第十一章无穷级数

1、第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念与性质一、 判断题1 收敛，则 （ ）2若，发散。 （ ） 3. 收敛,则 收敛。 （ ）4发散，发散，则也发散。 （ ）5若 收敛，则 也收敛。 （ ）二、 填空题1该级数的前三项是 。2级数的一般项是 。3级数的一般项为 。4级数的和为 。三、 选择题1 下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）2 下列级数中不收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）3 如果收敛，则下列级数中（ ）收敛。（A） （B）（C） (D) 4 设=2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A） （B） （C） (D) 四、 求下列级数的和1 2. 3. 4.

2、 五、 判断下列级数的收敛性。1 2. 3.六、 已知收敛，且，求证：也收敛。11.2 常数项级数的审敛法（1）一、 判断题1若正项级数收敛，则也收敛。 （ ）2若正项级数发散，则。 （ ）二、 填空题1，当p满足条件 时收敛。2若为正项级数，且其部分和数列为，则收敛的充要条件是 。三、 选择题1 下列级数中收敛的是 （A） （B）（C）（D）2. 为正项级数，下列命题中错误的是 （A） 如果，则收敛。(B)如果，则发散。 (C)如果，则收敛。 (D)如果，则发散。2 判断的收敛性，下列说法正确的是（ ）（A）此级数收敛。 （B）此级数收敛。（C）级数发散。 （D）以上说法均不对。四、 用比较

3、判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。1 2. 3 4. 5 6. 五、 用比值判断法判断下列级数的收敛性。1 2. 3. （为常数） 4.六、 用根值判断法判断下列级数的收敛性。1. 2. 3，其中。七、 判断的收敛性。八、 设且1 若收敛，则收敛。 2.若发散，则发散。 九、 若，问是否收敛？十、 偶函数f(x)的二阶导数在x=0的某个区域内连续，且。求证：收敛。11.2 常数项级数的审敛法（2）一、 判断题1若，都收敛，则绝对收敛。 （ ）2级数条件收敛的。 （ ）二、 填空题 1的和为 。2级数若满足条件 则此级数收敛。三、 选择题1 下列级数中条件收敛的是（ ）（A） （B）（C）

4、 （D）2 下列级数中绝对收敛的是（ ）（A） （B）（C） （D）四、 用适当的方法判定下列级数的收敛性。1为常数） 2. 3 4. 5 6. 五、 判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？1 2. 3 4. 六、 已知级数收敛。证明：必绝对收敛。11.3 幂级数一、 判断题1若幂级数在x=0处收敛，则 在x=5处必收敛。 （ ）2已知的收敛半径为R，则的收敛半径为。 （ ）3的收敛半径为R，在（-R，R）内的和为S(x)，则在（-R，R）内任一点S(x)有任意一阶导数存在。 （ ）4和的收敛半径分别为，则的收敛半径R=。 （ ）5若，则幂级数的收敛半径为2。 （ ）二、 填空题

5、1 幂级数的收敛区间为 。2 幂级数的收敛区间为 。3 的收敛区间为 ，和函数S(x)为 。4 在x=-3时收敛，则在时 。 三、 选择题1 若幂级数在处收敛，则该级数的收敛半径R满足（ ）（A） （B） （C） （D）2 级数的收敛区间（ ）（A）（4，6） （B） （C） （D）4，63 若级数的收敛域为，则常=（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对。4 级数的和函数为（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不对。四、 确定下列幂级数的收敛区间。1 2. 3. 4. 五、 求下列幂级数的和函数。1 2. 3 并求 11.4 函数展开成幂级数一、 判断题1若对某一函数使，则f

6、(x)就不能展开成x的幂级数。 （ ）2式只有在（-1，1）内成立，所以由逐项积分原则，等式也能在（-1，1）内成立。 （ ）3 函数f(x)在x=0处的泰勒级数必收敛于f(x)。 （ ）二、 填空题1 关于x的幂级数展开式为 ，其收敛域是 。2展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 。三、 选择题1 函数展开成x的幂级数为（ ）（A） （B）（C） （D）2存在是f(x)可展开成x的幂级数的（ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不是充分条件也非必要条件3内展开成x的幂级数，则下列条件中只有（ ）是必要的。（A）存在。 （B）处处存在。（C） (D)以上都不对

7、4展开成x的幂级数是（ ）（A） （B） （C） （D）四、 将下列函数展成x的幂级数。1 2.3 4.五、 将下列函数展成x-1的幂级数，并指出展开式成立的区间。1 2.六、 将展成的幂级数11.6 函数的幂级数展开式的应用一、 填空题1利用的麦克劳林展开式计算时要使误差不超过0.001，则计算I的近似值时，应取级数的前 项和作为近似值。2据欧拉公式有 。二、 利用函数的幂级数展式求近似值（精确到0.00001）1 2.三、 求的近似值（精确到0.00001）四、 求的级数表达式，取其前三项计算其近似值，并估计误差。11.8 傅立叶级数一、 判断题1为周期的函数，并满足狄利克雷条件， 是的傅

8、立叶级数，则必有 （ ） 2为周期，上可积，那么f(x)的傅立叶级数，其中h为任意实数。（ ）3f(x)的傅立叶级数，每次只能单独求，但不能求出后，令n=0而得。（ ）4 如果f(x)的傅立叶级数上收敛，则。 （ ）二、 填空题1满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x=0处左连续，且= 。2设展成以为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S（-3）= ，S（12）= ，S= ，k为整数。3.为周期的函数，已知其傅立叶级数为，若的傅立叶系数与的关系式= 。= 。三、 选择题1是以周期为的周期函数，它在的表达式为，的傅立叶级数的和函数为S（x），则=（ ）（A） （B）

9、（C）0 （D）其它值2的傅立叶系数满足（ ）（A） （B）（C） （D）以上结论都不对。3 利用在上的傅立叶展开式可求得=（ ） （A） （B） （C） （D）四、 下列函数满足以为周期的函数，试将展开成傅立叶级数（并画出傅立叶级数和函数S(x)的图形）1 2为常数，且。五、 将下列函数在所给区间上展成以为周期的傅立叶级数。12。11.9 正弦级数与余弦级数一、 判断题1上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且在上收敛于f(x)。 （ ）2定义在上的任意函数，只要符合狄利克雷的条件，就既可展成正弦级数，也可展成余弦级数。 （ ）二、 填空题1展成正弦级数为 。2展成余弦级数为 。

10、三、 选择题1 求上的正弦级数，实际上就是求（ ）中上的傅立叶级数。（A） （B）（C） （D）2.设展成傅立叶级数, 则系数满足（ ）（A） （B）（C） （D）四、 将展开成以为周期的傅立叶级数。五、 将展成以为周期的傅立叶级数。六、 设是以为周期的奇函数，且，证明：的傅立叶级数满足。11.10 周期为的周期函数的傅立叶系数一、 判断题1周期为2的周期函数f(x)满足收敛的 条件，则f(x)=其中， （ ）2上并满足收敛条件，则它有周期b-a的傅立叶级数展开式： （ ）二、 将展开成以2为周期的傅立叶级数，并由该级数求下列数项级数的和。1 2. 三、 将f(x)=x在0，3上展开成以6为周

11、期的正弦级数。第十一章自测题一、 判断题1若收敛，则。 （ ）2若收敛，发散，则发散。 （ ）3级数加括号后不改变其敛散性。 （ ）4级数收敛的充要条件是前n项和的构成的数列有界。 （ ）5若正向级数收敛，则级数也收敛。 （ ）6.若，且则和有相同的收敛性。 （ ）二、 选择题1 当收敛时，与（ ） （A）必同时收敛。（B）必同时发散（C）可能不同时收敛 (D）不可能同时收敛2 级数收敛是级数收敛的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（B）充要条件 （D）既非充分也非必要条件3为任意项级数，若且，则该级数（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定4关于，则=（ ）（A） （B）2 （C） （D）0三、 填空题1 幂级数的收敛区间为 。2 级数当a满足条件 时收敛。3 幂级数的收