解析几何第四章教学课件

1、第四章：柱面、锥面、 旋转曲面与二次曲面 定义定义 平行于定方向且与一条定曲线相交的平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面称为一族平行直线所生成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，平行直线中的平行直线中的每一条直线都每一条直线都叫柱面的叫柱面的母线母线.一、柱面的定义一、柱面的定义 母线母线准准线线柱面及其方程柱面及其方程曲面方程的定义：曲面方程的定义：二、柱面方程的推导二、柱面方程的推导二、柱面方程的推导二、柱面方程的推导设柱面的准线方程为：设柱面的准线方程为：母线的方向数为：母线的方向数为： 0,0,21zyxFzyxFZYX,),(00

2、00zyxM),(zyxM若若 为准线上的任意一点，为准线上的任意一点，),(1111zyxM 0,0,11121111zyxFzyxF（1 1）则过的母线方程为：则过的母线方程为：ZzzYyyXxx111 （2 2） 0,0,11121111zyxFzyxF（1 1）通过以上的几个方程消去通过以上的几个方程消去0),( zyxF111,zyx2221212121212121 zyxzyx设设 为为准线准线上的任意一点，上的任意一点，),(1111zyxM解：解：例例1 1 设柱面的准线方程为设柱面的准线方程为母线的方向数为母线的方向数为1,0,1 求此柱面的方程。求此柱面的方程。 22212

3、22222zyxzyx过过 的的母线母线为为),(1111zyxMtzzyyxx 101111所求柱面的方程为：1)(22 yzx 例例2、已知圆柱面的轴为、已知圆柱面的轴为 ，点点(1,-2,1) 在此圆柱面上，求此圆柱面的方程在此圆柱面上，求此圆柱面的方程21211 zyx从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线 C:0),( yxF. （其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面，椭圆

4、柱面，x12222 byax双曲柱面双曲柱面 ，zpzx22 抛物柱面，抛物柱面，y母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴1. 椭圆柱面椭圆柱面12222 byaxxyzO2. 双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy空间曲线的射影柱面如果我们从上式中依次消去一个元，可得如果我们从上式中依次消去一个元，可得 123( , )0,( , )0,( , )0,F x yF x zF y z 4.2 4.2 锥面锥面 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线都叫做锥面的这些直

5、线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时：准线准线顶点顶点x0z y锥面及其方程锥面及其方程定义定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做直线所产生的曲面叫做锥面锥面定点叫做锥面的定点叫做锥面的顶点顶点，定曲线叫锥面的，定曲线叫锥面的准线准线设锥面的准线：设锥面的准线：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0顶点为顶点为A(x0,y0,z0)如果如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任

6、意点则锥面过为准线上的任意点则锥面过M1的母线是的母线是010010010zzzzyyyyxxxxF1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0且且消去消去x1,y1,z1得到三元一次方程得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程为满足条件的锥面方程例例1、锥面的顶点在原点，且准线为：、锥面的顶点在原点，且准线为：求锥面的方程。求锥面的方程。 czbyax12222例例2、已知圆锥面的顶点为、已知圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面，轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母，母线与轴组成线与轴组成300角，试求这圆锥面的方程角，试求这圆锥面的方程 n次齐次方程次齐

7、次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线. 定义定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为转一周所产生的曲面称为旋转曲面旋转曲

8、面或称或称回旋回旋曲面曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的旋转轴旋转轴4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面这条曲线叫旋转曲面的这条曲线叫旋转曲面的母线母线在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下，旋转曲面的母线为：旋转曲面的母线为：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0旋转轴为直线旋转轴为直线：ZzzYyyXxx000其中：其中：p0(x0,y0,z0)为轴上的一个定点为轴上的一个定点,X，Y，Z为旋转轴的方向数为旋转轴的方向数设设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意一点，是母线上的任意一点，求出纬圆的方程求出纬圆的方程M1P0OXYZ纬圆的方程纬圆的方程可以看成下面的两可

9、以看成下面的两个曲面的交。个曲面的交。1、过点过点M0且与轴垂直的平面且与轴垂直的平面2、以、以p0点为中心，的点为中心，的p0M1长度为半径的球长度为半径的球M1P0OXYZ又由于又由于M1在母线上故其应满足母线的方程在母线上故其应满足母线的方程联立这四个方程并消去参数联立这四个方程并消去参数 x1,y1,z1得到一个三元方程，得到一个三元方程，即为旋转曲面的方程即为旋转曲面的方程:F(x,y,z)=0曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴.4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00

10、),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面xozy0),( zyf), 0(111zyM M),

11、(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和

12、轴和 z轴；轴； 绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox绕绕z轴轴旋旋转转122222 czayx（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面（2）yOz 面面上上椭椭圆圆12222 czay 绕绕 y轴轴和和 z轴轴； 绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面xyzxyz（3）yOz 面上抛物线面上抛物线pzy22 绕绕 z轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo0

13、p几种 特殊旋转曲面o 1 双叶旋转曲面o 2 单叶旋转曲面o 3 旋转锥面o 4 旋转抛物面o 5 环面x zbyax 双曲线双曲线0y1 1 绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周1 1 x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线1 1 .绕绕 x 轴一周轴一周axyo2 2 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 2 2 a.xyoz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byaz

14、x.2 2 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax3 3 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.3 3 旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy4 4 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4

15、yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.4 4 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面例例.5 5yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆.5 5 二次曲面的定义：二次曲面

16、的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面二次曲面二次曲面1 222222 czbyax椭球面椭球面定义定义 在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中， 方程方程 表示的曲面称为表示的曲面称为

17、椭球面椭球面或或椭圆面椭圆面, 其中其中, ,a b c为任意的正常数为任意的正常数 abc当当时，方程表示的曲面是时，方程表示的曲面是球面球面., ,a b c中有两个相等时，方程表示中有两个相等时，方程表示旋转椭球面旋转椭球面.当当, ,a b c都不相等时，方程表示的曲面是都不相等时，方程表示的曲面是椭球面椭球面当当1 222222 czbyax椭球面椭球面1 对称性对称性椭球面关于坐标原点对称椭球面关于坐标原点对称 椭球面关于坐标面对称椭球面关于坐标面对称 椭球面关于坐标轴对称椭球面关于坐标轴对称 对称中心对称中心 对称平面对称平面 对称轴对称轴2 2 范围范围,xa yb zc它在六

18、个平面它在六个平面,xa yb zc 围成的长方体中围成的长方体中椭球面椭球面有界有界的的 1 222222 czbyax椭球面椭球面3 与坐标轴的交点与坐标轴的交点椭球面与其对称轴的交点称为曲面的顶点椭球面与其对称轴的交点称为曲面的顶点 (,0,0),(0,0)(0,0,)abc4 与坐标面的交线与坐标面的交线01 222222 xczbyax01 2222 xczby交线是椭圆交线是椭圆 01 2222 yczax01 2222 zbyax主截线主截线（或主椭（或主椭圆圆） 1 222222 czbyax椭球面椭球面用平面用平面zh截曲面得到的交线的方程是截曲面得到的交线的方程是 hzch

19、byax2222221当当zc时，交线是时，交线是椭圆椭圆，这个椭圆的半轴分别是，这个椭圆的半轴分别是22( 1)hac22( 1)hbc它的两轴端点分别是它的两轴端点分别是 22( 1),0, )hahc22(0,( 1), )hbhc01 2222 xczby01 2222 yczax两轴端点分别在两个主椭圆上两轴端点分别在两个主椭圆上(0,0, )c(0,0,)czc当当时，时，交线为一点交线为一点 hzchbyax2222221当当时，时，无图形无图形zc 椭球面可以看成是由一个椭圆的变动椭球面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，（大小位置都改变）而产生的，面面平行平

20、行，且两轴的端点分别在两个，且两轴的端点分别在两个顶椭圆顶椭圆上上xoy这个椭圆在变动中保持所在平面与这个椭圆在变动中保持所在平面与abcyx zo椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面 012222yczax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为 抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面分析得到：分析得到：1、椭圆抛物面对称于、椭圆抛物面对称于xoz与与yoz坐标面，也对称于坐标面，也对称于z轴，其没有轴，