第学期线性代数B期终考试试卷A

1、西南交通大学20072008 学年第(一)学期考试试卷课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟 注意：1答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。一、填空题（每空4分，共24分）1设，则= ；2设，则 （是/不是）向量空间；3已知 3 阶方阵有特征值 -1，1，2，则= ；4设矩阵其中线性无关，且，则 的通解为： ；5设，则的列向量组的一个最大线性无关组为： ， = 。二、选择题（每小题4分，共24分）6行列式 求=（ ） （A） （B）（C） （D） 7设 ，则中的系数为( )。(A)

2、-1 ； (B) 1 ； (C) -17 ； (D) 17 。8设 均为 阶可逆方阵，下列各式正确的是( )。(A) ； (B) ；(C) ； (D)。9若4阶方阵的行列式等于零，则必有（ ）(A) 中至少有一行向量是其余向量的线性组合(B) 中每一行向量都是其余行向量的线性组合(C) 中必有一行为零行(D) 的行向量组线性无关10设为阶方阵，则（ ）(A) 的特征值一定都是实数(B) 必有个线性无关的特征向量(C) 可能有+1个线性无关的特征向量(D) 最多有个互不相同的特征值11设非齐次线性方程组 的未知量个数为 ，方程个数为 ，则在条件( )成立时，一定有解。(A) 矩阵的列向量组线性无

3、关； (B) 矩阵的列向量组线性相关；(C) 矩阵的行向量组线性无关； (D) 矩阵的行向量组线性相关。三、计算题（46分）12、计算行列式 。（6分）13、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分）14、设向量组 ，向量，问 取何值时（1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示但表达式不惟一？ （8分）15、已知二次型，记 （1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换 下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）16、设，其中，求。（10分）四、应用题（17、18选做1个）（6分）17、某地的道路交

4、叉处通常建成单行的小环岛，如图所示，请求出该网络流通解，并找出的最小可能值。（图上箭头为车行进方向，数字为每小时车流量，为所标路段上的车流量） 18、一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C，钙和镁。其中用到了3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出：营养单位食物所含营养（mg）需要的营养总量（mg）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200请设立合适的变量建立并求解方程确定该食谱。（精确到小数点后1位）线性代数B参考答案及评分标准一、填空题答案填写处（每空3分）：（1）1；（2） 是 （3） -16

5、；（4） 或 ；（5）（1）任意三列（2） 3 ；。二、选择题答案填写处（每题4分）：1 D ； 2 C ； 3 B ； 4 A ； 5 D ； 6 C 。三、1、计算。（6分）解：注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；2、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分）解：因为 所以 2分 4分，故可逆6分 8分注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。3、设向量组 ，向量，问 取何值时（1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示但表达式不惟一？ （8分）方法一：原题等价于的解的存在性问题则原方程组的系数行列式为： 2分（1） 当 D0，即 时

6、，由Cramer法则知道，原方程组有惟一解，故可惟一表示 3分（2）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下： 系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时，方程组无解，故不能由线性表示 5分（3）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下： 系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为1，未知量的个数为3，此时，方程组有无穷多解。 这时能由线性表示但表达式不惟一 8分方法二：原题等价于的解的存在性问题则增广矩阵为： 3分（1） 当，即时，原方程组有惟一解。故可惟一表示4分（2）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下： 系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时，方程组无解。故不能由线性表示5分（3）当时，对方

7、程组的增广矩阵作初等行变换如下： 系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为1，未知量的个数为3，此时，方程组有无穷多解。 这时能由线性表示但表达式不惟一 8分4、已知二次型，记 （1）写出该二次型的矩阵；（2分）（2）求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵；（8分）（3）写出该二次型在正交变换 下的标准型，其中；（2分）（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（2分）解：（1）二次型的矩阵 ； 2分（2）方阵A的特征多项式为： 令 ，解得特征值为 4分 将分别代入方程组 ,可得特征向量分别为，6分 对它们进行schimidt正交化再单位化后得到所求正交矩阵， 9分且满足 10分（3）该二次型在正交变换下的标准型为： 12分（4）不是。 14分5、设，其中，求。（10分）解：因为，所以（3）（4）(6) (7) （10）注：此题还可以通过