所得税交纳点选址的数学模型

1、所得税交纳点选址的数学模型 试题：所得税交纳点选址所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。下图是该城市主要区和主要道路的示意图。区旁边的黑体数字表示该区居民数目，单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆盖整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。请建立数学模型给出三个纳税点安排的最佳方案。摘要所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。如图所示，区旁边的黑体数字表示该区居民数目，单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。首先我们将问题参

2、数化，建立数学模型。然后利用穷举法计算出每个点到所指定的三个纳税点的距离，再利用弗洛依德算法得出距离矩阵，并结合 math lab等程序（C语言、Lingo），得出其与人数加权后的距离矩阵。最后得出在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区 的居民去1区 的纳税点缴税，3，4，6，9 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区 的纳税点缴税。我们的模型虽然简单，但合理、实用，可以被各领域针对自己的情况应用到工作计划中去，指导他们的实际工作。 模型的总体假设1. 假设纳税点集中在每个区的中心；2. 假设限定每个区的居民只能到一个纳税点缴税；3. 假设三个纳税点之

3、间无特定联系;4. 不考虑“道路难度系数”（即实际路程、地面情况及障碍物等）;5. 不考虑路程与时间的关系（即选出的是人数和距离加权后最小的纳税点，而非时间最短）；6. 不考虑居民的迁入迁出，即假定该区居民数目稳定;7. 不考虑居民的主观因素（如个人偏好，或者因最近纳税点人多而临时改变纳税点等）；模型的建立与求解第一步：模型的建立根据假设一，每个纳税点集中在每个区的中心，可能的位置有12种，则三个纳税点的组合至多有=12*11*10/6=220个。可将问题参数化。参数的假定： i、j、k所选纳税点的区号；（共有=220种选择方案） m区号数；（m=1、2、312） m区的居民数，单位为千人；

4、、分别表示m区到i、j、k区（即所选纳税点）的最小距离； =Min，即m区到三个纳税点的最小距离；则问题可以表述为：求目标函数：MinZ(i，j，k)=第二步：模型的求解(考虑用穷举法)一、距离矩阵的建立1、i=1,j=2,k=3(即所选的三个纳税点为1区，2区，3区)；（1）m=1,2,3时，显然， =0；=0；=0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0）（2）m=4时，由题图显然：=55（4321）；=40（432）；=18（43）；=min(，)=18;(10) m=12时，由题图显然： =67（12951）； =61（12932）； =39（1293）； =min(,)=39

5、; 2、 i=1,j=2,k=4 (即所选的三个纳税点为1区，2区，4区)；(1) m=1,2,4时，显然，=0；=0；=0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0。（2）m=3时，由题图显然：=37（321）； =22（32）； =18（34）； =min(,)=18; (10) m=12时，由题图显然（以此类推）： 以此类推，可得距离矩阵如下：二、距离与人数的加权与人数加权后的距离矩阵如下：由公式MinZ(i，j，k)=结合与人数加权后的距离矩阵可得结果为：加权后的最小距离和为2438；在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区 的居民去1区 的纳税点缴税，3，4，6，9

6、 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区 的纳税点缴税。 三、 将上述求解过程程序化（以Math lab为主，C语言程序、Lingo 的程序及运行结果见附录）Math lab思考过程及程序如下：第一步，用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j 1，2，12），并将其写成如下距离矩阵：ShortDistance= 第二步，以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其它各个顶点的最短路径长度的加权和，并将其写成如下距离矩阵： ShortPath=第三部，用穷举法任选三点，求其他九点中的任意一点到该三点的加权距离的最短距离的加权和，MAT

7、LAB中可用矩阵依次求出所有可能的结果，并标记最短距离SDL及最优第三点i,j,k.第四步，输出，shortpath,SDL及i,j,k.M=inf;A=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;a=0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M;0,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M;zeros(1,3),18,16,M,M,M,20,M,M,M;zeros(1,4),M,12,M,M,M,M,M,M;zeros(1,5),M,M,12,24,M,M,M;zeros(1,6),M,M,12,M,M,22;zeros(1,7),15,M,22,M,M

8、;zeros(1,8),30,M,25,M;zeros(1,9),M,19,19;zeros(1,10),19,M;zeros(1,11),21;zeros(1,12);a=a+a'for i=1:length(a)pb(1:length(a)=0;pb(i)=1; d(1:length(a)=M;d(i)=0;temp=i;while sum(pb)<length(a) tb=find(pb=0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb); tmpb=find(d(tb)=min(d(tb); temp=tb(tmpb(1); pb(temp)=1

9、; end;Shortdistance(i,:)=d;ShortPath(i,:)=d.*A;end;%display ¼ÓȨǰShortdistance;ShortPathSD=;SDL=10000;k=1;l=1;p=1;q=1;x=0;y=0;z=0;for i=1:1:12 for j=1:1:12 for k=1:1:12 if(k=i&k=j&i=j) SD=0; for l=1:1:12 if(l=i&l=j&l=k) SD=SD min(ShortPath(i,l) ShortPat

10、h(j,l) ShortPath(k,l); end end SDL1=sum(SD); if(SDL1<SDL) SDL=SDL1; x=i;y=j;z=k; end end end endendTheShortestdistance=SDLdisplay Thepointchosed;disp(x y z)Math lab运行结果截图如下：模型评价模型的优点：思路比较简单、计算比较方便，只需用计算机软件编程辅助即可。将问题参数化、公式化，便于理解。 ( g; e! ( v$ ( 6 U8 R7 m 模型的缺点：本模型是在一系列的假设中进行的，并没有充分考虑实际过程中出现的问题。比如，

11、首先图上的任何两点之间不可能都能以直线的路径行走；其次，居民选择最佳纳税点的考虑因素不仅仅是距离长短，还可能和出行是否方便有关。 模型的改进：更进一步，如果时间允许的话，我们可以到指定城市实地考察，调查该城市居民人数的稳定分布情况，道路的便捷程度等。我们也可以编制个一个决策软件：只要输入各条道路长，各个区的人口数，软件可以给决策者提供一个税收点选址的较优地址。模型的推广：此题归属于运筹学问题线性规划选址问题。本题是在有限个离散点中选取加权距离最短的优化问题。例如工厂选址，机场的航班连接，物流中心的安排问题等。以此题为基础，考虑参数个数的变化对此模型的影响（如道路难度系数，出行费用等等）；将此题

12、的离散点连续化，建立更完备的模型体系。附录一：C语言程序和运行结果截图C语言程序如下：#include<stdio.h>void floyd(int (*dist)13,int n) int i,j,k; for(k=1;k<n;k+) for(i=1;i<n;i+) for(j=1;j<i;j+) if(i!=j)&&(distik*distjk!=0)&& (distik+distjk<distij)|(distij = 0) distij = distik + distkj; distji = distij; int m

13、in(int x,int y,int z) int d;if(x<y) d=x; else d=y; if(d<z) return d; else return z;void main() int M=0,b1313=0, i,j,k,m,sum1500=0,p=1,q=1,r=1,n=0,summin, a1313=0, 0,0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M,0,15,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M,0,M,22,0,18,16,M,M,M,20,M,M,M,0,M,M,18,0,M,12,M,M,M,M,M,M,0,24,M,16,M,0,M,

14、M,12,24,M,M,M,0,M,M,M,12,M,0,M,M,12,M,M,22,0,18,M,M,M,M,M,0,15,M,22,M,M,0,M,M,M,M,12,M,15,0,30,M,25,M,0,M,M,20,M,24,12,M,30,0,M,19,19,0,M,M,M,M,M,M,22,M,M,0,19,M,0,M,M,M,M,M,M,M,25,19,19,0,21,0,M,M,M,M,M,22,M,M,19,M,21,0, c13=0,15,10,12,18,5,24,11,16,13,22,19,20; sum0=10000; summin=sum0; floyd(a,13)

15、; printf("the distance matrix is:n"); for( i=1;i<13;i+)for( j=1;j<13;j+) printf("%4d",aij); printf("n");for(i=1;i<13;i+) for(j=1;j<13;j+) for(k=1;k<13;k+) if(i!=j&&j!=k&&k!=i) n+; for(m=1;m<13;m+) sumn=sumn+cm*min(aim,ajm,akm); if(sumn&

16、lt;summin) summin=sumn; p=i;q=j;r=k; printf("the shortest distance is:%dn",summin); printf("thepointchoosed is:%d %d %dn",p,q,r);C语言程序运行结果截图如下：附录二：Lingo程序和运行结果截图Lingo程序如下：model:sets:point/1.12/:p,x;way(point,point):d,c;endsetsdata:d=0 15 37 45 24 60 18 33 48 40 58 67 15 0 22 40 3

17、8 52 33 48 42 55 61 61 37 22 0 18 16 30 43 28 20 58 39 39 45 40 18 0 34 12 61 46 24 62 43 34 24 38 16 34 0 36 27 12 24 49 43 43 60 52 30 12 36 0 57 42 12 50 31 22 18 33 43 61 27 57 0 15 45 22 40 61 33 48 28 46 12 42 15 0 30 37 25 46 48 42 20 24 24 12 45 30 0 38 19 19 40 55 58 62 49 50 22 37 38 0 19 40 58 61 39 43 43 31 40 25 19 19 0 21 67 61 39 34 43 22 61 46 19 40 21 0;p=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;enddatamin=sum(way(i,j):d(i,j)*p(i)*c(i,j);for(point(i):sum(point(j):c(i,j)=1);sum(point:x)=3;for(way(i,j):c(i,j)<=x(j);for(way:bin(c);for(point:bin(x);endLingo运行结果截