矩法估计的分析及应用

1、 矩法估计的分析及应用 金融数学10本 黄小听 17摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点 一 什么是矩法估计对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体的各阶矩一般与的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩Er,r = 1,2，。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种

2、思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。二 矩法估计的理论依据由辛钦大数定律知： 即对任意，有或三 如何求解矩法估计设母体具有已知类型的概率函数， (，)是k个未知参数。，是取自母体的一个子样，假设的k阶矩=E存在，显然，j<k都存在，并且是，的函数(，)。子样，的j阶矩为=。我们设 (，)=，j=1,2, ，k （） 得到含k个未知数，的k个方程式，解这k个联立方程组就可以得到，的一组解： =（，），i=1,2, ，k 用（）中的解估计参数就是矩法估计。由于是，子样的函数，所以是统计量。(在数理统计

3、中，我们一般用表示的估计量。)四 矩法估计在解决数学问题与实际问题上的应用 例1： 母体均值E与方差D为矩法估计。 解 ：设，是母体的子样。母体具有均值E和方差 D=E-（E 按照（）式得方程式组 = E= = E=（E+ D= 解这一方程组得E和D的矩法估计 = =例2: 已知大学生英语四级考试成绩N(,2)，均值,方差2均未知， 1,n为取自母体的一个子样，(x1,xn)是子样的一组观测值,求与2的 矩法估计。 解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照()式得方程组 解这一方程组得与的矩法估计量=，=分析：注意到我们这里求出与2的矩法估计未用到母体的分布。这样对,2作出了估计

4、，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩相关的其它数字特征（如标准分、标准差、偏态系数等）作出了估计。矩法估计还有很多其他实际应用，如根据几天前的交易数据估计当天的股市行情、根据随机抽样的结果估计生产线上螺丝钉的合格率、教育统计学等。五 估计量的评选标准1.一致估计定义：设母体具有概率函数，为未知参数。=（，）为的一个估计量，n为子样容量。若对任意>0，式P成立，则称为参数的一致估计。是母体均值E的一个一致估计，是的E一个一致估计，子样方差是母体方差D的一致估计。2.无偏估计估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在。现在给出另一种对任

5、何子样容量都适用的评价估计量的准则，没有系统偏差的性质在统计学上称作无偏性，显然它可以作为衡量一个估计量好坏的另一准则。定义： 设=（，）为母体的概率函数的未知参数的一个估计量。若对一切，关系式 =0 成立。则称为的无偏估计，否则称为有偏的。显然，子样均值是母体E的无偏估计，子样原点矩是母体原点矩E的无偏估计，子样方差不是母体方差D的无偏估计。一般地，二阶或二阶以上的子样中心矩就不是母体中心矩的无偏估计。若我们取 =E= 作为母体方差D的估计，则有 E=E= D= D由此推出是母体方差D的无偏估计。从不是D的无偏估计也可看出，若，是参数，的无偏估计，函数并不一定是的无偏估计。由有偏估计修改成无

6、偏估计是一种常用的方法，一般说来，如果是参数的有偏估计，并且E=a+b，这里a、b是常数（b0），于是我们能构造的一个无偏估计=。若的一个估计不一定无偏，但当n时，E则称为的渐近无偏估计。显然，子样方差=是母体方差的一个渐近无偏估计。3. 有效估计定义：设和都是参数的无偏估计量，若对任意， D( ) D( )且至少对于某个上式中的不等号成立，则称 较 有效。六 矩法估计的优缺点矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知母体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为E的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。但在寻找参数的矩法估计量时，对母体原点矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母体的一些数字特征，并未用到母体的分布，因此矩法估计量实际上只集中了母体的部分信息，这样它在体现母体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。参考文献：1 魏