第十章无穷级数

1、第十章 无穷级数教学课题第一节常数项级数的概念和性质 教学重点级数收敛与发散概念和收敛必要条件教学难点判断级数的敛散性大纲要求了解级数收敛与发散的概念，无穷级数基本性质及收敛的必要条件。能判断级数的敛散性基 本 内 容无穷级数是高等数学的重要组成部分，它在现代数学方法中具有重要地位，是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的工具本章在介绍数项级数、函数项级数基本内容的基础上，讨论幂级数、傅立叶级数及简单应用。一、常数项级数的概念 1、引例引例1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,设a0表示内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正边形的面积为,时，这个和逼

2、近于圆的面积A，即。引例2 1703年，数学家格兰第研究了11+11+11+ 的和（有无穷多个加数，1和-1交替出现）。Bagni在一所理工科中学对88名16-18岁、尚未学过无穷级数概念（但已学过无穷集合概念）的高中生进行过一次测试,测试结果如下表：答案00或1不存在1/21无穷未给出答案人 数2618543230百分比29%20%6%5%4%2%34%2定义:（1）形如（其中每个是实数）的式子叫做（实）常数项无穷级数，简称（数项）级数，简记为，即=，其中叫做级数的一般项。（2）级数的前项和称为级数的前项部分和；称为部分和数列，记。（3）如果级数的部分和数列有极限, 即 则称无穷级数收敛,这

3、时极限叫做级数的和.并写成，如果没有极限,则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项，显然例1 讨论等比级数(几何级数)的收敛性。解，收敛发散，发散，故发散综上例2判别下列级数的敛散性:解:(1)时，证明级数是收敛的.所以级数(1) 发散。（2）二、无穷级数的基本性质 性质1若级数收敛,其和为，则亦收敛，且其和为，为常数。证: 令则结论：若，则级数与同时收敛、同时发散.性质2.设有两个收敛级数，则级数也收敛, 其和为证: 令，这说明级数也收敛,其和为结论：(1)收敛级数可以逐项相加与逐项相减。(2)若两级数、中一个收敛一个发散,则必发散。(用反证法可证)(3)若两级数、都发散,则不一定

4、发散。例如,设都发散，但却收敛。性质3在级数中加上、去掉或改变有限项,不影响级数的敛散性。证:设级数的部分和数列为，去掉其前k 项,所得新级数为，其部分和数列,由于时,与的敛散性一致, 故新旧两级数敛散性相同。 当级数收敛时,其和的关系为。类似可证其它情况 。性质4.对收敛级数任意加括号后，所得的级数仍收敛，且和不变。证:设收敛级数的部分和数列为，加括号后级数为则新级数的部分和数列因此有推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.例如，但发散。例4.判断级数的敛散性。解:考虑加括号后的级数项通，发散 ,从而原级数发散。性质5（级数收敛的必要条件

5、）设收敛级数则必有证:，注:若级数的一般项不趋于0 ,则级数必发散。例如,其一般项为，当时,不趋于0,因此这个级数发散。注:并非级数收敛的充分条件.如,调和级数，虽然但此级数发散。事实上,假设调和级数收敛于S , 则，但矛盾!所以假设不真。例5.判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:解:(1)令则，故，从而这说明级数(1)发散。(2)因为说明原级数收敛,其和为。(3)，故这说明原级数收敛,其和为3。三、柯西收敛准则定理.级数收敛的充要条件是:当时，有证:设所给级数部分和数列为收敛收敛，所以,由数列收敛的柯西准则，有 收敛例6.利用柯西收敛准则判别级数的敛散性。 解:有取当nN时,都有由柯西收敛

6、准则可知,级数收敛。小结：一、常数项级数的概念级数的收敛的定义；级数的部分和与和。二、无穷级数的基本性质判断级数的敛散性；级数收敛的必要条件;求级数的和。三、柯西收敛准则思考题：设与都收敛，且，能否推出收敛？练习题一、填空题:1、若,则=_；2、若,则=_；3、若级数为则_；4、若级数为则_；5、若级数为 则当_时_；当_时_；6、级数,当_时收敛；当_时发散 .二、由定义判别级数的收敛性.三、判别下列级数的收敛性:1、；2、；3、.作业P144 1，2，3，4，5.备注栏第十章 无穷级数教学课题第二节常数项级数的审敛法教学重点掌握正项级数的比值审敛法。掌握和p-级数的收敛性。教学难点正项级数

7、的比较审敛法大纲要求了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。掌握p-级数的收敛性。基 本 内 容一、正项级数审敛法定义1若，则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。证:（必要性）若收敛,则收敛,故有界，因而有上界。（充分性）部分和数列单调递增,又已知有上界，而以0为下界，所以有界。由单调有界定理知收敛，从而收敛。定理2(比较审敛法)设和均为正项级数，若都有，则有(1)如果级数收敛，那么级数也收敛；(2)如果级数发散，那么级数也发散。证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨设对一切都有令和分别表示和的部分和,则有(1)若级数收敛，则其部分和有

8、上界，即，即数列有上界，由定理1知收敛。(2)为(1)的逆否命题，故成立。例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性。解:1)若因为对一切,而调和级数发散,由比较审敛法可知 p 级数发散。2)若因为当时,故考虑级数的部分和故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛。结论：若都有则发散；则收敛。例2.证明级数发散。证:而级数发散，根据比较审敛法可知,所给级数发散。定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数满足则有(1)当0< l< 时,两个级数同时收敛或发散；(2)当l =0且收敛时，也收敛；(3)当l =且发散时，也发散。证:l 时，由极限的定义,有即(1)当0< l<

9、时,取由定理 2 可知与同时收敛或同时发散；(2)当l =0时,利用由定理2知若收敛时，也收敛；(3)当l =时，由极限的定义,当时，即，由定理2可知,若发散时，也发散。特别地，取对正项级数设，则有:例3.判别级数的敛散性 。解:,根据比较审敛法的极限形式知发散。例4. 判别级数的敛散性。解:根据比较审敛法的极限形式知收敛。定理4（比值审敛法）(Dalembert判别法)设是一个正项级数，且，则(1)当时，级数收敛；(2)当（或）时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散 证明：(1)当时，取使由知，当时，收敛 ,由比较审敛法可知收敛。(2)当或时,必存在当时,从而,因此所以级数发散。

10、（3）当时，例如,p级数，但时级数收敛,时，级数发散。例5.讨论级数的敛散性。解:,根据定理4可知:(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数发散。定理5.根值审敛法 (Cauchy判别法)设是一个正项级数，且则(1)当时，级数收敛；(2)当（或）时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散 例6.证明级数收敛于S,并估计以部分和近似代替和S时所产生的误差。证:由定理5可知该级数收敛。令则所求误差为二、交错级数及其审敛法 定义2形如或（其中）的级数称为交错级数交错级数具有下列重要结论：定理6（莱布尼茨判别法）如果交错级数满足条件：（1）；（2）则级数收敛，且其和，其余项

11、的绝对值。证:单调递增，有上界，故，又故级数收敛于S,且的余项例7判断交错级数的敛散性解: 因为交错级数中，它满足条件：（1）；（2）由定理6知，所给级数收敛。此级数称为莱布尼茨级数以后将此级数作为标准级数，应熟记三、绝对收敛与条件收敛定义3 如果级数收敛，且级数也收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。例如：为条件收敛，均为绝对收敛。对于一般的任意项级数没有判断其收敛性的通用方法，对于任意项级数的收敛性问题，通常是化为研究级数的敛散性问题，即转化为正项级数的敛散性问题下面讨论级数与敛散性之间的关系。定理7绝对收敛的级数一定收敛。证:设收敛，令显然,且根据比较审敛法

12、收敛,而、都收敛，所以也收敛。注：如果级数发散时，级数不一定发散。例如级数是发散的，但级数却是收敛的。例8证明下列级数绝对收敛:(1)； (2) 解:(1)由于，而等比级数是收敛的，由正项级数的比较审敛法知，级数收敛，因此级数绝对收敛。(2)因为所以由正项级数的比值审敛法，得级数绝对收敛。绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质。*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和。*定理9.( 绝对收敛级数的乘法 )设级数与都绝对收敛,其和分别为则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,其和为证明略。需注意条件收敛级数不具有这两条性质。小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利

13、用正项级数审敛法收敛的必要条件比值审敛法，根值审敛法收敛，发散，时，用其它方法判别：比较审敛法，求部分和极限，积分判别法等。3. 任意项级数审敛法概念：设收敛。若收敛，则称绝对收敛；若发散，则称条件收敛。Leibniz判别法:若1）；2）则交错级数收敛。作业 P150-151 1 ， 2 ,3 ，4，5 备注栏第十章 无穷级数教学课题第三节 幂级数教学重点幂级数收敛域及和函数的求法教学难点求幂级数的和函数大纲要求了解函数项级数的收敛域及和函数的概念了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质基 本 内 容一、函数项级数的概念定义1 设是定义在区间上的函数列，则称为定义在区间I上的函数项级数对于区间内

14、每一点，函数项级数既为常数项级数若级数收敛，则称点x0为函数项级数的收敛点，级数的收敛点的全体，称为该级数的收敛域若级数发散，则称点x0为函数项级数的发散点对收敛域内每一点，都有一确定的和与之对应，因此，在收敛域内，的和是的函数，称这个函数为的和函数，记为，即在收敛域内总有例如等比级数为区间上的函数项级数，它的公比为我们由等比级数的敛散性知道，当且仅当时，这个级数收敛；当时，这个级数发散即当时，级数收敛，在区间以外的点处，级数都发散所以它的收敛域为区间，其和函数为二、幂级数及其收敛性 定义2.形如的函数项级数叫做幂级数,简称幂级数,其中是某个定数,叫做幂级数的系数.定理(Abel定理)如果级数

15、在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛;如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散.证明而有一点适合使级数收敛,由(1)结论则级数当时应收敛,这与所设矛盾.推论当幂级数的收敛域不是单点集时，（1）如果是有界集，则必有一个确定的正数，使得当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散; 当时,幂级数可能收敛也可能发散.（2）如果是无界集，则=。正数R称为幂级数的收敛半径，并把开区间叫做幂级数的收敛区间。根据幂级数在的收敛性，决定收敛域为其中哪一个。规定 (1) 幂级数只在处收敛,收敛区间;(2) 幂级数对一切都收敛,收敛区间.问题 如何求幂级数的收敛半径?定理2.如果幂级数的系数满足，则幂级数的

16、收敛半径R为(1)当时,;(2)当时,;(3)当时,.证明： 由比值审敛法,从而级数绝对收敛， 定理证毕.例1 求下列幂级数的收敛域:；解 该级数收敛该级数发散，故收敛域是.收敛区间.，故收敛域为。例2求幂级数的收敛半径。解:由于幂级数缺少偶次幂项，即系数故相邻两项的系数的比值当是偶数是没有意义，因此不能用上述方法求收敛半径。下用正项级数的比值审敛法直接求收敛半径：考虑级数，因为，故当时，级数绝对收敛；当，级数发散，故收敛半径例3求幂级数的收敛域.解令，原级数变为，因为=，所以收敛半径。当时，级数为；当，级数为，当时它们的一般项均不趋于零，故这两级数都是发散的。因此收敛域是，即原级数的收敛域为

17、，或写成。所以原级数收敛域是。三、幂级数的运算(1) 加减法(其中(2)乘法(其中(3) 除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)定理4若幂级数的收敛半径,则其和函数在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同。即例4求幂级数的和函数.解:由例1可知级数的收敛半径R+.设，则故有，因此有，由得故例5求幂级数的和函数.解:易求出幂级数的收敛半径为1 ,x±1时级数发散，例6求幂级数的和函数.解：易求出幂级数的收敛半径为1,且x=-1时级数收敛，x=1时级数发散。得幂级数的收敛域为。当时，设和函数而，于是例7求数项级数的和。解:设则而，故小结1.

18、求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数，先求收敛半径，再讨论端点的收敛性。2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)，求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求。2.幂级数的性质1）两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算；2)在收敛区间内幂级数的和函数连续；3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分。常用幂级数的和函数作业：P163 1 ，2，3，4备注栏第十章 无穷级数教学课题第四节函数展开成幂级数教学重点掌握函数展成泰勒级数的公式、条件及方法教学难点函数展成幂级数的间接方法大纲要求了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，会利用已知展开式将一些简单的函数间接展开成幂级

19、数。基 本 内 容一、泰勒级数定理1（泰勒中值定理）如果函数在的某邻域内有直至阶导数，则对此邻域内的任意点，有其中（在与之间）称上式为在处的阶泰勒公式；系数，称为泰勒系数，多项式称为阶泰勒多项式；，（在与之间）称为阶泰勒公式的拉格朗日型余项，且当时，它是比高阶的无穷小如果设在的某邻域内具有任意阶的导数，则可以写出级数称为在处的泰勒级数，或称在处展开的泰勒级数当时,泰勒级数又称为麦克劳林级数。问题：只要在的某邻域内具有任意阶导数，我们都可写出它的泰勒级数但这个泰勒级数在的某邻域内是否收敛？如果收敛，是否收敛于？ 定理2在点的泰勒级数,在内收敛于在内. 证：记,则,必要性）,充分性) , ,定理3

20、.如果函数在内能展开成的幂级数,即则展开式是唯一的，其系数。证：逐项求导任意次,得泰勒系数泰勒系数是唯一的, 注：函数f(x)的泰勒级数不一定收敛到自身。例如：在x=0点任意可导,的麦克劳林级数为，其在内的和函数为可见，除外，的麦克劳林级数处处不收敛于自身。定理4 设在上有定义,对,恒有,则在内可展开成点的泰勒级数.证：所以在内可展开成点的泰勒级数。二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法)步骤: （1）求(2)写出泰勒级数,并求出其收敛半径R；（3）判别在收敛区间(R,R)内是否为零或是否有界。例1将展开成x的幂级数。解： 其收敛半径为,在上，由于M的任意性,即得例2将展开成x幂级数。解

21、:且例3将展开成x幂级数。解利用两边积分得即注意: 2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式。例如例4将展开成x幂级数。解:因为把x换成,得例5将展开成x幂级数。解:,从0到x积分,得注：上式右端的幂级数在x 1收敛,而ln(1+x)在x=1有定义且连续,所以展开式对x1也是成立的,于是收敛区间为(-1,1),x=1时，例6.将展成的幂级数。解:三、小结1.如何求函数的泰勒级数；2.泰勒级数收敛于函数的条件；3.函数展开成泰勒级数的方法；(1)直接展开法利用泰勒公式；(2)间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数。4.常用

22、函数的幂级数展开式：作业:P163 5，6备注栏第十章 无穷级数教学课题第五节 傅立叶级数教学重点函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件教学难点函数展开为傅里叶级数大纲要求了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件基 本 内 容一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)称A为振幅,w为角频率,为初相。复杂的周期运动:，是谐波的迭加。令，得函数项级数1、定义1函数项级数称为三角级数，其中常数称为此三角级数的系数我们仅讨论三角级数中的一种：傅立叶级数我们研究把一个函数表示成三角级数所需要的条件，以及在条件满足以后如何展开成三角级数的问题。2、三角函数系的正交性定理 1.组成三角级数的函数

23、系在上正交。即其中任意两个不同的函数之积在上积分等于零。证：注：在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于0.且有 ，二、函数展开成傅里叶级数问题:（1）如果函数已表示成三角级数，那么级数中的系数怎样确定？(2)的傅立叶级数收敛于的条件是什么？定理2.设f (x)是周期为2p的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有，证：定义2由或所确定的的称为函数f(x)的傅里叶系数，级数称为傅里叶级数。定理3 (收敛定理,展开定理)（狄利克雷(Dirichlet)充分条件）设是以为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并

24、且（1）当是的连续点时,级数收敛于;（2）当是的间断点时,收敛于。(证明略 )注意：函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.例1设 f (x) 是周期为 2p 的周期函数 ,它在上的表达式为，将其展开为傅立叶级数。解：先求傅里叶系数时，；当时，所求函数的傅氏展开式为注:根据收敛定理可知,当时,级数收敛于对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.作法: 例2将函数展开为傅立叶级数.解 所给函数满足狄利克雷充分条件。拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和三、正弦级数和余弦级数1.周期为2p的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 如果是上的周期为的奇函数，它的傅里叶系数为，由此所确定的傅里叶级数称为正弦级数如果是上的周期为的偶函数，它的傅里叶系数为，由此所确定的傅里叶级数称为余弦级数例3 设f(x)是周期为2p的周期函数,它在上的表达式为f (x)x,将f(x)展成傅里叶级数。解:若不计则f (x)是周期为2p的奇函数,因此，根据收敛定理可得f (x)的正弦级数:2.在0,p上的函数展成正弦级数与余弦级数对于定义在区间上且满