第六章不定积分

1、第六章 不定积分6.1 不定积分的概念和运算法则前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它的逆运算是什么？问题1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？我们知

2、道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度；（2）已知曲线，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称为不定积分。定义：函数在区间上有定义，如果存在函数，使 称是函数（在区间上）的原函数。例如： （是const），所以是的原函数。，所以是的原函数。，所以

3、是的原函数。，所以是的原函数。问题2：函数的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函数是否唯一？对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。显然由是的原函数，即，则 ， （是const）即也是的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个函数就有无限多个原函数。问题3：函数的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为，是否每一个原函数都可表示为形式？换句话说，除了形式之外，是否还有其它形式的函数，也是的原函数？定理：如果是函数的原函数，则函数的无限多个原函数仅限于（是const）的形式。证明：已知是的原函数，即 （1）设是函数的另一个原函数，

4、即 （2）（1） 与（2）相减，有由第6.1节，例1，（c是某个常数）或，亦即函数的任意一个原函数都是的形式。这就给出了函数的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得到。定义：函数的所有的原函数（是const），称为函数的不定积分。表为 （）其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分常数。值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如： ， 有 ， ， 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是

5、微分运算的逆运算。对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。一、 不定积分的性质及运算法则：1 或 亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。证明：设是函数的原函数，即，则2 或 亦即函数的导数（或微分）的不定积分等于函数族。证明：已知是函数的原函数，则 。例如： 3（齐次性），是常数，且。即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。证明：，即 。 4（可加性）。即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。证明： 即 。此法则可推广到n个（有限）函数，即n个函数的代数和的不定积分等于n个函数不定积分的代数和。34表明积分运算是线性运算，亦

6、即。当然，上式也可推出34。类似于从乘法表得到除法表，我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表：1,234 特别56789101112公式3的补充说明：（1）。（2）。于是，对或，都有。 乘法表对于乘法运算相当重要，所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。例1：求。解： 值得注意的是，等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。例2：求。解： 例3：求。解： 例4：求。解： 例5：求。解： 例6：求。解： 例7：6.2分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则，以及积分公式表，但我们仅对较简单的函数易求不

7、定积分，而对较复杂的就较难求了。例如：就不能用运算法则来求。另外，如亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求，把不能用公式表示的化为用公式来表示。一、 分部积分法如果和都是的可微函数，由函数乘积的导数公式，有： 或 从而由不定积分法则与不定积分定义，有： 亦即 （1）或 （2）（1）或（2）式称为分部积分公式。问题1：什么样的函数用分部积分公式？我们先来看看首先提出的问题。例1：求。解： 设,则，由公式（2）有： 如果没有分部积分公式，是无论如何也积不出来的。一般来说：等等的不定积分要应用分部积分公式。但是有一个问题，例如在例1中

8、：选取，用分部积分公式（2）求出与，则由分部积分公式（2），有： 这样不正当的选取使得不定积分由简化繁，把问题变得更复杂了。问题2究竟怎样选取u、v才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢？例2求 解：设 ， 则 ， 。从而 = = 由例1和例2启发，我们知道在 与 中，令， 。例3求 解：设 ，则 ，有 = = = 例4求 解：设 ， ，则 ， 从而 = = = 由此可看到，形如 的不定积分中总是令 ，从而 例5求 解：类似于前面的，我们只须把的幂次降下来即可。所以，我们令，从而 = = = 例6求 ， 解：= = = = （3） 求不定积分 再用（2） = = = = （4） 将（4

9、）代入（3）得 = = 或 = = 虽然我们解决了形如 的不定积分，但对于形如 的不定积分我们不能解决。下面我们从这个实例开始讨论：我们知道 ，如果我们把 表示成 即可。而此时。所以 这里实际上是令 （即 ），将 化成 = 。这里作了变换 ，也即 。 一般的，如果求不定积分 不能直接应用不定积分公式，通常将自变量用新变量的函数代替，令，当然，要求函数导函数连续且存在反函数，从而 上式称为变量替换公式证明： = = = 问题2怎样用变量替换公式？ 要求不定积分 ， 设 ，代入后得 要求不定积分 ， 设 ， 代入后得 例1 解： 设 ，有 = = = 例2 解： 设 ，有 = = = = 熟练？

10、= = 例3 = = 例4 = = = = 例5 = = = 例6 = = = 例7 = = 例8 = = 例9 与 解： = = = = 所以 = = = = 例10 解： 设 ， 则 ， ， = = = = = = = = 例11 解： 设 ， 则 当 时， 存在反函数 = = = = = ， 则 = = 其中 ，也是任意常数。例12 解： 设 ， 则 = = = = 例13 问题3不定积分表达式的多样形式 它们都属于同一个函数族，仅差一个常数。 问题4如果表达形式不一样，怎样判断它们是相同的？ 如上，求导，所以只须要求导，看导数是否相同而定。 上面是从整个不定积分的性质来讨论问题，也就是

11、一致性，下面从一些特殊的不定积分来予以讨论。大家知道，最简单的莫过于多项式，而多项式的不定积分是平凡的，比多项式稍微复杂的就是多项式的比值有理函数。 要讨论有理函数的不定积分，先要弄清楚它本身的一些性质。的次数大于的次数， 称为有理假分式，若的次数小于的次数，称为有理真分式。当是假分式时，一定有多项式、，使得 = 例如： = 对 = + 由于是显然的，所以只须求。这说明对于有理分式的不定积分的讨论，仅须对真分式进行讨论。又是有理真分式，任意多项式总能分解为一个常数，与形如 与 诸因式之积，其中是的n重根，二次多项式没有实根，有共轭复根，即有m重复根。设 其中 是正整数。 我们考虑问题总是想把复

12、杂的问题转化为简单的问题讨论。较复杂，较简单，较复杂，是不是也能化成较简单的形式呢？或者化成较简单形式的和积？根据代数的分项分式定理，有理分式能写成下列诸形式之和： = + + + + + + + + + + + +其中 ，都是常数，求常数的方法叫做待定系数法，通分，即得： 与的同次幂的系数相等，于是，得到一次？方程组，所以现在先讨论怎样分解分式例1 解： 设 = = 从而有1A(xa)B(xa)(AB)x(AB)a则，得于是例2：将分成多项分式。解：设解得 A = 1, B = 3, C = 4, D = 1, E = 2例3：将分成多项分式。解：设令x1, x1, x0, x2, x2既然我们知道，任意有理分式都能记为形如分式之和。这n, m是大于1的正整数，(x2pxq)没有实根，即qp2/40。所以讨论有理分式的不定积分归结为四种类型有理分式的不定积分。1. 2. 例4：例5：解：解得 A4, B1, C