【高考冲刺】最新上海市崇明区高考数学一模试卷及解析

1、上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 1212 题，满分 5454 分，其中 1-61-6 题每题 4 4 分，7-127-12 题每题5 5 分）1. （4 分）已知集合 A=1,2,5 , B=2,a，若 AUB=1,2,3, 5，则 a=_.2._ （4 分）抛物线 y2=4x 的焦点坐标为_ .3. （4 分）不等式*V0 的解是_ .x+14. （4 分）若复数 z 满足 iz=1+i （i 为虚数单位），则 z _.5._（4 分）在代数式（x-）7的展开式中，一次项的系数是 _ .（用数字x作答）6. （4 分）若函数 y=2sin（x-三）+1（30）的最小正周期

2、是n则 _ .37. （5 分）若函数 f （x） =xa的反函数的图象经过点（丄，丄），则 a=.248. （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27n品，则该几何体的侧面积为 _cm2.9. （5 分）已知函数 y=f （x）是奇函数，当 xv0 时，f （x） =2x- ax,且 f （2）=2,贝 U a=_.10 . （5 分）若无穷等比数列an的各项和为 Sn,首项 3=1，公比为 a-|，且丨 i Li Si=a,贝 U a=_.co11. （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，畐 I队长 1 人，普通队员 2 人组成

3、4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_ 种不同的选法.（用数字作答）12 . （5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E.若：1?=6,=2,贝 U AC=_二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分 2020 分）13. （5 分）展开式为 ad- be 的行列式是（）A.1 bB.卜;C.a dlD.b adclbdlb c|d c14. （5 分）设 a, b R,若 ab，则（）A.丄v 1B.lgaIgb C.sin asin b D.2a2ba b15. （5 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn,贝U “d

4、0”是“SSe23” 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件/216. （5 分）直线 x=2 与双曲线一-y2=1 的渐近线交于 A, B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若 l=a i+b I，（a, b R, O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A. a2+b2 1B. |ab| 1 C. | a+b| 1 D. |a- b| 2 三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分 7676 分）17. （14 分）如图，长方体 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=2 A1C 与底面 ABCD 所 成的角为 60（1） 求四棱锥 A1-

5、 ABCD 的体积；（2） 求异面直线 A1B 与 B1D1所成角的大小.18. （14 分）已知 f （x） =2 sinxcos+2cos2x- 1.（1） 求 f （x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；（2） 在厶 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 a= 一 , b=，且 f（三）=；，求边 c 的值.19. （14 分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规 划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为

6、上一年的基础上增长 50%.记 2016 年为第 1 年，f (n)为第 1 年至此后第 n(n N*)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润二累计净收入-累计投入，单位：千万元)，且当 f (n)为正值时，认为该项目赢利.(1) 试求 f (n)的表达式；(2) 根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.20.(16 分)在平面直角坐标系中，已知椭圆 C:二-+y2=1 (a0，a 1)的两a个焦点分别是 F1，F2,直线 I: y=kx+m (k，m R)与椭圆交于 A，B 两点.(1) 若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且 MF1F2是直角三角形，求 a 的值；(2) 若 k

7、=1,且厶 OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系；(3) 若 a=2,且 koA?koB=-I，求证： OAB 的面积为定值.421.(18 分)若存在常数 k (k 0)，使得对定义域 D 内的任意 X1，X2(刘工 X2)， 都有 | f (X1)- f ( X2) | k| X1- X2| 成立，贝U称函数 f (x)在其定义域 D 上是“-利普希兹条件函数”(1)若函数 f (x)，( K x 4)是“-利普希兹条件函数”求常数k 的最 小值；(2) 判断函数 f (x) =log2X 是否是“2利普希兹条件函数”若是，请证明，若 不是，请说明理由；(3

8、) 若 y=f (x) (x R )是周期为 2 的“1利普希兹条件函数”证明：对任意 的实数X1，X2，都有| f ( X1)- f (X2) | 1 .2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 1212 题，满分 5454 分，其中 1-61-6 题每题 4 4 分，7-127-12 题每题5 5 分）1. （4 分）已知集合 A=1, 2, 5 , B=2, a,若 AUB=1, 2, 3, 5，则 a= 3 .【解答】解：集合 A=1, 2, 5 , B=2, a,AUB=1,2,3,5,-a=3.故答案为：3.2.（4 分）抛物线 y2=4x

9、的焦点坐标为（1 , 0）.【解答】解：抛物线 f=4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程，p=2：焦点坐标为：（1, 0）故答案为：（1, 0）3.（4 分）不等式vV0 的解是 （-1, 0）.K+1【解答】解：不等式0）的最小正周期是n,则co=2.3【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数 y=2sin（ox-弓）+1（ o0）的最小正周期是T=n,解得o=2故答案为：2.7.（5 分）若函数 f （x） =xa的反函数的图象经过点（I ,，则 a=_. F【解答】解：若函数 f （x） =xa的反函数的图象经过点（I,】），24则：（）满足 f （x） =xa,42所以：， 解得

10、：厂, 故答案为：I .8. （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27n帚，则该几何体的侧面积为18ncm2.【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆 柱体， 设正方形的边长为 acm，则圆柱体的体积为2V=na?a=27n解得 a=3cm；该圆柱的侧面积为 S=2 冗X3X3=18ncrti.故答案为：18n9.(5分)已知函数y=f (x)是奇函数， 当xv0时， f (x)=公-ax,且f (2) =2,贝U a=,.【解答】解：函数 y=f (x)是奇函数，当 xv0 时，f (x) =2x ax,二 x0 时，f (

11、x) =2x a ( x)， f (x)=2xax，- f (2) =2， f (2) = 222a=2，解得 a=-.8故答案为：-.810. （5 分）若无穷等比数列an的各项和为 Sn,首项 6=1，公比为 a，且1 unSn=a，则 a= 2.【解答】 解： 无穷等比数列 an 的各项和为 Sn,首项 ai=1， 公比为 a-： , 且】i u!Si=a,a i1可得.=a,即有=a,1_q一吨）即为 2a2 5a+2=0,解得 a=2 或=由题意可得 0v| q|v1,即有 0v|a|v1,检验 a=2 成立；a不成立.故答案为：2.11. （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生

12、中选出队长 1 人，畐 U 队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不 同的选法.（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有1 名女生，则分 3 种情况讨论：1、选出志愿者服务队的 4 人中有 1 名女生，有 C53C31=30 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况， 此时有 30X12=360 种不同的选法，2、选出志愿者服务队的 4 人中有 2 名女生，有C2C32=30 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为

13、普通队员，有 1 种情况， 此时有 30X12=360 种不同的选法，3、选出志愿者服务队的 4 人中有 3 名女生，有 C51C33=5 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况， 此时有 5X12=60 种不同的选法，则一共有 360+360+60=780;故答案为：780.12. （5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D，E.若：1?=6,|-11 =2,贝 U AC= 4.【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设 B（-a，0），C（a，0），E（0，b），/ABCa，由 | 画=2,知

14、A（-a+2cosa2sin）， AE =（a-2cosab-2sin），上（2a，0），AE? BC=2a（a-2cosa+0=2a?-4acosa=62a-2acosa=3又 AC=（2a-2cosa -2sina，正2= (2a- 2cosa2+ ( - 2sin )2-4a -8acosa+42=4( a - 2acosa+4=4x3+4=16, I1=4,即卩 AC=4二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分 2020 分）13. （5 分）展开式为 ad- bc 的行列式是（）A.a blB. |a:C.a 3 D.b adlbb b，则（）A. vB.lgaIgb C.sin a

15、sin b D.2a2ba b【解答】解：由 ab,利用指数函数的单调性可得：2a2b.再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出 A, B, C 不正确.故选：D.15.（5 分）已知等差数列命的公差为 d，前 n 项和为 务贝 U0”是“S&20” 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：3+S62S5,4ai+6d+6ai+15d 2 （5ai+10d）, 21d 20d, d 0,故“0”是“SS62&”充分必要条件，故选：C216. （5 分）直线 x=2 与双曲线亠-y2=1 的渐

16、近线交于 A, B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若1：=a +b 匚E（a, b R, O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A. a2+b2 1B. |ab| 1 C. | a+b| 1D. |a- b| 22【解答】解：双曲线y2=1 的渐近线为：y= x.42把 x=2 代入上述方程可得：y= 1.不妨取 A （2, 1）, B （2,- 1）.1= +b1= （2a+2b, a - b）.代入双曲线方程可得： *宀-（a- b）2=1,化为 ab=-4 l=ab二，化为：|a+b| 1.M故选：C.三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分 7676 分）17. （14 分）如

17、图，长方体 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=2 A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60(1)求四棱锥 ABCD 的体积；(2) 求异面直线AiB与 B1D1所成角的大小.【解答】解：(1)v长方体 ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=2 AA 丄平面 ABCD AC=屈;p=2 迈,/AiCA是 AiC与底面tS正方形ABCEFABXBC=2X 2=4,四棱锥 Ai- ABCD 的体积：x/1 1 (- 8V=J：_二二G=-=-(2)tBD/ RDi,ZAiBD 是异面直线 AiB 与 BiDi所成角(或所成角的补角) BD=J_ 1：汽,AiD=AiB=_=2 二，

18、AIBZ+BD2-AID2cosZAiBD= .28+8-囲Z T玄斥天，=:4 ZAiBD=arccos-14异面直线 AiB 与 BiDi所成角是 arccosL；.1418.(14 分)已知 f (x) =2 sinxcosx2cos2x 1.(1) 求 f (x)的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；(2) 在厶 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 a=二,b=二，且 f U)=-，求边 c 的值.【解答】 解：f (x) =2 :sinxcosxF2co$x - 1=；sin2x+cos2x=2sin (2x+=)6(1) 当 2x+=+2kIT 时

19、，即 x=k 兀昇 (k Z)，f (x)取得最大值为 2;6 2 6(2) 由 f (二)=二，即 2sin (A+二)=匚V可得 sin (A+)=6 2/ OvAv nvAv AA=或2 ,K22Ac +b -a cosA=2bc a= , b=:,解得：c=4仃2.2当 A= 时，cosA=022bcIa=,b=:,解得：c=2.当 A=时,.73巴_ GB4,19. (14 分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规 划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，

20、每年的净收入均为 上一年的基础上增长 50%.记 2016 年为第 1 年，f (n)为第 1 年至此后第 n(n N*)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润二累计净收入-累计投入，单位：千万元)，且当 f (n)为正值时，认为该项目赢利.(1)试求 f ( n)的表达式;(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. n (n N*)年的累计投入为 8+2(n- 1) =2n+6 (千万元)，第 1 年至此后第 n (n N*)年的累计净收入为7- 4，当 n4 时，f (n+1)- f ( n) 0，故当 n4 时，f (n)递增.15X J -2 仁-A 0.该项目将从

21、第 8 年开始并持续赢利.答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f (x)=兮)龙-2x- 7 (x 1)，则 f (x)=令f(x) =0，得=5，二 x4.2.3 ln3-ln2 1. 1-0.7【解答】解：(1)由题意知，第 1 年至此后第迄严12丿=.: :1- (千万元).f(n) =g，1-(2n +6)=-2n-7 (2)方法一：Tf (n+1)- f (n) =I(千万元).n+1-2 (n+1) - 7-:上:2n-又 f(1)=-一V0，f(7)=24,lrr2从而当 x 1, 4)时，f(x)V0, f (x)递减; 当x(4, +x)时，f(x)0,

22、f (x)递增. 又f( 1) =-HV0,f (7)22325- 23=20.=二严5X2_-2 仁-兰V0,f(8)28 8该项目将从第 8 年开始并持续赢利.答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利.20. (16 分)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：二 +y2=l (a0, a 1)的两 a个焦点分别是 Fi, F2,直线 I: y=kx+m (k, m R)与椭圆交于 A, B 两点.(1)若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且 MF1F2是直角三角形，求 a 的值;(2) 若 k=1,且厶 OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系;(3) 若 a=2,且

23、koA?koB=- ，求证： OAB 的面积为定值.4【解答】解：(1)vM 为椭圆短轴上的一个顶点，且 MF1F2是直角三角形， MF1F2为等腰直角三角形，OFi=OM,当 a 1 时， |=1,解得 a= :,当 0Vav1 时，1=a,解得 a=，-,(2)当 k=1 时，y=x+m，设 A (为，yj , (X2, y2),/2 .,即(1 +a2) x2+2a2mx+a2m2- a2=0,+y =1o2 2.、，丄、，2a ma m-aX1+X2= , X1X2=1+/2If J22 y1y2= (*+m) (X2+m) =xx2+m (X1+x2)+m =,1+a2OAB 是以

24、O 为直角顶点的直角三角形,？1=0,=ixiX2+yiy2=0,2 2 2 2，.i.+ i - =o :=，a2m2- a2+m2- a2=0m2(a2+1) =2a2,(3)证明：当 a=2 时，x2+4y2=4,设 A (xi, yi), (X2, y2),TkOA?koB=-,- xiX2=- 4yiy2,广22_由垃 +4y -4,整理得，(i+4)x2+8kmx+4m2- 4=0. ykx+m yiy2=(kxi+m) (kx2+m) =k2xix2+km (xi+x2) +m2+m2J? _4k?l+4k2l+4k2l+4k2xi+x2=一区kml+4k2XiX2=|AB|= L :=2 .肓？72l+4k2l+4k2ID64kf(1+4