旋转变换含解答

1、九年级数学竞赛专题 第七讲 旋转变换一、填空题1、如图1，ABC中，M为BC中点，D、E分别在AB、AC上，DMME，则BD+CE_DE（用“>”“<”“=”填空） (1) (2) (3)2如图2,点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=2，PC=4，则APC的大小是_度。3如图3，ABC中，A=90°，AB=AC，P、Q是BC上两点，且满足，则PAQ的度数是_。4等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是_。二、解答题1如图，已知RtABC中，BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PEAB交BA延长

2、线于E，PFAC交AC延长线于F，D为BC中点，连结DE，DF。求证：DE=DF.2如图，已知正方形ABCD对角线交于点O，点P、点Q分别是BC、CD上的点，DPAQ。求证：OQOP.3如图，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，DGH是等边三角形。求证：EG=FH.4如图，已知RtABC中，C=90°，D是AB上一点，作DEBC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：ABC的度数。5如图，已知ABC与CDE都是等边三角形，且满足EBD=40°，求：AEB的度数。6如图，已知O是等边ABC内一点，AOB=110

3、76;，BOC=120°，求：以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各内角度数。7如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AF平分DAE。求证：AE=DF+BE.8如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45°。求证：（1）EF=BE+DF； （2）.9如图，已知RtABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DMME，BD=3，CE=4。求：线段DE的长。10如图，已知等边ABC边长为1，D是ABC外一点且BDC=120°，BD=CD，MDN=60°。求证：AMN的周长等于2。答案一、1&

4、gt;；2120°；345°；425+12；略解：1 延长DM到F，使MF=DM，连结EF、CF（如图）易证BDMCFM（SAS）所以BD=CF易证DEMFEM（SAS）所以DE=FE在ECF中，EC+FC>EF所以BD+EC>DE2 将ABP绕A点逆时针旋转60°，使AB与AC重合，P落到P点（如图），则有A PCAPB所以A P=AP=2， PC=PB=2且PAC=PAB，所以PAP=BAC=60°所以AP P是等边三角形，所以PP=2，P+ PC=16=P C所以PPC=90°，所以PPC=60°所以APC=APP+

5、PPC=120°3在ABC外作DBA=C，且DB=QC，连结DP，DA（如图，即将AQC绕点A放心转90°）所以DBP=2C=90°所以DP=DB+BP=QC+BP=PQ所以DP=PQ易证ABDAC（SAS）所以DA=QA，1=2所以ADPAPQ（SSS）所以1+3=PAQ因为2+3+PAQ=90°所以1+3+PAQ=90°所以PAQ=45°4设PB=3，PA=4，PC=5，将PBC绕B点逆时针旋转60°至BDA（如图），则ADBCPB因为DBA=PBC，DB=PB=3，AD=CP=5所以DBP=ABC=60°所以

6、DBP是等边三角形所以A P+DP=4+3=25=AD所以APD=90°，所以APB=150°延长AP，作BEAP于E（如图）则BPE=30°，所以BE=BP=，所以PE=，所以AE=4+所以=25+12二、1略证：连结AD（如图）易证AEPF是矩形，所以AE=FP因为AB=AC，BAC=90°，D为BC中点，所以AD=BC，1=2=45°=3所以EAD=FCD=135°，CPF=45°=3，所以CF=PF=AE，所以ADECDF（SAS）所以DE=DF此题也可证BDEADF（BE=AF，B=FAD，BD=AD）2略证：易证

7、DAQ=CDP又因为AD=DC，ADC=DCB=90°所以ADQDCP（ASA）所DQ=CP由正方形怀质可知OD=OC，ODQ=OCP=45°所以DOQCOP（SAS）所以1=2所以2+3=1+3=90°所以OPOQ此题实际上将正方形绕O点顺时针旋转90°，旋转后Q点即落在P点处3略解：连结DE、DF（如图）因为D、E、F是各边中点，所以DE平行且等于AC，DF平行且等于BC因为AB=BC=CA所以A=B=C=60°所以DE=DF，EDF=DFA=C=60°因为等边DHG所以DG=DH，HDG=60°=EDF，所以EDF-F

8、DG=HDG-FDG，即1=2所以DEGDFH（SAS）所以FH=EG4略解：延长BC到F，使CF，连结（如图）所以BF=BC+CF=BC+DE=1因为BE=AC，DEB=ACF=90°，DE=CF，所以BDEAFC（SAS）所以AF=BD=，B=1所以AF=BF因为B+2=90°所以1+2=90°所以ABC=30°5略解：如图因为等边ABC和等边DCE所以ACB=DCE=ABC=ECD=60°AC=BC，EC=DC所以1=2，ACEBCD（SAS）所以AEC=BDC=60°+3所以AEB=360°-AEC-CED-BED

9、=360°-（60°+3）-60°-BED =360°-120°-（3+BED） =360°-120°-（180°-BED） =360°-120°-（180°-40°） =100°6略解：将AOB绕点A逆时针旋转60°至ADC的位置，连结OD（如图），则有AOBADC，所以AD=AO，CD=BO，ADC=AOB=110°易证AOD为等边三角形，所以OD=OA，所以OCD就是以OA、OB、OC为边组成的三角形因为AOB=110°，BOC=

10、120°，所以AOC=130°所以COD=AOC - AOD=70°，ODC=ADC-ADO=AOB-AOD=50°所以OCD=180°-COD-ODC=60°所以，以OA、OB、OC为边组成的三角形三内角度数分别为50°，60°，70°7略解：延长CB到G，使BG=DF，连结AG（如图）又因为AD=AB，D=ABG=90°所以ADFABG（SAS）所以5=G，1=3因为1=2，所以2=3所以2+4=3+4，即FAB=EAG因为CDAB，所以5=FAB=EAG所以EAG=G所以AE=EB+BG=

11、EB+DF8略解：延长CB到G，使GB=DF，连结AG（如图）又因为AB=AD，ABG=D=90°所以ABGADF（SAS）所以3=2，AG=AF因为BAD=90°，EAF=45°所以1+2=45°所以1+3=45°=EAF又因为AE=AE，所以AGEAFE（SAS）所以GB+BE=EF，所以DF+BE=EF因为AEFAGE所以所以又所以9略解：延长DM到F，使MF=DM，连结CF、EF（如图）又因为ME=ME，DME=FME=90°所以DMEFME所以DE=FE因为BM=CM，BMD=CMF，DM=FM所以BDMCFM所以B=1，BD=FC因为B+2=90°所以1+2=90°所以所以所以DE=10略解：延长AC到E，使CE=BM，连结DE（如图）因为BD=DC，BDC=120°所以CBD=BCD=30°因为ABC=ACB=60