【教育资料】第一章§1命题(二)学习专用

1、教育资源§1 命题（二）【学习目标】1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题间的关系思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真良县真假假基假真更假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系:（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.1 .两个互逆命题的真假性相同.（X）2 .原

2、命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.（，）3 .命题“若p,则q”的否命题是“若p,则非q” .（X）类型一 四种命题间的关系及真假判断例1判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假.若ab0,则aw。或bw。；（2）若 a2+b2=0,则 a, b 都为 0.考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解（1）逆命题：若aw。或bw。，则abw。.它为假命题.逆否命题：若 a。且b。，则ab。.它为真命题.所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题.（2）原命题与其逆命题 “若a, b都为0,则a2+b2=0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题.反思与感悟 互为

3、逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键.跟踪训练1下列命题为假命题的是（）A. “若x2+y2w0,则x, y不全为0”的否命题B. “正三角形都相似”的逆命题C. “若m> 0,则x2+x m=0有实根”的逆否命题D. “若x-必是有理数，则x是无理数”的逆否命题考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案 B解析 A中，原命题的否命题为 “若x2+y2=0,则x, y全为0”，是真命题.B中，原命题的逆命题为 “若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形"，是假命题.C中，原命题的逆否命题为“若x2+x m=0无实根，则 m< 0&quo

4、t;，二方程无实根，A= 1+ 4mv 0, mv -, '4'原命题的逆否命题是真命题.D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x 也不是有理数”，. x不是无理数，x是有理数，又m是无理数，x- 正是无理数，不是有理数，原命题的逆否命题是真命题.类型二等价命题的应用例 2 设 m, n R,证明：若 m2 + n2= 2,则 m+ n< 2.考点反证法逆否证法题点逆否证法证明 将“若m2+n2=2,则m+nW2”视为原命题，则它的逆否命题为 “若m+n>2,则m2+n2w2” .因为 m+n>2,所以 m2+n2>1（m+n）2>2x22=

5、2.所以m2+n2w2,所以原命题得证.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练2 证明：若a24b2 2a+1W0,则a2b+1.考点反证法和逆否证法题点逆否证法证明 命题“若a24b22a+1 W0,则aw2b+1”的逆否命题为 “若a= 2b+1,贝U a2 4b22a+1 = 0” .由 a=2b+1,得 a24b22a+1= (2b+1)2 4b2 2X (2b+1)+1 = 4b2+4b+1 4b24b 2+ 1 = 0,显然

6、原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题.故原命题得证1 .下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|"的逆命题B.命题“若x= 1,则x2>1”的否命题C.命题“若x= 1,则x2 + x- 2=0”的否命题D.命题“若x2>1,则x>1”的逆否命题考点四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假答案 A解析 对A,即判断：若x>|y|,则x>y的真假，显然是真命题.2 .命题“若x>1,则x>0”的逆命题是 ,逆否命题是 . 考点四种命题的概念题点按要求写命题答案若x>0,则x&g

7、t;1 若xW0,则xW13 .有下列命题：“若k>0,则方程x2+2x+k=0有实根”的否命题；“若1 1,则avb”的逆命题； a b“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是假命题的是.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案解析 对于，其否命题为：若kW0,则方程x2+2x+ k=0无实根，显然为假命题；对于,若avb,则a>:,为假命题；为真命题，故假命题为 .4.已知命题p："若ac>0,则二次不等式 ax2+bx+c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.考点四种命题间的相互关系题点 写出四

8、种命题利用四种命题的关系判断真假解(1)命题p的否命题为：“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0,所以一ac>0, A= b2 4ac>0?二次方程 ax2+bx+c= 0 有实根？ ax2+bx+c>0 有解，所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真；确定“若p,则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.课时对点练注年双基强化落实一、选择题1.以下说法错误的是()A.如果

9、一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D. 一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2 一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A 0B 1C 2D 4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同3 . “若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A 0B

10、1C 2D 3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案C解析只有其逆命题、否命题为真命题4 若命题 p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与 r 的关系是 ()A 互逆命题B 互否命题C 互为逆否命题D 以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案A解析设p为“若A,则B"，那么q为“若非A,则非B"，r为“若非B,则非A” .故q 与 r 为互逆命题5 .命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是()A.若 x<y,则x2<y2B,若xw y,则x2<y2C.若 x>y

11、,贝Ux2>y2D.若x>y,贝Ux2>y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题 “若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x<y,则x2wy2” .6 .给出下列四个命题：如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是（）A.B.C.D.考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析 根据面面垂直的

12、判定定理可知 是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂,可知是真命题.直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面 an+ an+i _一_（）B.假、假、真D.假、假、假7 .原命题为“若 n 2 n 1<an, nCN +，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A.真、真、真C.真、真、假考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析从原命题、逆命题的真假入手,an+ an+i2<an? an+i<an? an为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题.8 .有下

13、列四个命题：“若x+y=0,则x, y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若qwi,则x2+2x+q = 0有实根”的逆否命题;“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为（）A. B. C. D.考点四种命题间的关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析 逆命题为“若x, y互为相反数，则x+ y=0"，真命题；否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；当qW1时，A= 4-4q>0,所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题； 逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题.故选 C.二、填空题9 .命题“当 AB = AC时，

14、 ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有 个.答案 2解析 原命题为真命题，逆命题 “当4ABC是等腰三角形时，AB=AC”为假命题，否命题“当ABWAC时，4ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当4ABC不是等腰三角形时，ABWAC”为真命题.10 .已知命题p：若a>b>0,则log i av log i b+1,则命题p及其逆命题、否命题、逆否 22命题中真命题的个数为 .考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析a>b>0, . log i a< logib,22命题p为真命题，其逆

15、命题为 “若log 1 av log 1b+ 1,则a> b>0", 22当 a= 2, b = 2 时，log1av log 1 b+1 成立， 22而a = b,，逆命题为假命题.原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11.在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 .（填序号）考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案解析 的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面我们用正方体A

16、C1为模型来观察：上底面A1，B1，C1，D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1 四点共面，所以 的逆命题是假命题 的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点易知其是真命题三、解答题12判断下列命题的真假(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若 x?AAB,则 x?A 且 X?B;(3)若 x2+y2w0,则 xyw0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“ 若一个四边形是等腰梯形， 则它的对角线相等” ， 它为真命题，故原命题为真(2)该命题的逆否命题是“若x e A或x e B,则x e A n B”，它为假命

17、题，故原命题为假.(3)该命题的逆否命题是"若xy=0,则x2+y2=0",它为假命题，故原命题为假.13 .判断命题：“若 b< 1,则关于x的方程x2 2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解 方法一 (利用原命题 ) 因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可方程判别式为 A= 4b24(b2+b) = 4b,因为b< - 1,所以A> 4>0,故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二 （利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2

18、 2bx+ b2+b=0无实根，则b> 1” .方程判别式为 A= 4b2-4（b2+b）=-4b,因为方程无实根， 所以A<0,即一4b<0, 所以b>0,所以b>1成立，即原命题的逆否命题为真.四、探究与拓展14 .已知命题“非空集合 M中的元素都是集合 P中的元素”是假命题， 那么下列命题中真命 题的个数为（）M中的元素都不是 P的元素；M中有不属于P的元素；M中有属于P的元素；M 中的元素不都是P的元素.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M?P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于 P, .正确.M中可能有属于P的元素，也可能都不是 P的元素，故错误.故选B.115.已知条件 p： |5x-1|>a>0,其中a为实数，条件 q： 2x2 3x+ 1 >。，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p, q分别作为集合A, B,构造命题“若 A,则B"，并使得构造的原命题为