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1、第四节 线性变换分布图示 变换 从线性空间到的线性变换 例1 例2 例3 例4 例5 线性变换的性质 例6 内容小结 课堂练习 习题6-4内容要点一、线性变换 线性空间中向量之间的联系, 是通过线性空间到线性空间的映射来实现的.定义1 设有两个非空集合若对于V中任一元素,按照一定规则,总有U中一个确定的元素和它对应,则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换(或映射),记作=T()或=T,(V).设V, T()=, 则说变换T把元素变为,称为在变换T下的象, 称为在变换T下的源, V称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作. 即显然注: 变换的概念实际上是函数概念的推广. 定义

2、2 设分别是实数域上的维和维线性空间， 是一个从到的变换，如果变换 满足(1) 任给 有 (2) 任给 都有 那么, 就称T为从到的线性变换.说明 线性变换就是保持线性组合的对应的变换. 一般用黑体大写字母代表线性变换,或代表元素在变换下的象. 若 则T是一个从线性空间到其自身的线性变换, 称为线性空间中的线性变换.下面主要讨论线性空间中的线性变换.二、线性变换的性质设T是中的线性变换, 则(1) (2) 则(3) 若线性相关,则亦线性相关;注: 结论对线性无关的情形不一定成立.(4) 线性变换T的象集是一个线性空间的子空间.(5) 记称为线性变换T的核. 是的子空间,例题选讲线性变换例1 (

3、E01) 在线性空间中, 任取 证明：(1) 微分运算D是一个线性变换;(2) 如果 那么T也是一个线性变换.(3) 如果 那么是个变换,但不是线性变换.证 (1) 故是中的线性变换.(2) 故是中的线性变换. (3) 但所以故不是中的线性变换.例2由关系式确定平面上的一个变换T，说明T的几何意义.解 记 于是几何意义: 变换把任一向量按逆时针方向旋转角.例3 (E02) 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V, 在这个空间中定义变换 试证T是线性变换.证 设则有 故命题得证.例4 (E03) 线性空间V中的恒等变换(或称单位变换)是线性变换.证 设, 则有，所以恒等变换是线性变换.例5 (E04) 线性空间V中的零变换是线性变换.证 设则有，所以零变换是线性变换.线性变换的性质例6 (E05) 设有n阶矩阵= =,定义中的变换为 试证T为线性变换.证 设则 则为中的线性变换.又的像空间就是由所生成的向量空间的核就是齐次线性方程组的解空间.课堂练习1. 设是的一个变换

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