.2可加性：.3的体积：.4 单调性：若在上，则.5估值性质：设，是的体积，则. 6中值定理：设函数在闭区域上连续，是的体积，则在上至少存在一点，使得 .7奇偶对称性：.8. 轮换对称性（变量位置的对称性）：(1) 设由表示，若将

4、和的位置交换后，仍表示，则.(2) 若区域不变，则.三、三重积分的计算方法1利用直角坐标计算 .（1）“先一后二”法 若，则 . （2）“先二后一”法 若，其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则.2利用柱面坐标计算若，则.3利用球面坐标计算若，则 .4. 三重积分的换元法设在有界闭区域上连续，变换，将空间上的闭区域变为空间中的，且满足1) 所有偏导在连续；2) 3) 变换是一对一的；则有换元公式：.四、三重积分的应用1几何应用 空间立体的体积 .2物理应用（1）质量 .（2）质心 ，.（3）转动惯量 ，.（4）引力 .例题：例1. 计算三重积分其中为：.分析 由于被积函数中含有

5、绝对值，所以应首先考虑如何去掉绝对值符号；注意到积分区域关于三个坐标面均对称，同时被积函数关于都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，可将所求的三重积分简化为如下积分其中为在第一卦限内的区域。再根据轮换对称性，又有 ，而积分可在直角坐标系下采用“先二后一”（先对积分，后对积分）的方法计算。解 设，由于积分区域满足轮换对称性，且关于三个坐标面均对称，同时被积函数关于都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，得 （其中） .注 若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积函数的积分却不易求得。例2. 求椭球体的体积。解：作广义球面坐标变换 ，则变换将椭球体变为球体，于是 .五、利用曲面的参数方程求曲面的面积若曲面由参数方程，给出，其中是一平面有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，且不全为零，则曲面的面积 .其中 ，.例3. 求环面，的面积。解：， ， ， .六、含参变量的积分1. 定义：设在矩形区域上连续，任意取定，称为含参变量的积分。2. 性质：设在矩形区域上连续，(1) 在上连续；(2) 在上可积，且有积分号下可积分；(3) 在上可导，（假设在上连续）且有积分号下可微分；推广：.设在矩形区域上连续，在上连续，(4) 在上连续；(5) Lebniz公式特别地，则有.例4. 求.解： 设，应用积分号下可微分有： ，两端求不定