浅析换元法在数学解题中的应用

1、 学科代码：070101 学 号：092014020082贵 州 师 范 大 学 求 是 学 院（本 科）毕 业 论 文题 目：浅析换元法在数学解题中的应用Analysed in application translated Into element method in mathematical problem solving学 院： 求是学院专 业： 数学与应用数学年 级： 2009级2班姓 名： 周世维 指导老师：冯金华（讲师） 完成时间：2013年4月浅析换元法在数学解题中的应用周世维摘要：换元法是数学解题中常用的重要方法之一。在有些数学问题中，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，

2、它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。掌握了代换思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个问题，提高我们的思维。关键词: 换元法 ；数学问题 ； 变量代换 ；代换思想Abstract： Change element method is one of important methods in mathematical problem solving. Some math prob

3、lems, due to the condition and conclusion of the variable relationship in form of concealment, substantial logic connection between them is not easy to found from the surface form, even if see connections between them, also due to the surface in the form of a complex and difficult to solve directly.

4、 Proper variable substitution, but when we put the question of the transformation in the form of the condition and conclusion, this would be easy to reveal the inner link between them, the problem is changed to easy, change numerous for brief. Mastered the substitution of ideas, not only can solve s

5、ome of the more difficult topics more smoothly, also can be used with a variety of methods to solve problems one by one, to improve our thinking.Key words: change element method ; mathematical problem; variable substitution ;substitution thought 换元法是数学的重要解题方法之一, 在解决代数式计算、解方程、三角函数、函数两个重要极限、求函数和微分、积分等

6、题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目中的一个“整体” 时, 可使原来题目隐藏的关系明朗化, 给人以“柳暗花明” 、化繁为简的感觉, 使问题迎刃而解。实施换元法的关键在于恰当地选择新的变元代替旧的变元， 同时要注意未知数允许值范围的变化, 即新变元的取值范围与旧变元的取值范围的内在联系与转化。1. 换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念和关键如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量, 求出新的未知量或变量 ,利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法,叫做辅助元素法, 简称换元法，其中新的未知量叫做辅助元素, 简称辅助元1!利用换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进

7、适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。使用换元法时要注意“新元”的范围，“新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。1.2换元法的基本思想和步骤即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 设元（或构造元） 求解 回代 检验 转化 等量 等价原则2. 换元法在数学解题中的应用2.1 换元法在代数计算中的应用例1计算解：设,两边立方得得 ,(,又 无实根，解得：原式2.2换元法在解方程中的应用在解方程组过程中通过恰当的换元，将高次方程化为低次方程，复杂方程化为简单方程2，也将分式方程化为整式方程，无理方程化为有理方程，借此换元思想将大大

8、降低解方程的难度。例2解方程-解：设两式相乘得：-+,解得： 两式相加得：,解得：，易得：,在构成方程组的方程里，有关未知数的代数式呈对称性，换元法可借此特点使方程组简单化，便于求出方程组的解。例3.解方程组 ；分析：这是一个对称方程，解对称方程一般令 进行代换较为简捷；解：原方程组变形为 令 ，则得到 ；解得： 或 ；2.3换元法在三角函数中的应用选择适当的三角函数式作为辅助未知数。对于有形如：,+,或等的问题时采用正弦和余弦；形如：和的问题时采用正切、余切，且根据特设确定角的范围。例4：已知函数·，求函数最大值和最小值。解：令，则可得,由得· 原函数为, ,又在上单调递

9、增,2.4换元法在函数两个重要极限中的应用换元法在函数两个重要极限中的应用相当广泛，此处主要列举其在求两个重要极限和中的例子2。例5：求解： 令,则且时所以 例6: 求解： 设,则当时,于是2.5换元法在求函数导数和微分中的应用换元法思想广泛应用在函数导数和微分计算中，它是计算某一类函数导数和微分的主要方法。例7：求的导数解： 令, 换元后即可直接使用反正切的导数公式，有 , 将,代入得：例8：求的微分6解： 令,得=d,分别代入, 2.6 换元法在积分计算中的应用换元法是计算函数积分的重要方法之一，也是函数积分计算的难点，换元法在计算函数积分应用方法主要可分为以下几类：2.6.1 不定积分的

10、第一换元积分法（凑微分法）例9：求解：令可解注：定理1：若已知dx=F,则有dx=F,其中可微。2.6.2 不定积分的第二换元积分法例10： 求解： 令，则， 。注：定理2：设()是单调、可导的函数并且。又设具有原函数，则有换元公式=,其中是的反函数。2.6.3 定积分的换元积分法例11 求解：令，当时，；当时，； 又当时，有=，且变换函数在单值,在上连续，由换元公式有：=注：定理3：若1.函数在上连续；2.函数=()在区间上单值且具有连续导数；3.当 在上变化时，=()的值在上变化，且()， ()，则有 以上借助换元法解决了数学中用一般方法难解决的问题，可见换元法应用的广泛性、普遍性，以及熟

11、练掌握换元法的重要性。恰当地应用换元法，可化繁为简、化难为易、化生为熟，把待研究的问题转化为已研究并已解决的问题，为解决复杂的数学问题提供了重要的解题工具。3. 换元法在应用中的常见错误分析3.1 将复合函数与原函数混为一谈例12. 研究函数的单调性。错解： 令,则 在上是减函数且。 为增函数。分析：的自变量为换元后误将复合函数的单调性认为原函数的单调性。正确解：令，则 在上是减函数且 是增函数 是减函数，若 为减函数。3.2 改变了自变量的取值范围例13. 若，试求的取值范围。错解：令，则，所以且。从而，又，且，所以，所以的取值范围是。分析：事实上，我们知道当时，。那么错误的原因为何呢？由推

12、得，这隐含了，这实际上是加强了条件，造成了非等价转换，从而导致的范围缩小。正确解：令，则原式为，所以 ，从而。 的取值范围是。3.3 代换式选择不恰当例14. 设，求的最值。错解：因为，所以令，则，两边平方得：，所以，从而；于是的最大值是1，最小值是。分析：事实上，由已知得，变换式一方面使其原函数的定义域扩大，另一方面将两个变换式的自变量混淆，误将的关系条件增加条件。正确解：因为，又，所以，从而； 设；于是有即；又 ，即； ；又 ，所以当，即时是的最小值为1；当 即时是的最大值为。所以适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。3.4 代换后没有正确的确定中间变量的

13、取值范围例15.，求的最小值。7错解：令，因为，所以。，；或当时，所以即，此方程无解。所以没有最小值。分析：上面代换错误地确定了中间变量的取值范围。由于，。正确解：令，即，即。解之得； 无解，则由解得，所以。3.5 不能用换元法解的问题凡与变量的变化方式有关的问题一般不能用换元法解。例如：判断函数在的单调性和奇偶性，不难得出此函数在上为减函数，在上为增函数，且为偶函数。若盲目使用换元法，令，则在上是增函数，且为非奇非偶函数，得出与原函数不同的性质。所以，在讨论单调性、奇偶性时一般不能用换元法。 又如：函数的最小正周期为，若令，得的最小正周期为。所以，判断函数的周期性也不能用换元法。由以上不难看出：在讨论复合函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性时一般不能令换元后讨论。4. 总结：在数学中,换元法有着极其重要的作用。学会运用换元法,不但可以沟通数学各个分支之间的联系,还可以扩大视野,培养我们的学习兴趣。对于一些较难的题目,我们还应当通过认真观察问题的结构特征 ,深入分析问题的隐含条件 ,采用类比、联想猜测等手段进行适当的换元 ,并综合运用各方面的知识给予解决。但在运用时也要注意题目中的一些条件，不能与换元后的条件混淆。【参考文献】1柳重堪.高等数学M.北京:中央广播电视大学出版社，2003.2何青.解方程中的换元法.科技信