第五章第一章第一章

1、5.1原函数与不定积分的概念一、原函数的概念和不定积分二、不定积分的性质一、原函数的概念和不定积分原函数存在定理定理：如果函数在区间内连续，那么在区间内它的原函数一定存在，即：存在，对一切的，均有。简言之：连续函数一定有原函数。如果有原函数，那么原函数的个数为无限多个。定义2 在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分， 记作 ，即 其中：称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。不定积分的几何意义：。1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线， 其方程为2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族， 它们的方程为。3、由可知：在积分曲线族上横坐标相同的点处作切

2、线，这些切线彼此平行。二、不定积分的性质由不定积分的定义可得以下性质：(1)由不定积分和微分的关系关系式： 或 或 由此可见，微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。（2）运算性质性质1 性质2 ( 为非零常数 )注意：要检查不定积分是否计算正确，只要对结果求导，看是否等于被积函数。 小结：1原函数的概念和不定积分 2、不定积分的性质微分与不定积分的可逆性： 不定积分的线性运算 ( 为非零常数 )5.2 基本积分公式 由基本微分公式可得基本积分公式 (为常数)， ()， ， ， ， ， ，.这些基本公式是求不定积分的基础，应熟

3、记小结：应用不定积分的基本公式求不定积分常需对被积函数作变形，变形的主要原则将其拆分为若干个能够直接使用积分表的积分分别计算5.3 换元积分法用基本积分表中的公式和积分运算性质就无法计算。因此需要寻找新的积分方法对应于复合函数的求导法则，可以得到相应的积分法则，通常称为换元积分法一第一类换元法二、第二类换元法一 第一类换元法定理1 （第一类换元法）：这种方法称为凑微分法（将公式中的箭头作出动态效果）注意：换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式： ； ； ； ； ； ； ； 等等二第二类换元法由以上的讨论可以看出，当积分不易求

4、得，而将它凑微分为的形式易于积分时，利用第一类换元法可以方便地求出积分但有时问题正好相反，积分不易求出，但选择适当的变量代换，以、代入后将积分化为的形式反而易于积分此时我们可通过这种代换来求积分这种积分方法称为第二类换元法定理2第二类换元法 注意：利用第二类换元法求不定积分的关键在于选择适当的变量代换I 注意：一般地说，当被积函数含有形如的根号时，可作代换，解出与，再将它们一起代入被积表达式，积分后回代原变量 注意：1）两种方法结合使用。 2）尽量使用第一换元法即凑微分法。 本节得到的一些积分结果常作公式使用，我们将它们列在下面，作为对基本公式的补充 ， ， ， ， ， ， ， ，小结：1、第

5、一类换元法 2第二类换元法(1) 当被积函数含有形如的根号时，可作代换(2) 三角代换： 被积函数含有 作 代 换 5.4 分部积分法 分部积分公式 总结: 如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。二、特殊情况1、用分部积分法计算不过有时需要多次使用分部积分法2、用分部积分法计算，有些还会出现与原不定积分同类的项,需经移项合并后方能完成求解。例7 求1） 2）解 1） 因为： 所以：2）因为： 所以： 3、用分部积分法计算，有些还还要结合其他方法：变形、换元等。小结：1对可微函数、，有分部积分公式： 当容易

6、求出，且比易于积分时利用分部积分公式易于计算2要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分d的方式如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。5.5 、微分方程初步一、微分方程的基本概念二、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程一、微分方程的基本概念1、微分方程定义 ： 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 （5） （6） 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程相关概念： 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶 2、微分方程解的定义： 如果

7、将已知函数代入方程后，能使其成为恒等式，则称函数是方程的解 如（3）式即为方程（1）的解。3、微分方程通解的定义： 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解如（3）式即为方程（1）的通解。在通解中确定了任意常数值的解，称为微分方程的特解如（4）式即为方程（1）的特解。注意：一般地讲，微分方程通解的图形是一族曲线，这一族曲线称之为积分曲线。微分方程特解的图形是一条积分曲线。4、求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为初值问题 如 （4）式即为初值问题的解初值问题的几何意义为：求微分方程通过初值点的那条积分曲线。二、可分离变量的微分方程 定义 如果一

8、阶微分方程能化成 的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。 例如：对于一阶微分方程 分离变量的微分方程 通解为： 分离变量： 将上式两端积分 左边关于积分，右边关于积分 得 两边常数合并也得到了这个方程的通解。可分离变量微分方程的求解：两端分别关于积分和积分设依次为及的原函数，于是有 隐式通解 注意：如果需要求其特解，可由初始条件代入通解中定出任意常数的值，即可得到相应的特解一般地，利用微分方程解决实际问题的步骤为： 利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件； 利用数学方法求出方程的通解； 利用初始条件确定任意常数的值，求出特解三、一阶线性微分方程形如 （10）的微分方程，称为一阶线性

9、微分方程， 其中均为的已知函数当时，称方程(10)是齐次的; 当不恒为零时，称方程(10)是非齐次的我们先考虑方程(10)是对应的线性齐次微分方程 (11)的通解问题。方程(11)是可分离变量的，分离变量后，得 两边积分，得于是，方程(11)的通解为 (12)下面求方程(10)的通解 由于齐次方程 (11)是非齐次(10)的特殊情况，那么方程(10)的通解中必包含着方程(11)的通解它们的解之间必有某种内在联系： 设（10）的通解形如： (13)代入方程(10)，得 即 两边积分，得. 把上式代入(13)式，便得方程(10)的通解为 (14)将(14)式写成两项之和结论：一阶线性非齐次方程的通

10、解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和小结：1、微分方程的概念、阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题1可分离变量的方程：，两边积分得通解2一阶线性方程：的通解为 3 两种类型的方法固定，所以解方程之前，先判断类型，然后化成标准形式再代公式。 5.6 定积分的概念及其基本性质一问题的提出 二、定积分的定义三定积分的基本性质注意：对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明：2定义定积分时已假定下限小于上限，为便于应用，规定当时， 此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号3、函数在上可积，则在上必有界。4、许多实际问题都可用定积分表示. 定理 （可积性）1）在闭区间

11、上连续的函数必在上可积；2）在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.三定积分的基本性质假定所列定积分都是存在的性质1 这个性质可推广到有限多个函数的情形性质2 （为常数）性质3 不论三点的相互位置如何，恒有这性质表明定积分对于积分区间具有可加性性质4 若在区间上，则 定积分的正性若在区间上，则推论1 若在区间上，则 定积分的单调性。推论2 性质5 (估值定理) 设函数在区间上的最小值与最大值分别为 与，则利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.性质6(定积分中值定理) 如果函数在区间上连续，则在内至少存在一点，使下式成立： , 这个公式称为积

12、分中值公式.几何意义：对曲边连续的曲边梯形，总存在一个以为底，以上一点的纵坐标为高的矩形， 其面积就等于曲边梯形的面积（图2）小结：1、定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法求出的一个确定的数。2定积分的几何意义：若，则积分表示如图1所示的曲边梯形的面积；3可积性定理：在上连续的函数必在上可积在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.4定积分的基本性质（上述性质16） 5.7 微积分基本公式 一、变上限积分及其导数公式二牛顿莱布尼茨公式一、变上限积分及其导数公式设函数在区间上连续，则在上连续，故积分存在，称为变上限的积分. 注意：为避免上限与积分变量混淆，将它改记为. 显

13、然，对上任一点， . (1)称为积分上限函数。函数具有如下重要性质： 定理1 如果在区间上连续，则由(1) 式定义的积分上限的函数在上可导，且有. (2)推论1、 若函数在区间连续，则变上限的函数是在上的一个原函数由推论1可知：连续函数必有原函数. 由此证明了上一章给出的原函数存在定理推论2、设均可导，则：1)、 2）、注意： 是的复合函数，它由，复合而成，求导时要用复合函数求导公式计算得： 同理： 二牛顿莱布尼茨公式定理2 （ 牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 注意：1、牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，定

14、积分的计算提供了一种简便的方法. 在运用时常将公式写出如下形式： 2、 注意使用条件，在上连续。如 为无穷间断点， 不连续，不能直接使用牛顿莱布尼茨公式. 小结：1变上限的积分 如果在区间上连续，则有2牛顿莱布尼茨公式 ，其中是的一个原函数，而原函数可以用不定积分的方法求得5.8 定积分的换元积分法与分部积分法由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的一定积分换元法二定积分的分部积分法一定积分换元法定理 假设函数在区间上连续；函数满足： (1) (2)

15、 在（）上单调， 且导数连续。 注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限注意：利用凑微分法换元不需要变换上、下限 注意：连续周期函数在一个长度为一个周期的区间上积分为定值。 二定积分的分部积分法设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得等式两边同时在区间上积分，有 定积分的分部积分公式， 注意：定积分分部积分有时需要结合换元。 小结：1定积分换元积分定理： 注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限2定积分分部积分法：设函数与均在区间上有连续的导数，则有3对称区间上的积分：设在上连续，则有(1) 若为奇函数，则；(2) 若为偶函数，则5.9 无穷限的反常积分小结：1设在积分区间上连续，定义，若右端的极限存在，则称左端的反常积分收敛，否则称该反常积分发散 2当收敛，其值为，当时发散5.10 定积分的应用 一、元素法二、平面图形的面积三旋转体的体积四、 由边际函数求总函数一、元素法二、平面图形的