高中数学 3.4 函数模型的应用实例 新人教A版必修

1、整理课件开始开始 整理课件学点一学点一学点二学点二学点三学点三整理课件2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，步， ， ；第二步，根据所给模；第二步，根据所给模型，列出函数关系式；第三步，型，列出函数关系式；第三步， ；第；第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数我们目前已学习了以下几种函数：一次函数 ，二次函数二次函数 ，指数函数，指数函数 ，对数函数对数函数 ，幂函数，幂函数 . （试在横线上依次填出其解析式（试在横线上依次填出其解析式.）y=kx+b（k0

2、）y=ax2+bx+c(a0)y=ax(a0,且且a1)y=logax(a0,且且a1)y=x(为常数为常数)审清题意审清题意设立变量设立变量利用函数关系求解利用函数关系求解返回返回 整理课件3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：个步骤：（1）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；（2）通过考查散点图，画出）通过考查散点图，画出“最贴近最贴近”的曲线，的曲线， 即即 ;（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线）根据所学函数知识，求出拟合曲线的的 ;（4）利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测）利用函

3、数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据和控制，以便为决策和管理提供依据. 拟合曲线拟合曲线函数解析式函数解析式返回返回 整理课件学点一学点一 函数图象的应用函数图象的应用向高为向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与与水深水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（状是（ ）【分析】【分析】由函数图象可知函数的性质，如单调性由函数图象可知函数的性质，如单调性等等.考查图象常用特殊点验证考查图象常用特殊点验证. B返回返回 整理课件【解析】【解析】解法一：由图知注水量解法一：由图知注水

4、量V随着高度的增加，随着高度的增加，增加的越来越慢，增加的越来越慢，瓶子应越来越细瓶子应越来越细.故应选故应选B.解法二：（中点判断法）取解法二：（中点判断法）取h= ，如图所示三点如图所示三点A，B，C，显，显VBVC= ，即水高度达到瓶，即水高度达到瓶子一半时，水的体积超过瓶子的一半，显然应下粗上子一半时，水的体积超过瓶子的一半，显然应下粗上细细.故应选故应选B.2H2VA【评析】抓住函数图象的变化趋势，定性地研究两个变【评析】抓住函数图象的变化趋势，定性地研究两个变量之间的关系，是近年来常见应用题的一种题型，其出量之间的关系，是近年来常见应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的

5、基本方法就是数形结合发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合.返回返回 整理课件一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉出亮亮这一天（出亮亮这一天（0时时24时）体温的变时）体温的变化情况的是化情况的是 （ ）（设（设T=f(x)，显然在，显然在t0,6,6,12,12,18,18,24时，时，f(t)依次为增、减、增、减函数依次为增、减、增、减函数.故应选故应选C.）C返

6、回返回 整理课件某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克微克)与服药后的时间与服药后的时间t(小时小时)之间近似满足如图所示的曲线，之间近似满足如图所示的曲线，其中其中OA是线段，曲线是线段，曲线ABC是函数是函数y=kat(t1,a0，且，且k,a是常数是常数)的图象的图象.（1）写出服药后）写出服药后y关于关于t的函数关系式；的函数关系式；返回返回 学点二学点二 已知函数模型解实际问题已知函数模型解实际问题（2）据测定：每毫升血液中含药）据测定：每毫升

7、血液中含药量不少于量不少于2微克时治疗疾病有效微克时治疗疾病有效.假若某病人第一次服药为早上假若某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天几点钟？最迟应该在当天几点钟？整理课件（3）若按（）若按（2）中的最迟时间第二次服药，则服药后）中的最迟时间第二次服药，则服药后再过再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？小时，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到（精确到0.1微克）微克）返回返回 【分析】【分析】待定系数法求函数解析式是一种求函数解析待定系数法求函数解析式是一种求函数解析式的基本题型式的基本题型.（1）当当0t1时，时，

8、y=8t,当当t1时，把时，把A，B的坐标分别的坐标分别代入代入y=kat,得得 ka=8 a=22 ka7=1. k=82.因此，因此，y与与t的函数关系式为的函数关系式为 8t, 0t0,b1)，则，则 g(1)=ab+c=1 g(2)=ab2 g(3)=ab3+c=1.3. 解得解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.4+1.4=1.35.经比较可知用经比较可知用y=-0.8(0.5)x+1.4作为模拟函数较好作为模拟函数较好.返回返回 整理课件【评析】问题中给出函数关系式【评析】问题中给出函数关系式,且关系式中带有需且关系式中带有需确定的参数确定的参数,这些参数需要根据问题的内容或性

9、质来这些参数需要根据问题的内容或性质来确定确定,然后再通过运用函数使问题本身获解然后再通过运用函数使问题本身获解.返回返回 整理课件18世纪世纪70年代年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均（天文单位）如下表：木星、土星离太阳的平均（天文单位）如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，能是一颗大行星爆炸后的产物，请你

10、推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？行星行星 1(金星金星)2(地球地球)3(火星火星) 4（ ）5(木星木星)6(土星土星)7（ ）距离距离0.71.01.65.210.0返回返回 整理课件由数值对应表作散点图如图由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型由图采用指数型函数作模型,设设f(x)=abx+c.代入代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得得 ab+c=0.7 ab2+c=1.0 ab3+c=1.6 ,(-)(-)得得b=2,代入代入, 2a+c=0.7 a= 4a+c=1.0, c=解得

11、解得 得得 20352返回返回 整理课件f(x)= 2x+ .f(5)= =5.2,f(6)=10,符合对应表值符合对应表值,f(4)=2.8,f(7)=19.6,所以谷神星大约在离太阳所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处天文单位处.在土星外面是天王星在土星外面是天王星,它与太阳的距离大约是它与太阳的距离大约是19.6天文天文单位单位.20352526返回返回 整理课件1.1.怎样理解怎样理解“数学建模数学建模”和实际问题的关系？和实际问题的关系？一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为述，这时可称之

12、为“实际模型实际模型”，它和，它和“实际原形实际原形”不同，因为它不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现. .而是在得到一个而是在得到一个“实际模型实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个量和关系，得到的结果是一个“数学模型数学模型”. . 在在“数学建模数学建模”中要把握好下列几个问题：中要把握好下列几个问题：（1 1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景背景. .弄清楚问题

13、的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题. .（2 2）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数数. .2.2.怎样才能搞好怎样才能搞好“数学建模数学建模”？返回返回 整理课件（3 3）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求）求解

14、模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解解. .（4 4）检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实）检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模. .（5 5）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围. .如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述

15、步骤模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤. .3.“3.“数学建模数学建模”中要注意什么问题？中要注意什么问题？（1 1）有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理）有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意. .（2 2）解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中）解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函

16、数关系式或列出方程，利用函数性质或联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决. .返回返回 整理课件1.1.如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它可考虑用分段函数来表示它. .另外，在实际问题的计算中应另外，在实际问题的计算中应注意统一单位注意统一单位. .2.2.分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意充分注意. .3.3.建立建立“数学模型数学模型”常用的分析方法：常用的分析方法：（1 1）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法关系的方法来建立问题的数学模型的方法. .（2 2）列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型）列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的