求导公式大全（课堂PPT）

1、2022-3-5.1几个初等函数的导数几个初等函数的导数1.常数的导数：常数的导数：2.幂函数的导数：幂函数的导数： 特殊：特殊：0 c21 ,()2xxx 2111(), ()2xxxx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 000()()limxf xxf xx 复习：导数概念复习：导数概念1()xx 2022-3-5.23.对数函数的导数对数函数的导数1(log)ln1(ln)axxaxx 4.正、余弦函数的导数正、余弦函数的导数(sin)cos(cos)sinxxxx 2022-3-5.3一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理( ),( ),

2、(),u xv xxx如如果果函函数数在在点点处处可可导导 则则它它们们的的和和、差差、积积、商商分分母母不不为为零零 在在点点处处也也可可导导 并并且且).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu3.2 求导法则求导法则2022-3-5.4证证：0()()limxuu vvuvuvx （）（）(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x0limxv uu vu vx 000limlimlimxxxuvuvu

3、vxxx u vuv=5证证0( )( )lim( ( ) ( )xuv xu xvv xv v xx 0( )( )( )( )( )lim( )xu xuu xu xv xvv xv xx 2( )( ) ( )( ) ( )(3) ( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 0( )( )lim() ( )xuvv xu xxxv xx v x 2)()()()()(xvxvxuxvxu 2022-3-5.6推论推论(2) ( )( );Cf xCfx 1(3) ()niifx 11(1)( )( );nniiiifxfx 12()()()nfx fx

4、fx 11()();nnikikkifxfx 12()()()nfx fxfx 12()()()nfx fxfx 2022-3-5.7例例1 1223lncos.yxxx 求si n的导数求si n的导数2 2解解4yx 3x 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 sin x .2sin1ln2cos2xxxx 2022-3-5.841sincos ,2dd 求求11sincossinsincos22dd 42248dd 332cos4logsin7yxxxx 22314

5、3sin3ln2yxxxx 3lncosyxxx 2233lncoscoslnsinyxxxxxxxx 2022-3-5.9例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2022-3-5.10例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2022

6、-3-5.11三角函数求导公式三角函数求导公式 sincosxx cossinxx 2tansecxx 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx (1)f 不不存存在在2(1),1( )ln ,1xxf xxx 设设( )( 1),(2)fxff 求及求及例例5 51( )2 ,xfx 时时，11( )xfxx 时，时，解解11( )(1)2(1)ln1(1)limlim211xxf xfxfxx ( 1)21(2)2ff 11( )(1)lnln1(1)limlim11xxf xfxfxx 11ln1(1)1limlim111xxxxxx 即即f (x)在在x=

7、1不可导不可导2,1( )1,1xfxxx x=1时时:2022-3-5.13定理定理( )( )0 ,( ),yxxyIyyf xI 如如果果函函数数在在某某区区间间内内单单调调、可可导导且且那那末末它它的的反反函函数数在在对对应应区区间间内内也也可可导导且且有有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则1( )( )fxy 2022-3-5.14证证,xIx 任任取取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y,)(连连续续xf00 xy 时时0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(y

8、xy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 2022-3-5.15()xxee (0,1)xyaaay ，求求例例7 7解解logaxy 在在(0,+)内单调连续内单调连续, 值域值域(-,+)1(log)0(0,)lnayyya 且且，1()(log)xayay lnyalnxaa()ln(0,1)xxaaaaa 即即：特别地，特别地，2022-3-5.16证证：(arcsin )x 2211(arcsin ),(arccos )11xxxx cos0y 1(sin )y 1cos y arcsinyx sinxy 22y222cos1sin1yyx 211x 2

9、022-3-5.17证证：211x 2211(arctan ),(arccot)11xxxx (arctan )x 1(tan )y 21sec y arctanyx tanxy 22y222sec1tan1yyx 0 (sincos )xyexx () (sincos )()(sincos )xxyexxexx (sincos )(cossin )2cosxxxexxexxex 2(3)(sin1)xyxax22(3) (sin1)(3)(sin1)xxyxaxxax 2(23ln )(sin1)(3)cosxxxaaxxax sin( )1cosxxf xx 2( sin ) (1cos

10、)sin (1cos )( )(1cos )xxxxxxfxx 222(sincos )(1cos )sinsin(1cos )1cosxxxxxxxxxx2022-3-5.191(1)( )0( )( )yf xf xf x ，且且可可导导(2)lnln2xyxxxe (3)(sin2cos)xyexx 3tan(4)3arctansinxyxxxx 练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数2022-3-5.20小结小结 (1) (uv)=uv； (2) (uv)=uv+uv； (3) (cu)=cu； (4) (u/v)= (v0)；注意注意: ( )( )( )( );u xv xu

11、 xv x.)()()()(xvxuxvxu 分段函数求导时分段函数求导时, 不同表达式的分界不同表达式的分界点处用左右导数定义式求导点处用左右导数定义式求导.2u vuvv (5) 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数1( ).( )fxy 2022-3-5.21解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x2022-3-5.22作业：P107 9、15、16(可不空行可不空行、正、反面做正、反面做；自己对书后答案自己对书后答案；有问题彩笔做记号有问题彩笔做记号)2022-3-5.23 练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数；）（9sincos410)(1452xxxxf；）（0)(201121aaxaxaxaxgnnnn。)2()3(2xxy；）（xxxfcos7)(452022-3-524例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x0ln(1)l