高中数学解三角形知识点汇总及典型例题

1、解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1.直角三角形中各元素间的关系：在AB8, C= 90° , A及 c, AO b, BO a。(1)三边之间的关系：a s = -absin C= - bcsin A= -acsin B；2224.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元+b2=c2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A+ B= 90° ;(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A= cosB= a , cosA= sin B= b , tan A=

2、a 0 ccb2.斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中，A、R C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边(1)三角形内角和：A+ B+ C=九。(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 七a b csin Asin BsinC2R (R为外接圆半径)(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 = b2 + c2 2bccos A；b2 = c2 + a2 2cacos B；c2 = a2+b2- 2abcos C。3 .三角形的面积公式：(1) s = 1aha= 1bh= 1chc (ha、匕、hc分别表示 a

3、、b、c 上的高)；222素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型：(1)两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(2)两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5 .三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形 自身的特点。(1)角的变换.C . sin 2因为在 ABC中，A+B+C=t ,所以 sin(A+B尸sinC ; cos(A+B尸-cosC; tan(A+B尸

4、tanCoA B C A B sin cos,cos222(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6 .求解三角形应用题的一般步骤:(1)分析：分析题意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图;(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例 1. (1)在 ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80, a 42.9cm,解三角形；(2)在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, a 40°,解三角形(角度精确到10, 边长

5、精确到1cm)。解：(1)根据三角形内角和定理，C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20;asinB 42.9sin81.80、根据正弦理， b - 0 80.1(cm);SinA sin32.00 根据正弦定理，c型哼 丝生噢匕74.1(cm). SinA sin32.0(2)根据正弦定理，sinB 题A 28：n40 0.8999.a 20因为 00 V B v 1800 ,所以 B 640 ,或 B 1160.当 B 640 时，C 1800 (A B) 1800 (400 640) 760,当B 1160时，C 1800 (A B) 1800点评：应用

6、正弦定理时(400 1160) 240c 至inC 20Sin24 13(cm)., SinAsin4001)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器公题型2:三角形面积例2.在 ABC中，sinA cosA 运，AC 2, AB 3,求tan A的值和 ABC的面 2积。解法一：先解三角方程，求出角 A的值又 0 A 180 , A 45o 60°, A 105.tanA tan(45o 60o) 1 '323,1 、3'SABC IaC ABsin A 12 3 ”通 2(72 J6)。 2244sin

7、 A cosA 2解法二：由sin A cosA计算它的对偶关系式sin A cosA的值2(sin A cosA)1 2sin AcosA32 ,一 6sin A cosA 2+得sin A v6o4一得c0sA 6。从而 tanA sinA2上6cosA 42 、62 73。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3.在ABB, a、b、c分别是/ A /R / C的对边长，已知 a、b、c成22bsin B等比数列，且a - c

8、 =ac-bc,求/ A的大小及的值。c分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，0b2故可用余弦定理。由b2=ac可变形为 二a,再用正弦定理可求 皿nB的值。cc解法一：二 a、b、c成等比数列，b2=ac。又 a2-c2=ac- bc,b2+c2a2=bc。在ABB,由余弦定理得:cosA=b2 c2 a2 二三=1, 2bc 2bc 2A=60° o在ABE,由正弦定理得sinB=吧廿，.b2=ac,a/A=60° ,2bsin B b sin 60=sin60ac解法二：在 ABE,由面积公式得1 bcsin A= 1 acsi

9、n B。.2. b=ac, / A=60,bcsin A=b2sin Bbsin B =sin A=7c2评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例 4.在AB5,若 2cosBsinA= sinC ,则 ABC勺形状一定是（A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin AcosB= sin C=sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB.sin (A B) =0, ，A= B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅

10、解题途径，-题型5:三角形中求值问题例5. ABC的三个内角为 A B C,求当A为何值时，cosA 2cos包£ 取得 2最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=t ,得 B+C。一A，所以有 cosB+C=sin A。cosA+2cos=cosA+2sin ± =1 2sin2" + 2sin 自一2（sin 7 1）2+ 1;2222'22，2当 sin A = 1,即 A= 223时,cosA+2cos320点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用例6.

11、（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°, 30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC=0.1kmi试探 究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的距离（计算结果精确至U 0.01km, 近 1.414, 6Q 2.449 ）解：在 ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 -60° -60° =60° ,?在 AB

12、C 中,31 2 、620故CB是ACAD底边AD的中垂线，所以 BD=BAABACACsin60sin BCA sin ABC , 即 AB= sin 153、2 <6 因止匕，BD=-200.33km。故B, D的距离约为0.33km点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1 .解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A B C）,由A+B+C=冗求C,由正弦定理求a、b;（2）已知两边和夹角（如 a

13、、b、c）,应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=兀，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求 B,由A+B+C二九求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、bc,应余弦定理求 A B,再由A+B+C =兀，求角C。2 .三角学中的射影定理：在 ABC中，b a cosC c cosA,3 .两内角与其正弦值：在 ABC中，A B sin A sin B ,4 .解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1. （2

14、010上海文数18.）若 ABC的三个内角满足sin A:sin B:sin C 5:11:13 ,则a ABC （）（A） 一定是锐角三角形.（B） 一定是直角三角形.（C） 一定是钝角三角形.（D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由 sin A:sin B :sin C 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13222由余弦定理得cosc 5 11130 ,所以角C为钝角2 5 112.（2010天津理数7）在AB5,内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2 b2 J3bc ,sinC 2 Ain B ,则 A=()（A 300【答案】A(B) 600(C)

15、1200(D) 150°【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得c 2 3b2R 2Rc 273b , 2_222_.一b +C -a . 3bc C . 3bc 2 3bc . 30所以 cosA= =- J ,所以 A=302bc2bc2bc 2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. （2010 湖北理数）3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60 ° ,贝U cosB =A 壁B迥C 渔D逅 3333【答案】D【解析】根据正弦定理 W 三可得 2 解得sinB立，又因为b a si

16、n A sin B sin60 sinB36则B A,故B为锐角，所以cosB V1 sin B ，故D正确.34. (2010广东理数)11.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若a=1,b= V3, A+C=2B,则 sinC= 一解：由 A+C=2B及 A+B+ C=180° 知，B=60° .由正弦定理知，-3-,sin A sin 60o1即 sinA .由 a b知，A B 60°,则 A 30°, 2C 180° A B 180° 30° 60° 90°, sinC

17、sin90° 15(2009湖南卷文)在锐角 ABC中，BC 1,B 2A,则-AC的值等于 , AC c°sA的取值范围为解析 设A , B 2.由正弦定理得由锐角 ABC 得 0o 290o0o45°,又 0o 180° 3 90°30°600,故 30°45° cos 叵,226. （2009全国卷I理）在 ABC中，内角A B、C的对边长分别为a、b、C,已,22知 a c 2b,且 sinAc°sC 3c°sAsinC,求 b,分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条

18、件（1） a2 c2 2b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2） sin Ac°sC 3c°s Asin C,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分.解法：在 ABC中则Q sin Ac°sC3c°s Asin C,由正弦定理及余弦定理2,22,222- a b c b c a有: ag一二一 3一募一gc, 2ab2bc（角化边）化简并整理得：2（a2c2）b2.又由已知a22. 2c 2b 4b b2.解得b 4或b0（舍）.7.在AB5,已知A B、C成

19、等差数列，求tan£ tanC 22解析：因为A B C成等差数列，又 A+ B+ C= 180°,所以 A+ C= 120° ,从而A2 cA C= 600,故tanAC V3.由两角和的正切公式，得tan2 tan2A, C1 tan tan22所以 tanA tanC 33 <3tantanC, 2222.AC °, A, C ° tan tan k3 tantan- 、'3。2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8. （2009四川卷文）在

20、ABC中，A、B为锐角，角A B、C所对的边分别为a、b> C,且 sin A ,sin B 510（I）求 A B 的值；（II ）若 a b J2 1 ,求 a、b、c的值。解（I）A B为锐角，sinA2强噂cosA 1 sin2 A25,cos B5.1 sin2 B3.10100 A B . a b ,4(II )由(I)知 c sine 也 42由一a- -b 得sin A sin B sinC5a 10b . 2c ,即 a , 2b, c . 5b应b b 应 1 b 1a 2,c59. （2010陕西文数17）（本小题满分12分）在 ABC中，已知B=45°

21、,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的长.解在ADB, AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos AD2ADgDC DC2 AC2 =100 36 1962 10 6ADC=120 , ADB=60在 ABD中,AD=10,B=45° , ADB=60 ,由正弦定理得 AB ADsin ADB sin B AR=10 单AB-ADgjin ADB 10sin 60T 5 -sin Bsin 45丁T10. (2010辽宁义数17)(本小题满分12分)在ABC中，a、b、c分别为内角A、Bk C的对边，且 2asinA (2b c)sin B (

22、2c b)sin C(I )求A的大小；(n )若sin B sin C 1 ,试判断 abc的形状.解：(I)由已知，根据正弦定理得 2a2 (2b c)b (2c b)c即 a2 b2 c2 bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA故 cosA 1,A 120 2(n)由(I)得 sin2 A sin2 B sin2 C sin BsinC.1又 sinB sinC 1,得 sinB sinC 2因为 0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC是等腰的钝角三角形。11. (2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)在 ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C 的

23、对边，且(I )求A的大小；(n )求sin B sinC的最大值.解：(I)由已知，根据正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c即a2 b2 c2 bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA一1c故 cosA A=1206分2（n）由（i）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。补充：海伦公式：有一个三角形，边长分别为 a、b、c,三角形的面积 S可由以下公式求得：而公式里的p为半周长（周长的一半）：基本关系转化：倒数关系：sinacscar = 1?; cosarseca = 1; tanacotfl = 1商的关系：平方关系：sin? ? -fcos

24、2 ? = !?； 1 + tan工4 二 sec2 tr? ； 1 + cot2 a =csc2 a和差角公式和差化积口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦积化和差倍角公式二倍角三倍角三倍角公式推导sin (3a) f 3sina -4sinA3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina (1-sinA2a)+ (1-2sinA2a)sina=3sina-4sinA3acos3a f 4cosA3a -3cosa=cos (2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosA2a-1 ) cosa-2 (1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosasin3a f 4sinasin (60°+a)sin (60 °-a)=3sina-4sinA3a=4sina (3/4-sinA2a)=4sina (V3/2 -sina (V3/2 +sina=4sina(si