泰勒级数与幂级数

1、第四节 泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；，和的麦克劳林展开式。教学难点：幂级数的收敛域及和函数。教学时数：4教学内容：一、函数项级数的概念1函数项级数的定义定义：设函数都在上有定义，则称表达式 为定义在上的一个函数项级数，称为通项，称

2、为部分和函数2收敛域定义：设是定义在上的一个函数项级数，若数项级数收敛，则称是的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域3和函数 定义：设函数项级数的收敛域为，则任给，存在唯一的实数，使得成立定义域为的函数称为级数的和函数评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法二、幂级数1幂级数的定义定义：设是一实数列，则称形如的函数项级数为处的幂级数时的幂级数为2阿贝尔定理定理：对幂级数有如下的结论： 如果该幂级数在点收敛，则对满足的一切的对应的级数都绝对收敛； 如果该幂级数在点发散，则对满足的一切的对应的级数都发散例1：若幂级数在处收敛，问此级数在处是否收敛，若收敛，

3、是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数在处收敛，则对一切适合不等式（即）的该级数都绝对收敛故所给级数在处收敛且绝对收敛3.幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数，它具有下述性质： 当时，绝对收敛； 当时，发散如果幂级数仅在处收敛，定义；如果幂级数在内收敛，则定义则称上述为幂级数的收敛半径称开区间为幂级数的收敛区间4.幂级数收敛半径的求法求幂级数的收敛半径法一： 求极限 令则收敛半径为；法二：若满足，则；法三； 求极限 令则收敛半径为例2： 求下列幂级数的收敛域 解： 收敛半径，所以收敛域为； 收敛半径当时，对应级数为这是收敛的交

4、错级数，当时，对应级数为这是发散的级数，于是该幂级数收敛域为； 由于令，可得，所以收敛半径为当时，对应的级数为，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为5.幂级数的性质设幂级数收敛半径为；收敛半径为，则1，收敛半径；2，收敛半径；3幂级数的和函数在其收敛域上连续；4幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 5幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 解： 令，则 所以； 令，则 所以 ，例4：求幂级数的收敛域，并求其和函数。解：易求得收敛域为因为=+=，。所以和函数为。三

5、、函数展开成幂级数1.函数展开成幂级数的定义定义：设函数在区间上有定义，若存在幂级数，使得 则称在区间上能展开成处的幂级数2.展开形式的唯一性定理：若函数在区间上能展开成处的幂级数 则其展开式是唯一的，且 3.泰勒级数与麦克劳林级数 泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果在的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为函数在点的泰勒级数当时，称幂级数为函数的麦克劳林级数 函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数在处的泰勒级数在上收敛到的充分必要条件是：在处的泰勒公式 的余项在上收敛到零，即对任意的，都有4.函数展开成幂级数的方法 直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法 间接法 通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换利用的幂级数展开式是下