第七章典型作业题

1、7-10 用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为，其上均匀地带正电荷，求圆心点处的电场强度。解：如图所示，设。在半圆形环上任取一电荷元，在圆心处的电场强度的大小为方向如图所示。式中由电荷的对称分布可知，圆心点处的电场强度沿轴正方向。有7-12 一半径为的半球面均匀带电，电荷面密度为，求球心处的电场强度。解：如图所示，图中圆环对轴对称，所带电量为，圆环半径为，环心在轴处。根据带电圆环轴线上的电场强度（见课本260页公式（7-11）作相应的代换，可得到细圆环在点的电场强度为通过积分，得到球心处的电场强度为指向正方向。7-17 在半径分别为10 cm和20 cm的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度

2、为的正电荷。求离球心5 cm、15 cm和50 cm处的电场强度。解：以和分别表示均匀带电球壳的内、外半径。（1）设离球心处的电场强度为，在以为半径的高斯球面上，的大小应该相同，并处处与的法线方向平行。对运用高斯定理，有所以，离球心5 cm处的电场强度。（2）以为半径作高斯球面，设上各点的电场强度为，对运用高斯定理，有式中是所围的电荷量所以，离球心15 cm处的电场强度的大小为 的方向与的法线方向一致，即沿径向向外。（3）以为半径作高斯球面，带电球壳在内，对运用高斯定理，有所以，离球心50 cm处的电场强度的大小为 的方向与的法线方向一致，即沿径向向外。7-18 一个半径为的球体内的电荷体密度

3、为，式中是径向距离，是常量。求空间的电场强度分布，并画出对的关系曲线。解：（1）在球体内作半径为的同心高斯球面，设上的电场强度为，对运用高斯定理，有式中是所围的电荷量所以，在球体内离球心处的电场强度为（2）在球体外作半径为的同心高斯球面，设上的电场强度为，对运用高斯定理，有包围了整个球体所以，在球体外离球心处的电场强度为（3）关系曲线如图所示。7-21 半径为的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求电场强度分布，并作曲线。解：在圆柱体内，以为半径作高为的同轴闭合圆柱面，对运用高斯定理，有圆柱内，离轴线处的电场强度大小为在圆柱体外，以为半径作高为的同轴闭合圆柱面，对运用高斯定理，有圆柱内，离

4、轴线处的电场强度大小为曲线如图所示。时，的方向沿径向向外。7-26 两个同心球面，半径分别为10 cm和30 cm。小球面均匀带有正电荷，大球面带有正电荷。求离球心分别为20 cm和50 cm处的电势。解法一：设两球面半径分别为、，带电、，由高斯定理可求得电场分布为处的电势为处的电势为解法二：由各球面电势的叠加计算电势，位于两球面之间，电势为小球面电荷在处的电势和大球面电势的代数和。即，位于两球面外，电势为两球面在处的电势。即7-27 电荷均匀分布在半径为的球体内，试证离球心处的电势为解法一：均匀带电球体的电场强度具有球对称性，设球体内和球体外的电场强度分别为和，由高斯定理可以求得和。式中球内

5、的场强为球外的场强为球体内处的电势为解法二：以为半径作球面，将带电球体分割为半径为的球体和厚度为的球壳两部分，则处的电势为这两部分带电体的电势和的代数和，即。是半径为的球体表面的电势，这里是厚度为带电球壳在其内表面的电势。由于带电球面内的电势与表面的相同，将球壳分割为无数厚度为的薄球壳，则处在每个薄球壳的内部。每个薄球壳所带的电量为电势为所以，直接计算这种做法是错误的! 7-32 一半径的圆盘，其上均匀带有面密度为的电荷，求：（1）轴线上任一点的电势表达式（用该点与盘心的距离、圆环半径及表示）；（2）从电场强度和电势的关系求该点的电场强度；（3）计算距离盘心处的电势和电场强度。（）解 （1）在圆盘上以盘心为圆心，取半径为r，宽为dr的细圆环，所带电荷量为在轴线上x处的电势为： 整个圆盘上x处的电势为 （2）轴线上x处的电场强度为 （3）带入数据，得处 7-36 点电荷，处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为和，求：（1）导体球壳的电势；（2）离球心处的电势；（3）把点电荷移开球心1.0 cm后球心点的电势及导体球壳的电势。解：利用高斯定理可以得到静电平衡时各区域的电场分布为（1）导体球壳