等差数列的性质练习含答案

1、课时作业 7 等差数列的性质时间： 45 分钟满分： 100 分课堂训练1.若一个数列的通项公式是an= kn+b(其中b, k为常数)，则下列说法中正确的是()A.数列an一定不是等差数列B.数列an是以k为公差的等差数列C.数列an是以b为公差的等差数列D.数列an不一定是等差数列【答案】 B【)1军析】an+1 an=k(n+1) + b kn b= k.2.等差数列中，壬tas+a + as+ae+a7 + as+a9= 420,贝U Sh + ai0等于 ()A 100B 120C 140D 160【答案】 B【)1军析】: as+a4+a + ae+a7+a8 + a9= 7a6=

2、 420,则 a6=60,a2 + aio = 2a6=2X60= 120.3 .在等差数列an中，ai5= 33, a25= 66,贝U a35=.【答案】99【解析】a15， a25， a35 成等差数列，a35= 2a25a15= 99.4 已知单调递增的等差数列 an 的前三项之和为21， 前三项之积为 231，求数列an 的通项公式【分析】关键是求出数列an的首项和公差.【解析】由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为ad+ a + a+d = 21,a=7, d2=16,a-d' a' a+d'于是可得？a-d?a?a + d? = 231,3a =

3、21,即 c 2a?a2d2?=231,由于数列为单调递增数列，因此 d = 4, & = 3,从而an的通项公 式为 an=4n 1.【规律方法】此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量.一般来说，已知 三个数成等差数列时，可设成：ad, a, a+d,四个数成等差数列时， 可设成：a 3d, ad, a+d, a+3d,其余依此类推，如五个可设成： a2d, ad, a, a+d, a +2d.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1 .在等差数列an中，a5=3,既=5,则a7 = ()A. 4B. -4C. 7D. 1【答案】

4、A , 一 一 一 11【解析】由题息知a7为a5, a的哼差中项，故a7=2( as+a0 =2x（3 + 5）=4.2.在等差数列an中，若 a3+& + a7 + a9+a1= 100,则 3a9 a13的值为（）B. 30A. 20C. 40D. 50【答案】c【解析】.33+311 = 35+39 = 237,- 2b + 2b + 3i89 + 3n = 5a? = 100,a7 = 20.a- 3a9 an=3( 3i + 2d) (2h+ 6d) = 2a7= 40.3.在等差数列an中，3i + 34 + a7 = 39, 82 + as + as = 33,则 2h

5、+ Sh+a的值为()A. 30B. 27C. 24D. 21【答案】B【解析】 方法一i：由等差数列的性质知，a + su+sh, 82 + 85+ 3s, Sb + 2h+ 2b 成等差数列，所以(3+214+ 37) + ( 2h+ Sb + Sh) = 2( Sb + Sb + 28),则 3- 3s -|- 39 = 2 X 33 39 = 27.方法一: (32 + as + as) (a + 2k + a7)= 3d(d为数列an的公差)，则d= 2,Sh + & + Sh = (Sh + as + 3s) + 3d = 33 6= 27.4 .把100个面包分给5个人，

6、使每个人所得成等差数列，且使较1大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份是()【答案】C【解析】设这5份为a 2d, a-d, a, a + d, a+2d,1由已知得 a= 20,且y a+a + d+a + 2cI) = a 2d + ad,555 d=- a 2d=635.等差数列an的公差d<0,且a2a4= 12, aia5=8,则其通项 公式为()A. an=2n2B. an=2n + 4C. an = 2n+ 12D. an = 2n+ 10【答案】 D【解析】由等差数列的性质得a2+ a4 = ai + a5= 8.又a2a4= 12,所以a2, a4为方程x28x+

7、12=0的两根，解得a2= 2,a4= 6a2= 6,a4=2.rra4 a2入 .当 a2=2, a4=6 时，d=一1 = 2>0(舍去)，4 2.a4 a2当 a2=6, a4=2 时，d= 4 2 = 2.所以数列的通项公式为 an = a2+(n 2)d=6 + (n 2)x( 2)= -2n+10.即 a=2n +10.6.设an, >都是等差数列,且 a1 = 25, b=75, a2+b2=100, 则aa?+ b37等于()A. 0B. 37C. 100D. -37【答案】C【解析】设an , bn的公差分别是d1, d2,(an+1+bn+1) (an+ bn)

8、 = (an+1 an) + (bn+1 bn) = d + a,an+bn为等差数列.又: a1+ bi = a2 + b2= 100, 237+ b37= 100.故正确答案为C.7. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正 数，第七项起为负数，则它的公差是()A. -2B. -3C. 4D. 5【答案】C【解析】设该数列的公差为d,则由题设条件知：a6=a1 + 5d>0, a7=ai + 6d<0.z 23d>d 5 '又. 21 = 23,23d< "t-.又.d是整数，. d= 4,故选C.8.已知数歹U an、bn都是公差

9、为1的等差数列，其首项分别为 a1、b,且 a+b1 = 5, a, b1 NI+ .设 Cn= abn(n NI+),贝U数歹！JCn的前 10项和等于()A. 55B. 70C. 85D. 100【答案】 C【解析】由题Cn= abn( n 6 NI+),贝U数歹！J cn的前10项和等于 ab + ab2 + ab10 = ab + ab + 1< ab = a+ (bi 1) = 4,.ab + abi+1 + ab + 9 = 4+ 5+- + 13=85.二、填空题（每小题10分，共20分）9 .已知a，为等差数列，a + a + a5= 105, Sh + a4+a6=99

10、,则 a201【解析】:a + a3+&= 105,即 3a3=105,.a3=35,同理 a4 = 33, d= a4a3= - 2,a- a20= ck 2 (20 4) d = 1.10 .等差数列an中，a1 + a4 + a0 + a6 + a9 = 150,贝U a18 2a14=【答案】-30【）1军析】由 a1 + a4+a0 + a6 + a9 = 5a0= 150,彳导 a10= 30, a182 a14= （a10 + 8d） 2（ a1。+ 4d） = a1。= 30.三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）11. （

11、1）已知数列an为等差数列，若 a1一as+a9 a13 + a17=117, 求 as+ a15.（2）在等差数列an中，已知a2+as + a8=9, a3a5a7= 21,求数列 an的通项公式.【解析】（1）方法一：.数列an是等差数列，.设数列an的 首项为a1，公差为d,则由题意得a 一（ a + 4d） + （a + 8d） 一 （a1 + 12d） + （a1+16d） = 117,.3 +8d=117.从而 a3 + a5= （a + 2d） + （a + 14d） = 2（ a + 8d） = 234.方法二：由等差数列的性质知，ai + a” = a5+a3= a3+a5

12、=2a9.ai a5 + a9一 a3 + a” = 117,.，a9=117,a3 + a15=2a9= 234.(2) - a2 + a5 + a8 = 9, a3a5a7 = - 21, Sh+a8=a3 + a7= 2a5, . . a5 = 3, - a3 + a7 = 2a5 = 6, a3a7 = - 7,)1军得 a3 = 1, a? = 7 或 a3 = 7, a? = 1.又 a7=sb + 4d,.当 a3= 1, a7=7 日寸，可得 d=2；当 a3= 7, a7= 一 1 日寸，可得 d= - 2.根据 an=a3 + (n 3) d,可得当 a3= 1, d =

13、2 时，an=2n 7 ；当 a3 = 7, d = 2 日寸，an= 2n+13.12.已知无穷等差数列an中，首项a=3,公差d= 5,依次取 出序号能被4 除余 3 的项组成数列 bn (1) 求 b1 和 b2 ；(2) 求 bn 的通项公式；(3) bn中的第503项是&的第几项？【解析】 数列 bn 是数列 an 的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于a是等差数列，则bn也是等差 数列(1)a1=3, d= 5,a=3+(n1)( 5) = 85n.数列 an 中序号能被4 除余 3 的项是an 中的第3项， 第 7项， 第11 项，. b = a3= 7, b2= a7=