广东省东莞市2020届普通高中毕业班4月模拟自测数学(文)试题(解析版)

1、2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷9、选择题1.已知集合 A=x|x2+2x 3V0, B = x|2x 1 >0,则 A n B=(A.B. (3, 1)C.)2.设复数z满足iz=1 + i,则复数z的共轲复数工在复平面内对应的点位于（A.第一象限C.第三象限D.第四象限3.玫瑰花窗（如图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形ABCD,在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为（)A.B.4.已知定义在R上的奇函数f （x）,当C.

2、47C+2D.2兀十1x> 0 时，f (x) = log2x,且 f (m) = 2,则B. 4D. 4 或5.已知平面向量2、b的夹角为135° ,且a为单位向量，1）A, 小B.C. 1D.6.已知Fi、F2分别为椭圆C：=lG>b>O）的左、右焦点，过的直线l交椭圆C于AB两点，若 AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程A.C.D.2 y21616A.B.s值,则（co* (siV3C.D. - 18 .约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上

3、，请人不A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时,影子的顶点 A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（A. 115 米B. 137.2 米C. 230米D. 252.2 米断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点9 .为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评现场评委的评分表和该选手分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后,网络得分的条形图如图所示:评委序号评分1010记现场评委评分的平均分为翼,网络评分的平均分为工2

4、,所有评委与场内学生评分的平均数为工那么下列选项正确的是（UiA.B.C.D.2关系不确定7T 兀10 .已知函数f（K）二期（心/中）（仆0，丁 1 =-）的最小正周期为兀，将f（X）I兀的图象向左平移 丁个单位后，所得图象关于原点对称，则函数 f（X）的图象（）兀A.关于直线K=一厂对称7TC.关于点（工厂，0）对称7TB.关于直线K=一丁对称Ri-JJID.关于点（亏，0）对称x- c) 2+y2=2a2 截得二、填空题13. AABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 acosB XbsinA,则 B=.32Y 心 +lr tt+114 .已知f 二二在x = 0的切线

5、方程为 y=x+i,则k=.Jie7T15 .已知三棱锥 P- ABC中，PAL平面 ABC , PA=BC = 2, / BAC =,则三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为.16,已知、ai+sinCJt）在乂（。，i）上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为.三、解答题：共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17 .已知等差数列an的前n项和为Sn, S4=16, a3=3a2.（1）求an的通项公式；（2）设,求bn的前2n项的

6、和T2n. an an+l18 .如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，其中 AB ± BC , AD / BC, AD=4, AP = AB =BC= 2, E是AD的中点，AC和BE交于点 O,且POL平面 ABCD .（1）证明：平面 PACL平面PCD;（2）求点D到平面PCE的距离.19 .已知函数 f (x) = ex+3ax.(1)讨论函数f (x)的单调性：(2)若函数f (x) > 0在xC (0, +8)上恒成立，求 a的取值范围.20 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆N: (x-1) 2+y2=1,圆心N (1, 0),点E在直

7、线x=- 1上，点P满足应而？加=!市飘，点P的轨迹为曲线 M .(1)求曲线M的方程.(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D (自上而下)，若|AC|、|CD|、 |DB|成等差数列，求直线l的方程.21 .在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力 救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们

8、把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常.p (0<P<(i)在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为1).第一天，若某位感染者产生a (aCN)名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap (1+ap);以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 En (2W n< 10).写出 E4, En；(ii)在(i)的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均2

9、 I为P,且满足关系 p' = ln (1+p) 卷口，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 E； (2wnw10).当p'最大，且a= 10时，、根据E6和的值说明戴口罩的必要性.(p'精确到0.1)¥ 1参考公式：函数 y=ln (1+x)的导函数y二一；参考数据：ln3=1.1, ln2=0.7, k+164= 1296.(二)选考题：共 10分，请考生在第 22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选彳4-4:坐标系与参数方程IT i=t/22 .在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方

10、程为匚为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p=2asin。(a>0),已知直线l与曲线C有且仅有一个公共点.(1)求 a;可I(2) A, B为曲线C上的两点，且/ AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.选彳4-5:不等式选讲23 .设函数 f (x) = |3x+1|+|3x- a|, xCR.(1)当a=1时，求不等式f(x)<9的解集；(2)对任意xCR,恒有f (x) >2a-1,求实数a的取值范围.一、选择题：共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中

11、的相应位置涂黑.1 .已知集合 A=x|x2+2x 3V0, B = x|2x 1 >0,则 A n B=（）A. t-3,二） B. （3, 1） C. G，D D.6，3）【分析】可以求出集合 A, B,然后进行交集的运算即可.解：A- （k |-3=C rC 1） »b=（2 1 i） .故选：C.2 .设复数z满足iz=1 + i,则复数z的共轲复数,在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出口的坐标得答案.解：由 iz=1 + i,得 z=-=.2-1-1 ,z=l+i ,则复

12、数z的共轲复数工在复平面内对应的点的坐标为（1,1）,位于第一象限.3 .玫瑰花窗（如图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之 感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形正方形区域的概率为（）ABCD ,在整个图形中随机取一点，此点取自C.47T42D.【分析】首先这是一个几何概型，整个图形内部的每个点对应一个基本事件.只需要算出整个图形面积即两个圆与正方形的面积和.用正方形面积除以总面积即可.解：由题意可知，整个图形内部的每个点对应一个基本事件，所以这是一个几何概型.设此点取自正方形区域为事件A设正

13、方形的边长为 2r,则圆的半径为r. . . S ( ) = 2兀2+ (2r) 2=2兀2+4产.2Hr2+4r2 717+2正方形面积为S (A) = 4r2.故P(A) =4 .已知定义在 R上的奇函数f (x)，当x>0时，f (x) = log2x,且f (m) =2,则 m =( )A . -7B . 4C. 4 或1D. 4 或444【分析】根据题意，分 m>0与m<0两种情况讨论，结合函数的奇偶性与解析式分析，求出m的值，综合即可得答案.解：根据题意，当 x>0时，f (x) =log2x,此时若f (m) =2,必有log2m=2,解可得m= 4;当

14、x<0,则-x>0,此时若 f (m) =2,则有 f ( - m) = - 2,即 log2 ( - m) = - 2,解可得m=-综合可得：m=4或-4-;5 .已知平面向量a、b的夹角为135° ,且a为单位向量，1),则|a+b|=()B.C.D.【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可.解：由题意知，平面向量 凌、耳的夹角为135° ,且日|=1, b=(l3 1),所以 lEl=F+F=a，-a? b= 1xV2x cos135° =- 1,L -+ v 2 2 1且 十b) = + +2 a *b+ b =1+2X (- 1) +2=1,

15、所以目+E |=1.故选：C.6.已知F1、F2分别为椭圆C：2且的左、右焦点，过bF i且垂直于x轴的直线l交椭圆C于AB两点，若4AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为)4的等边三角形，及椭圆的定义可得2a,及2c与2a的关系求出c,再由a, b, c之间的关系求出椭圆的方程.解：因为4AF2B是边长为 4的等边三角形， 所以/ AF 2F1= 30° , 2a= |AF 1|+|AF2|= 2+4 =6，2c= |F 1F2I = /3|AF 112/,所以 b2= a2- c2 =9 3= 6,所以椭圆的方程为:Z+Z9 6=1,A.B.返2故选：B.JTS 值，贝

16、U (cosy)* (si_V32C. 1D. 一 1【分析】先判断a=coJU12的大小，然后代入框图的左边执行框计算即可.解：: |-' 一 -Il. : 二-:：4C0->S1n2凡 广 7V 五S=2co s _2V3 siiT-cusn=1故选：C.8 .约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时，影子的顶点 A和底面中心。的连线恰好与相应的底棱

17、垂直，则该金字塔的高度约为（）A. 115 米B. 137.2 米C. 230 米D. 252.2 米【分析】易知，当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边，再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高.解：当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边,再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高.所以由题意得金字塔塔高为OA = OB+BA= 115+22.2= 137.2米.故选：B.9 .为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名

18、评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示:评委序号评分1010记现场评委评分的平均分为翼1 ,网络评分的平均分为石，所有评委与场内学生评分的平均数为工，那么下列选项正确的是（A.B.C.D.叼十犯¥关系不确定【分析】根据题意求出平均数，然后估算求出总平均数.=9,=0.1 X 7+0.1 X 8+0.2 X9+0.6X 10=9.3,1二9 T= 9.15,设场内人数为a(a> 100),则=9.32.1a+7因为a> 100,所以2. 1

19、1079. 28 >耳-*-K-f故选：C.TTJT10 .已知函数f （6=EG （心工十巾）（20, 一。的最小正周期为 兀，将f（X）7U的图象向左平移 个单位后，所得图象关于原点对称，则函数 f （x）的图象（）71二一一对称ChA.关于直线瓦二'对称B.关于直线兀|兀C.关于点（工，0）对称D.关于点（,0）对称KJ【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可.解：f （x）的最小正周期为兀,=兀，得 3=2,贝U f (x) = cos (2x+ 4),兀将f（x）的图象向左平移亏个单位后，得到y= cos2 （x+)+() = cos (2x+3力

20、），所得图象关于原点对称,，kCZ,TT 亡,k ez,7T2（）-1当 k= 0 时，j=一即 f (x) = cos (2x - 7Tf (-) = cos (2 x兀 7TTT)=c0s = 0,则f （x）关于点（,0）对称,11.已知双曲线C：22一堂编b>0)的一条渐近线被圆（x- c） 2+y2=2a2截得的弦长为2b （其中c为双曲线的半焦距），则双曲线C的离心率为（）A.苧B. V2C. VsD. 2【分析】由题意画出图形，利用垂径定理可得 a与b的关系，得到双曲线为等轴双曲线,x轴对称,则离心率可求.解：如图所示，双曲线的两条渐近线关于取丫=上与圆相交于点 A, B,

21、 |AB|=2b,a|b. |圆心（c, 0）到直线bxay=0的距离d= /。b.结合垂径定理可得 2a2 = b2+b2,即a = b.，双曲线为等轴双曲线，其离心率e=。e.故选：B.12.在棱长为1的正方体 ABCD - AiBiCiDi中，E、F分别为 AB和DD 1的中点，经过点Bi, E, F的平面a交AD于G,则AG=()氏A.1B.五C五D.【分析】由面面平行的性质定理可得平面BiEF与平面 DiDCCi的交线与 BiE平行，过F作BiE的平行线交 CiDi于H,连接BiH,过E作EG / BiH,交AD于G,由比例关系可得所求值.解：由平面 AiABBi/平面 DiDCCi

22、,可得平面 BiEF与平面DiDCCi的交线与 BiE平行,过F作BiE的平行线交CiDi于H,由F为DDi的中点，可得H为CiDi的四等分点，连接BiH,过E作EG / BiH,交AD于G,从而G为AD的三等分点，则 AG=-1.故选：D.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.113. AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若acosB=£bsinA,则B=±tn【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简即可求解.解：: acosB = XAbsinA,3由正弦定理可得， sinAcosB = WsinBsinA,3由

23、 sinA> 0,化简可得tanB = J&,0 V B< 兀，故 B = 一 . o故答案为：春可24k J+k工+114 .已知f （，）=-在x = 0的切线方程为 y=x+i,则k= 2 .s【分析】先对函数求导数，再将x=0代入，并令f' （0） =1,即可求出k的值.解：由题意得 F （工）=色兄+射）巳只-k 6+（2T）jf-1+k=X，e1- f（0） = k - 1 = 1.k = 2.故答案为：2.15 .已知三棱锥 P-ABC中，PA，平面 ABC, PA=BC = 2, / BAC =,则三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为8兀.【分析】根

24、据三棱锥的结构特征确定球心位置，从而得出球的半径和表面积.解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求 O, D, D',为上下底面的外心，。为DD'的中点，AD为底面外接圆的半径,19由 OD = 1, AD = 1；得 R= AO = 72,所以球O的表面积为：4tiR2=8兀故答案为：8兀.16 .已知as+sinC-j-x) 在xe (0, 1)上恰有一个零点，则正实数a的取值范f (.x； -2xx围为 (0, 1).【分析】原题等价于函数 式及)=/口勺-工)和h (x) = 2x2- ax的图象在(0, 1)上只有一个公共点，作出函数图象，由图象观察可知，只

25、需 h (1) >g (1)即符合题意，由此得解.解：依题意，方程元-2x=0在(0, 1)上仅有个解,BPx2_as(a>0)(0, 1)上仅有一个实数根,亦即函数=sin(x)和h (x) =2x2-ax的图象在(0, 1)上只有一个公共点,而h (x) = 2x2- ax必经过原点，且其对称轴为由图可得当h (1) >g (1)时符合题意，即 2- a>1,解得a< 1,又 a>0,0< a< 1.三、解答题：共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23题为

26、选考题，考生根据要求作答 .(一)必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17 .已知等差数列an的前n项和为Sn, S4=16, a3=3a2.(1)求an的通项公式；(2)设%工 ，求bn的前2n项的和T2n.an an+l【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解；(2)通过裂项相消法求解数列 bn的前2n项的和T2n求解.解：(1)因为等差数列an中，设首项为a1公差为d.(S/就14a小口+盘产4aL+6d=16,解得I d=4由题意得,a 1+2d=3(a1H-d)所以 an= - 2+4 (n - 1) = 4n- 6.鼠-=7_3_y_k“ 力。+1 (3-6)4

27、n-2) 4(2n-幻(2n7) 8 k2n-3 2n-LT2n= b1+b2+b3+b2n 1+b2no3r 11 r 1+L2(2n-l)-3 -2(2n-l)-l J + t2*(2n)-3 一2(2人-1=(-1-)S ' 4n-l Jn2tl-4n）'所以bn的前2n项的和T2n为2（l-4n）18.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，其中 AB ± BC , AD/ BC, AD=4, AP = AB =BC= 2, E是AD的中点，AC和BE交于点 O,且POL平面 ABCD .(1)证明：平面 PAC,平面PCD;(2)求点D到

28、平面PCE的距离.【分析】(1)由已知证明四边形 ABCE为平行四边形，进一步证得四边形 ABCE是正 方形，得CEXAD.求解三角形证明 CD ± AC .由线面垂直的判定可得 POL平面ABCD , 得到CD ± PO .再由直线与平面垂直的判定可得 CD,平面PAC,从而得到平面 PAC ± 平面PCD;(2)由(1)知，四棱锥 P-ABCE为正四棱锥，故 PC=PE = PA=2,设点D到平面 PCE的距离为h,再由等体积法求点 D到平面PCE的距离.【解答】(1)证明：.AD/BC, AD=4, BC=2, E是AD的中点，四边形ABCE为平行四边形，又

29、,ABBC, AB = BC,四边形 ABCE是正方形，得 CEXAD .又.CE = AE = ED = 2,.AC = CD=2V.又AD = 4, . . AC2+CD2=AD2,故 CD LAC. PO,平面 ABCD , CD?平面 ABCD,CDXPO.又. ACnPO = O, AC, PO?平面 PAC, CD，平面 PAC,而CD?平面PCD, 平面PAC，平面PCD；(2)解：由(1)知，四棱锥 P-ABCE为正四棱锥,故 PC= PE= PA = 2.又CE = 2,PCE是等边三角形，即 $设点D到平面PCE的距离为h,得kX色汽工"41由PC=PA=2, A

30、C=2d5,得 PAC为等腰直角三角形，故 PO=RCS.ECD是直角三角形，且 CE = ED=2,得4以除叩。弓M 2 "赤篝由 Vp DCE = VD PCE,得2V226点D到平面PCE的距离为(1)讨论函数f (x)的单调性:(2)若函数 f (x) > 0在 xC (0, +oo)上恒成立，求 a的取值范围.【分析】(1)求导，根据导数讨论参数a,根据参数讨论单调性,(2)分离参数，求最值，求出 a.解：(1)因为 f' (x) =ex+3ax, xCR,所以f' (x)=ex+3a,当a>0时,f' (x) > 0,故 f (x

31、)在R上单调递增;当a<0时,所以x ( -oof' (x) =ex+3a,令 f' (x) =0,解之得 x= In (- 3a).ln (-3a)时，f' (x) < 0, f (x)单调递减；xC (ln (- 3a) , +8)时，f' (x) >0, f (x)单调递增,综上所述，当a>0时，f (x)在R上单调递增;当 a<0 时，f(x)在(-8,In (-3a)上单调递减，f(x)在(In (- 3a) ,+°°)上单调递增；(2)由题意知，ex+3ax>0在xC ( 0, +8)上恒成立，

32、即自亚1在xC (0, +8)上恒成立，3 3x所以也>蚩)J(x>0)，设虱必=-(，则屋当 0vxv1, g' (x) > 0, g (x)单调递增；当 1vx, g' (x) < 0, g (x)单调递减；p所以a> -4.20.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆N: (x-1) 2+y2= 1 ,圆心N (1, 0),点E在直 线x= -i上，点p满足而/而j,而？血工无0甲而3，点p的轨迹为曲线 m.(1)求曲线M的方程.(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D (自上而下)，若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，求直线l

33、的方程.【分析】(1)设p (x,y),由曲/而，得E(T,y)，求出向量的坐标代入 而?加=而而， 化简彳导:y2=4x,所以点P的轨迹曲线 M的方程为：y2=4x;(2)由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，得弦长|AB|= |AC|+|CD|+|DB|=6,对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，|AB|=4W6,不符合题意，当斜率存在时，A (xi, y1)，B (x2, y2),设直线l的方程为：y=k (x-1),与椭圆方程联立，利用韦达定理结合 抛物线的定义可求得 k的值，从而得到直线l的方程.解：(1)设 p (x, y),由说/而，得 E ( - 1, y),则诉=(x

34、-L y), NE=(-2, y)|, EpRx+L 0),西=(2, -y), 由厨而=1S由就得(x- 1, y) ? (- 2, y) = (x+1, 0) ? (2, - y),即-2x+2+y2 = 2x+2,化简彳导:y2=4x,所以点P的轨迹曲线 M的方程为：y2=4x；(2)由 |AC|、|CD|、|DB|成等差数列，得 |AC|+|DB|=2|CD| = 4,所以弦长 |AB|= |AC|+|CD|+|DB|=6,当斜率不存在时，直线 l的方程为：x=1,交点A (1, 2) , B (1, - 2),此时|AB|= 4w6,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为：y=k

35、(x-1) , A(xi,yi), B (X2,y2),y=k(t-15,消去 y 得：k2x2 ( 2k2+4)x+k2=0,Xi +K产, xix2=1,显然= 16(k2+1) >0 恒成立，由抛物线的定义可知，|AB|= xi+x2+2 = 6,解得：k= 土*技,直线1的方程为y= ±V2(k-1)|.21.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图:(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，

36、写出你认为最重要的两个统计结论；(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常.(i)在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p (0<p<1).第一天，若某位感染者产生a (aCN)名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap;第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap (1+ap);以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 En (2W nW 10)

37、.写出 E4, En；(ii)在(i)的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均2 I为p,且满足关系 p' = ln (1+p) 一千户，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 E； (2<n<10).当p最大，且a= 10时，、根据E6和的 值说明戴口罩的必要性.(p'精确到0.1)/1参考公式：函数 y=ln (1+x)的导函数 了 =,;参考数据：ln3=1.1, ln2=0.7,u+l64= 1296.【分析】(1)根据图表得到结论，正确即可，(2)根据题意求E4, En(3)先求f (p),求导求最值，求出

38、p,然后求出E6, Eg .解：(1)甲地区比乙地区新增人数的平均数低，甲地区比乙地区的方差大，(2) (i)耳尸曰p(l-ap) 土E口二3 (1一日口 )2WnW10, nCN+,令条,则f' (P)=志?=,当 f' (p) >0 时，0vpL, f (p)单调递增；当 f' (p) < 0 时，一vpv 1, f (p)单调递减；311故 f (p) 1113K=f (5)=In-7T= ln3 ln2 = 1.1 0.7 0.3= 0.1 , 乙kJR-J所以当p= 0.5时，p取得最大值0.1,此时 取二10乂0. 5(1+LQM 0. 5)“二5M 64二钝四,E' = 10X 0.1 (1+10X 0.1) 4= 16,戴口罩很有必要.(二)选考题：共 10分，请考生在第 22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选彳4-4