数学分析续论试题A卷

1、?数学分析续论 ?模拟试题(一)、单项选择题(6 5)(1) 设牯门为单调数列，假设存在一收敛子列 <anj ，这时有 a. lim an = lim an. ； b .'不一定收敛；c.n不一定有界；n?：j r， jD.当且仅当预先假设了 祐.？为有界数列时，才有 A成立.(2) 设f(X)在R上为一连续函数，那么有 A .当I为开区间时f ( I )必为开区间； B .当f ( I )为闭区间时I必为闭区间；C .当f ( I )为开区间时I必为开区间； D .以上A、B、C都不一定成立.(3) 设f(x)在某去心邻域 U (X0)内可导.这时有 A .假设lim f (x

2、) = A存在，那么f (x0) = A ； b .假设f在x0连续，那么A成立;x >xoc .假设f (x0) = A存在，那么lim f (x)二A ； d .以上A、b、c都不一定成立.x >xg(4) 设f(x)在a, b上可积，那么有a.f (x)在a, b上必定连续;b . f (x)在a, b上至多只有有限个间断点;(5)f(x)的间断点不能处处稠密;D . f (x)在a, b上的连续点必定处处稠密.07 Un为一正项级数.这时有n =1Q07 Un收敛;n Ao0B .假设 v un 收敛，那么 lim un 1 =1 ；nWv Unlim n un ： 1 ；

3、n厂：D .以上A、B、C都不一定成立.Q07 un收敛，那么n =1、计算题(104 )(1) 试求以下极限:limn > :1 +3 + +(2n -1) n +3limxe2t2dt(2) 设-1 1-ex*2 1u =，Uo= J,f (u )=yly-2arcta n. - ilx丿试求 f (u)与 f (u 0).(3)试求由曲线 y= x2 1 ，直线x = 2，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S .(4 )用条件极值方法(Lagrange乘数法)导出从固定点(x0, y0 )到直线Ax By 0的距离计算公式.三、证明题(103)(1)设f (x)与g(x)在a, b上

4、都连续.试证：假设f (a) ： g(a) , f(b) g(b),那么必存在 x0 ( a , b )，满足 f ( X。)= g( X。).(2) 证明f(x)=xlnx在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式:(a+b+c ¥加七<3其中a,b,c均为正数.(提示：利用詹森不等式.)(3) 证明:QOZn=0(-俨2n 1、答(1) A; (2) C; (3) B; (4) D; (5) D.、解1 3 -(2n -1);；-3nn = lim lim -nT°O Ilimt2*0e dt2e"2t2lim0et2dtdte2x2limt22 0e d

5、tex2limx22ex2xe"_2xex2+y22yeE I-_2e5-4e5!(2)(u) = yx,f ( U0 )=2丄-x2 +y22*2x +yII55 一(3)所围曲边梯形如右图所示其面积为T1(02X3Xyn 3(4)由题意，所求距离的平方(d)为(x-x0) '(y-yo) 的最小值，其中(x, y) 需满足Ax By C -0，故此为一条件极小值问题.依据Lagrange乘数法，设L =(x -X。)2 (y - y。)2 ，(Ax By C),并令Lx =2(x -xo) A =0,* Ly =2( y - yo)十丸B = 0,(F)U =Ax + B

6、y +C =0.由方程组(F)可依次解出:X = Xo_C =Ax By = Ax0 By0(A2 B2),2Ax0 By0 C-T _A2 B2， 2 224(A BS2(Axo Byo C)A2 B2=d = J(x -xo)2( y - yo)2Axo Byo CA2B2(x -Xo) (y - yo)二2后直接得到d2，而不再去算出 x与y的值,最后结果就是所求距离 d的计算公式.注 上面的求解过程是由(F)求出这是一种目标明确而又简捷的解法.三、证(1)只需引入辅助函数：h(x)二 f(x) -g(x).易知h(x)在a, b上连续，满足 h(a) ： 0, h(b) 0，故由介值性

7、定理(或根的存在定理),必存在 X。w (a, b),满足 h(Xo) = O，即 f(xo g(xo).(2) f(x)=xlnx的定义域为(O, ：)，在其上满足：1f (x) =lnx 1, f (x)二 x 0, x ( 0,：),所以f (x)为一严格凸函数根据詹森不等式，对任何正数a , b , c，恒有a b c a b c 1ln () (al n a bl n b cl n c )333a b c a b c ln/_a b_c=ln ()： In ( a b c ) 3最后借助函数ln x的严格递增性，便证得不等式"a+b+c 严临 o b c < a b cl 3丿(3) 由于较难直接求出该级数的局部和，因此无法利用局部和的极限来计算级数的和此时可以考虑把该级数的和看作幕级数QOS(x)=n 二 0n(T) x2n 1在x =1处的值,于是 问题转为计算 S(x) 不难知道上述幕级数的收敛域为-1,1，经逐项求导得到S(x)八(-1)nx2nx -1, 1；这已是一个