第15章概率论的基本概念习题及答案W

1、第一章 随机变量习题一主要知识点：事件的互不相容（互斥）、独立的概念；加法公式、乘法公式；全概率公式及逆概率公式及其应用 典型习题：同步练习一：2、12、14、21、22、29、30、312、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)与 互不相容 (2)与 对立事件(3)与 互不相容(4)与 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:;对立事件 : 且12.(1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且A 与 B 互斥，则 =.A,B互拆,则,所以(2).一个盒中有8

2、只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球，则取到的3只都是红球的事件的概率等于 _(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于_(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件，已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个发生的概率是1-(1-a)(1-b)(1g) .(5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _14、两

3、射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.解:“甲中”，“乙中”21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%若用事件、分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品试写出有关事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少？解:

4、设第i个人取得红球的事件,则为第i个人取得白球的事件，显然 ,同理29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？ 解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少

5、？(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？解：设“所取出的一件产品是废品”，“产品系甲车间生产”，“产品系乙车间生产”， “产品系丙车间生产”已知,(1)由全概率公式：(2)由贝叶斯公式：所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的概率为，且设各继电器接点闭合与否相互独立，求至是通路的概率.13245LR解: 设为第i只继电器闭合的事件，为有电流从L流向R的事件，已知显然故32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为

6、0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ”B ：“ 所取一个元件为不合格品 ”则 ， ， ， ， 由全概率公式 : =由贝叶斯公式 :故该盒产品由乙厂生产的可能性最大33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设表示“恰有i人击中飞机”，为飞机被击

7、落，同理易知，由全概率公式第2章一维随机变量 习题2主要知识点：离散随机变量分布律的性质；分布函数的性质；常见分布的分布律、密度、分布函数。典型习题：同步练习二：一、2,5,6,8；二、3,9,13,16，20,28一. 填空题：2.设 随机变量 x 的分布函数为 ,则 P 0<x<1 = _. 解： P 0<x<1 = 5 设随机变量 x 的分布律是 则 = 0.8 。解：令 得6.若定义分布函数， 则函数 F(x)是某一随机变量x 的分布函数的充要条件是 单调不减 ，函数右连续 ,且 F(¥ ) = 0 ， F ( + ¥ ) = 18. 设 ，

8、记x 的概率密度为j( x ) ，分布函数为，则 0.5。,二. 计算题：3、(1)设随机变量X的分布律为：为常数，试确定常数.(2)设随机变量X的分布律为：，试确定常数.解: (1) 因，故 (2) 9、设某批电子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：设测试次数为，则随机变量的可能取值为：，当时，相当于前次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子的事件，13设X服从泊松分布，且已知，求解：，由，得，16. 已知连续型随机变量x 的概率密度为 且知x在区间( 2，3 )内取值的概率是在区间( 1，2 ) 内取值的概率的

9、二倍 ，试确定常数A ，B 。解：由条件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 20、设连续型随机变量X的分布函数为求(1)常数A,B，(2)，(3)概率密度解: (1)（0=，(2)，(3)21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度： 现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.解：设使用寿命为x小时，所求事件的概率：再求28、设，求(1)的概率密度；(2)的概率密度；(3)求的概率密度解：(1)设。注意是单调可微函数,所在可应用相应的定理 即(2)，当时，Y的分布函数非零，当时，Y的概率密

10、度即(3)，当时，Y的分布函数当时，(当时，)，的概率密度第三章 多维随机变量及其分布主要知识点：离散随机变量联合分布律与边缘分布律的关系；联合分布函数与边缘分布函数的关系；常见分布的联合分布与边缘分布；随机变量独立性的判定及应用。典型习题：同步练习三：一、5,6,8，10；二、6,8,9,10,11一、填空题5、设随机变量的概率密度为，则.6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.01231003007、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 .8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 .10、设相互独立，则的联合概率密度，的概率密度.二、证明和计算题6、设随机变量的密度函数

11、为 (1)确定常数，(2)求的分布函数，(3)求。解：(1)，所以。(2)，或(3)8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布，(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？解：(1)根据题意可设的概率密度为于是，故即即(2)因为，故与是相互独立的.9、随机变量的分布函数为，求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。解：（1），., (2) 因为，故与是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函数为(1)问和是否相互独立？ (2)并求解：(1)易证，故相互独立.(2)由(1)相互独立11、设随机变量(x , h)的分布函数为 。求：

12、( 1 ) 系数A , B及 C的值 ，( 2 ) (x , h)的联合概率密度 j(x , y)。解：( 1 ) 。 由此解得 ( 2 ) 第4章 随机变量的数字特征主要知识点：期望、方差的定义与性质；常见分布的分布参数与期望和方差的关系；期望和方差的计算；协方差与相关系数的计算；不相关与独立的区别与联系。典型习题：同步练习四：一、3,4,6,9,10；二、3, 5，9,11，15,16,17一、填空题3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数n= 6 , p= 0.4 .4、已知服从，则. = 1 ,= 1/2 .6、设相互独立，则协方差 0 .这时，之间的相关系数 0 .9、若，

13、且相互独立，则 36 .10、若为常数，则.二、计算题3、设的密度函数为，求、 解: 故 5、设连续型随机变量的分布函数求 、.解: 为连续型随机变量，所以 为连续函数.可解得; ,的概率密度 =0令 ，则 123-10.20.1000.100.310.10.10.19、设的分布律为求 .解: 11、设随机变量的密度函数为 , 求. 解: ： =.15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、 的相关性、独立性.解: 显然，二维随机变量的概率密度函数为所以 因此 同样可得 又所以 故、不相关，但由于所以与不相互独立.16、设随机变量和的联合分布律为验证不相关，但不相互独立.证：因为 所以

14、 故不相关.又 ， 所以 . 故不相互独立.17、设随机变量具有概率密度求.解： 由的“对称性”可得 .又 所以 .又 由的“对称性”可得 所以 故 第五章 典型习题主要知识点：切比雪夫不等式条件与结论；大数定律的条件与结论；中心极限定理的条件与结论典型习题：同步练习五：一、1，3, 4，5,10；二、2, 4,10,121.设随机变量，方差，则由切比雪夫不等式有.3. 设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有, 或者由于随机变量相互独立且同分布, 而且有 所以4.

15、设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意 的, 有由此得5、设随机变量，则.10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落 在75至85之间的概率不小于. 解：, 于是二2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交

16、换机台数, 则由此 P(通信系统能正常工作)4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位.查分布表可得10计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间0.5，0.5 上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：设 x1， x2 ，xn 表示取整误差, 因它们在 0.5 ，0.5 上服从均匀分布 ， 故 有 根据同分布的中心要极限定理 ， 得 =( 1 )(1 ) = 2 ( 1 )1= 2 ´ 0.84131 = 0.682612 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的