抛物线的简单几何性质

1、课题242抛物线的简单几何性质一授课时间任课教师闵海鹰授课年级高二教知识目标掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质学 目能力目标能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此根底上列表、描 点、画抛物线图形；标德育目标在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点抛物线的几何性质及其运用教学难点抛物线几何性质的运用教法探究法,讲练结合法，讲授 法使用教具电脑直尺器、投影仪、计算一、复习引入：1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线*定点F叫做教图、L/7k形J0xl/ 1学方 程2 y2 px(p 0)y22px(p0)x2 2py

2、(p 0)x22py(p 0)隹占八、即(f,0)吋叱过准线x 2x卫2y卫2y 1程抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的 准线.2抛物线的标准方程：.相冋点：1抛物线都过原点；2对称轴为坐标轴；3准线都与对称轴垂直，垂足1与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的-，即42p _p«42不冋点：1图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y2 ；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端2为X . 2开口方向在 X轴或Y轴正向时，焦点在 X轴或Y轴的正半轴上， 方程右端取正号；开口在 X轴或Y轴负向时，焦点在

3、X轴或Y轴负半轴时，方 程右端取负号一二、讲解新课：抛物线的几何性质1. 范围2因为p> 0，由方程y 2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标(x , y)满足 不等式x>0,所以这条抛物线在 y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物 线向右上方和右下方无限延伸.2. 对称性2以y代y,方程y 2px p 0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的 轴.3. 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2 2px p 0中，当y=0时，x=0,因此抛物线 寸 2px p 0的顶点就是坐标原点.4. 离心率抛物线上的点M与焦点的距离

4、和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1.对于其它几种形式的方程，列表如下:标准方程图形顶点对称轴焦占八'、八、准线离心率y2 2px p 00,0x轴卫,02x卫2e 1y22pxp 0r0,0x轴和x卫2e 1x2 2py p 00,0y轴0丰y 1e 1通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和 对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线 的斜率-附：抛物线不存在渐近线的证明.反证法假设抛物线y2= 2px

5、存在渐近线y = m灶n,Ax, 抛物线上一点，Ao Cx, yJ为渐近线上与 A横坐标相同的点如图，1 AA-O*xy为那么有y ：2px和yi= m灶n.M y mx n v2px当m 0时，假设xt+8，贝U |y1 y|当 m0 时，必 y n X1'，f2p| ,当 xt + s，那么 |y1 y|2这与y = m>+ n是抛物线y = 2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1抛物线关于 x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 2 2)，求它的标准方程，并用描点法画出图形.分析：首先由点坐标代入方程，求参数p.解：由题意，可设抛物线方程为

6、y2 2px，因为它过点 M(2, 2 2),所以(2.2)2 2p 2，即 p 2因此，所求的抛物线方程为y2 4x .将方程变形为 y 2 x，根据y 2 x计算抛物线在x 0的范围内几个点的坐% x26，那么 | AB | =BA10B8C6D42.M为抛物线 y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P 3, 1 ,那么| MP | MF |的最小值为:BA3B4C5D6标，得x01234y024描点画出抛物线的一局部，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一局部.点评：在此题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽 然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限

7、地接近于某一直线，也就 是说，抛物线没有渐近线.例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一局部，光源位于抛物线的焦点处，灯的圆 的直径60cm灯深为40cm求抛物线的标准方程和焦点位置.分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛 物线上一点坐标，从而求出p值.解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点即抛物线的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程是 y22 px p > 0.由条件可得点 A的坐标是40, 30，代入方程，得302 2p 40,即p 454所求的抛物线标准方程为y2 45 x2例3过抛物线y2 2px的焦

8、点F任作一条直线 m交这抛物线于A B两点， 求证分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比拟简捷. 证明：如图设 AB的中点为E,过A E、H C,那么以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切./ /IEyB分别向准线丨弓I垂线AD EH, BC垂足为D1 AF| = |AD|,|BF| = |BC|AB| = |AF| + |BF| = |AD| + | BC|= 2 | EH|丨所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且 四、课堂练习：EHL l，因而圆E和准线丨相切.1 .过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于Ax % , BX2, y2两点，如果3过抛物线y ax2 a 0的焦点F作直线交抛

9、物线于P、Q两点，假设线段PF、QF1 1的长分别是p、q，贝U _ = cp q14A2a B_C4aD2aa4.过抛物线y2 4x焦点F的直线l它交于A、B两点，那么弦AB的中点的轨迹方程是答案：y22x13的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标*5： 25答案：m , M到y轴距离的最小值为一424五、 小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等*六、课后作业：1. 根据以下条件，求抛物线的方程，并画出草图.1顶点在原点，对称轴是 x轴，顶点到焦点的距离等于 8.2顶点在原点，焦点在 y轴上，且过P4, 2点.3顶点在原点，焦点在 y轴上，其上点P m 3到焦点距离为5.2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于 A、B两点，假设A、B在准线上的射影是 A Ba, 那么/ AFB等于3. 抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线 方程.24. 以椭圆 y2 1的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭5圆在准线所得的弦长.5. 有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习