一种确定含参函数零点区间端点的新方法

1、一种确定含参函数零点区间端点的新方法摘要 本文讨论了函数的零点问题 .以近几年的高考题为例，通过构造不定方程并求其一组解，可以确定含参单调函数零点所在的区间端点关键词 零点；单调函数；不定方程1问题提出近几年来，含参函数的零点问题在高考题中常常出现，并且一般出现在压轴题的位置如2015年高考新课标卷I文科第 21题，命题组给出的标准答案如下:引例1 （2015年高考新课标卷I文科第21题（节选）已知函数f x讨论f x的导函数f x零点的个数解 f x的定义域为 0, f2x有零点；当a 0时，因为e单调递增, a又fa 0,当b满足0 b且b4一零点.x 2e2x f.当 a 0 时，f x

2、 xa单调递增，所以f x在0, x1 r一时，f b 0,故当a 0时, 4特别在所给的“答案”中，区间端点b是怎么来的，为什么要满足0 b0, f x 没单调递增.f x存在唯a 口1一且 b ,44就像“魔术师帽子里跑出来的兔子”让人摸不着头脑.显然，在规范答题时利用零点定理找到相应的区间端点是束缚学生解题的一个瓶颈.笔者翻阅了一些文献如文1-2 ,查其究竟,大多是利用放缩，把超越函数转化为可解的多项式函数，但是有时候放缩可能会比题目本身都困难，学生也难以把握.笔者发现一种新的方法通过构造不定方程，若能给出其一组特殊解，就可以确定零点所在区间端点或者其中一侧端点的取值，仅供大家参考.由于

3、本文主要研究利用零点存在性定理处理问题，故默认所研究的函数均是连续函数2思路来源引例2求函数f x lnx 2x 6的零点个数3 .这是人教A版必修一第三章“函数的应用”第一节“函数与方程”中的一个例题.由于该函数是单调递增的，故零点至多有一个.该函数的零点问题本质上方程lnx 2x 6 0的解，若把该方程看作如下的不定二元方程ln x1 2x2 6 0 ,求出一组解x1 a, x2 b ,满足a b且a,b 0,.如令x1 1, x2 3 ,则不难发现f 1 f 3 0 .笔者猜想满足上述条件的情况下，函数的零点必在a,b之间.原因如下：不妨令a b,并且In a 2b 6 0.由于函数 x

4、 lnx和函数 x 2x 6都是增函数，故 fa Ina 2a 6 2 a b 0,fb Inb 2b 6lnblna0.由 此可得x0a,b .因此，笔者发现有如下命题:结论1函数F x xx是单调增函数，且满足x , x均为单调递增函数，x1x20, x1 x2，则F x必有一个零点x0，且x0在x1,x2之间.当xx2时，由于x2xi且 x单调递增，则F x2x2x2x2 x 0x2x10 .故知F x必有一个零点x0 ,且x0在x1，x2之间.注该命题中单调增函数都变为单调减函数，结论依然成立引例1的解析 由于当a 0时，因为e2x单调递增，a单调递增，符合上述条件，x因此可以构造方程

5、 2e2x1 0.由于该方程的解 x1,x20,，于是选取x1 0,故又2a -a2 , 故不妨令x23 ,则x11.3. 一.一In 一.由于不能确定。x2大小，不妨令22max-ln - 3 220, f m 0,故当a 0时,f x存在唯一零点事实上，x2-n 2即可，故可得到不同的解 nx,lnn.不难发现当n 4时，可2 2-a11a1得 x2 ,x1 ln2一，此时令 b min,必有 f b424440,这与命题组给出的a1答案0 b 且b 是殊途同归.44事实上，利用零点存在性定理处理零点问题时,许多场合，函数会在零点附近是单调的因此，如果函数能表示成两个单调函数之和时， 利用

6、结论1很容易找到零点所在区间的端点3推而广之3.1单调函数可变形为两个单调函数之和我们遇到一些单调函数，虽然不能表示成两个单调函数之和，但是经过变形仍可以转化为两个单调函数之和，如 2016年高考全国新课标I卷文科第21题：x2例1已知函数f x x 2 e a x 1有两个零点(1)求a的取值范围；(2)若f x有两个零点，求a的取值范围.解析 这里仅考虑 a 0的情形.由于f xex 2ax在区间,1上单调递减，在区间1, 单调递增.故f x mine 0.当1时,由于上去 以符号相同且有相同的零点.令x 1 e不难发现,x和 x在区间,1上都是单调递减函数xix2x1，x2,1.不妨令x

7、20x12a 0解得2a 1 ,8a 12a2aX 一、8a 1 人-（舍）.则当m2amin2a 1 . 8a-1,0时，F0即 f m 0,2a故可得f x在 ,1有且只有一个零点.当 x 1 时，f 2 a0,故f x在区间1,有且只有一个零点.因此，可得当a 0时，该函数有两个零点3.2单调函数可变形为一个单调函数与一个函数之和事实上，很多单调函数未必可以表示为两个单调函数之和或者不容易变形为两个单调函 数之和，如函数f x x sin x .虽然该函数是单调增函数，也能构造成不定方程,八一 ,一，一1x sinx2 0 ,也可以给出一解如X ， X2 2k k Z 或267、x2 2

8、k k Z ,但是这不能保证在 、与*2之间有一个零点的.因此，结论1还有 6很多的局限.对于很多含参函数问题来说，比如例1函数的极值可以判定正负，故零点所在区间端点 有一端可以取极值点.但是另外一个端点不好确定.若能找到另一个端点函数值的正负，问题 也能得到解决.笔者发现有如下命题：结论2设函数F x x x ,x1x2 0，则当x2 x1时，(1)若x是单调递增函数，则F x1 0；若 x是单调递减函数，则F X0；（2）若 x是单调递增函数，则F x20；若 x是单调递减函数，则F x2 0.证明 （1 ）由于x1x2,当 x是单调递增函数时，则F x1xx1x20；当 x是单调递减函数

9、时，则F x1x1x20 ；同理可得（2）也成立.注 当x x2时，也有类似的结论，在此不作赘述.这些不等式为我们提供了一个可以判断函数在某点正负的一个依据.笔者尝试利用这个结果解决2017年全国数学高考新课标I卷理科第21题，如下：例2（2017年高考新课标I卷理科第 21题）已知函数f Xae2x a 2 ex x.（1）略；（2）若f x有两个零点，求a的取值范围.解析 限于篇幅，这里仅讨论0 a 1情况.由于 f x2ae2xa 2ex1aex12ex1 ,不难得到f x 在区间 In a, 上单调递增；在区间，lna上单调递减，且 x lna为其极小值点 .进一步得到,1x ,其中

10、xae2xa 2 ex, xx.f ln a 1 ln a 0. a当x lna时，令fx x易知 x单调递减函数.若x1x20,满足x1,x2lna, ,故不妨令48-r 84人x1 In - In a ,则 x2 4 .下面说明 x2 x1 ,即一 4 ln a 0,1 .令aaa a8, .4,18x8 - p x 4ln一,由于px - -2- 0,所以p x在 0,1上递减又因为x xx x x8, 4.p 10,所以任意x 0,1 , p x 0,故一 4 lnlna a 0,1 .由于函数a a4f x在区间 ln a,是单倜递增函数，故当 m ln一,有f m 0成立.故可得到

11、af x在区间 lna,上有且只有一个零点.当x lna时，f 0 2a 2 0 ,21 e a 2e e-2e0 ,且f x为单调递减函数，所以 f x在区间1,0有且只有一个零点.综上可得当0 a 1时，函数f x有两个不同的零点.2注 若对该题解析所给的不定方程，不难也可给出另外一组解x1ln-, x22,这2组斛不付合结论2的条件即不满足 x1,x2lna,.虽然有x1ln lna,但是a2 lna a 0,1不一定成立，故此解不能作为我们判断正负的依据.经过计算也不难发一 ,一2222现：由于f2 e e 1 a , f ln -2 ln 2 ln a不能确te其在a 0,1上ea的正负.因此，在所在单调区间内找到符合条件的解是解决该问题的关键4反思由于含参函数零点问题一直是高考考查的热点问题，对于零点所在区间端点的选取一直这超出了高是学生难以跨越的鸿沟 .文 1 中用到的放缩法是要以学生熟悉泰勒公式为基础，中学生的范围，并且对于放缩时“度”的选取还是比较难以把握的.而本文的想法是从函数本身入手， 构造出相应的不定方程， 只要找到一组适合题意的解至少可以确定零点所在区间的一个端点 .从上面的讨论来看，也是通用通法.事实上，这也是困扰笔者多年的一个问题，总希望找到一个让学生能够解决问题的抓手，让他们觉得零点端点的选取不再那么突兀.在平时的教