第六章第1讲　数列的概念与简单表示法

1、抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第1讲数列的概念与简单表示法讲数列的概念与简单表示法抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)定义：如果数列定义：如果数列an的第的第n项项an与项数与项数n之间的函数关系之间的函数关系可以用可以用_来表示，那么这个公式就叫做数列的通来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为项公式，记为anf(n)(nN*)数列可以用通项公式来描数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示述，也可以通过列表或图象来表示(2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项数列的递推公式：如果已知数

2、列的第一项(或前几项或前几项)，且从第二项且从第二项(或某一项或某一项)开始的任一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几项或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法一种方法1数列的通项公式数列的通项公式一个公式一个公式抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2数列的分类数列的分类分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项数分类按项数分类有穷数列有穷数列项数项数_无穷数列无穷数列项数项数_按项与项间按

3、项与项间的大小关系的大小关系分类分类递增数列递增数列an1an其中其中nN递减数列递减数列an1an常数列常数列an1an按其他按其他标准分类标准分类有界数列有界数列存在正数存在正数M，使，使|an|M摆动数列摆动数列an的符号正负相间，如的符号正负相间，如1，1,1，1，有限有限无限无限抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3. 数列前数列前n项和项和Sn与通项与通项an的基本关系的基本关系抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个考情分析一个考情分析数列的通项公式及前数列的通项公式及前n项和是高考考查的重点及热点，常项和是高考考查的重

4、点及热点，常以填空的形式考查数列的通项公式而前以填空的形式考查数列的通项公式而前n项和项和Sn与通项与通项an相结合的题目，往往以解答题形式出现题型比较全相结合的题目，往往以解答题形式出现题型比较全面，难度以中档题为主，重点考查学生的运算能力及抽象面，难度以中档题为主，重点考查学生的运算能力及抽象概括能力概括能力由递推式求通项由递推式求通项an的三种方法的三种方法(1)an1anf(n)型，采用叠加法；型，采用叠加法；【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析1,3,7,15分别都加上一个分别都加上一个1，则为，则为2,4,8,16，通项公式

5、不难发现为通项公式不难发现为an2n1.答案答案an2n1考点自测考点自测1(教材改编题教材改编题)已知数列已知数列an的前的前4项为项为1,3,7,15，写出数列，写出数列an的一个通项公式为的一个通项公式为_抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考数列可以看成一个定义在数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3，n)上的函数；上的函数；数列的项数是有限的；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是唯一的数列的通项公式是唯一的其中说法正确的所有序号是其中说法

6、正确的所有序号是_解析解析由数列与函数的关系知对，对，由数列的分类由数列与函数的关系知对，对，由数列的分类知不对，数列的通项公式不是唯一的，不对知不对，数列的通项公式不是唯一的，不对答案答案2下列对数列的理解有四种：下列对数列的理解有四种：抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析法一解析法一由由a11，a25，an2an1an(nN*)可可得该数列为得该数列为1,5,4，1，5，4,1,5,4，.由此可得由此可得a1001.法二法二an2an1an，an3an2an1，两式相加可得，两式相加可得an3an，an6an，a100a1664a41.答案答案13在数列在

7、数列an中，中，a11，a25，an2an1an(nN*)， 则则a100_.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(2,3)抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析因为因为n与与n10的个位数字相同且周期为的个位数字相同且周期为10，又，又a10，a2422，a3936，a4642，a5550，a6660，a7972，a8484，a9198，a100，所以，所以a1a2a100，即，即a1a2a2 012a1a22.答案答案25(2012苏锡常镇四市调研苏锡常镇四市调研(一一)设设u(n)表示正整数表示正整数n的个位的个位

8、数，数，anu(n2)u(n)，则数列，则数列an的前的前2 012项和等于项和等于_抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一由数列的前几项求数列的通项由数列的前几项求数列的通项【例例1】 写出下面各数列的一个通项公式：写出下面各数列的一个通项公式：抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特

9、分式中分子、分母的特征；征；(2)相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征，把数列的拆项后的特征，把数列的项分成变化的部分和不变的部分；项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征，若关各项符号特征，若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来式，让规律凸现出来抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练1】 已知数列已知数列an的前四项分别为的前四项分别为1,0,1,0，给出下列，给出下列 各式：各式： 答案答案抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3

10、年高考年高考(1)求求a1，a2的值；的值；考向二考向二数列的单调性数列的单调性【例例2】 (2012四川卷四川卷)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a2an S2Sn对一切正整数对一切正整数n都成立都成立抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 (1)本题主要考查等比数列、等差数列、对数等本题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问基础知识，考查思维能力、运

11、算能力、分析问题与解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想思想(2)计算时一定要细心若计算时一定要细心若an计算错误，则计算错误，则bn就不能就不能判定为等差数列，从而无法求和判定为等差数列，从而无法求和抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；【训练训练2】 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n22n，数列，数列bn的的 前前n项和项和Tn2bn.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突

12、破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.审题视点审题视点当当n1时，由时，由a1S1，求，求a1；当当n2时，由时，由anSnSn1消去消去Sn，得，得an1与与an的关的关系转化成由递推关系求通项系转化成由递推关系求通项解解(1)a1S1231，当当n2时，时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于，由于a1也适合也适合此等式，此等式，an4n5.考向三由考向三由an与与Sn的关系求通项的关系求通项an【例例3】 已知下面数列已知下面数列an的前的前n项和项和 Sn，求，求an的通项公式：的通项公式：抓住抓住3个考点个考点突破

13、突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)a1S13b，当，当n2时，时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当当b1时，时，a1适合此等式适合此等式当当b1时，时，a1不适合此等式不适合此等式当当b1时，时，an23n1；抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练3】 (1)(2012南通一模南通一模)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且Sn2nan，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓

14、住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例4】 根据下列条件，确定数列根据下列条件，确定数列an的通项公式：的通项公式： (1)a11，an13an2；考向四考向四已知数列的递推公式求通项已知数列的递推公式求通项抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)a11，anan13n1(n2)；【训练训练4】 根据下列各个数列根据下列各个数列an的首项和基本关系的首项和基本关系 式，求其通项公式式，求其通项公式抓住

15、抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 从近几年高考可以看出，对求数列中的最大项是高考从近几年高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的重点解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的重点解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大列中的最大(小小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，项时，应注意数

16、列中的项可以是相同的，故不应漏掉项故不应漏掉项热点突破热点突破16 数列中最值问题的求解策略数列中最值问题的求解策略抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题与转化审题与转化 第一步第一步：先利用累加法求：先利用累加法求an的表达式的表达式反思与回顾反思与回顾 第四步第四步：数列中用基本不等式时，一定注意：数列中用基本不等式时，一定注意nN*，本题还可以用，本题还可以用“对号函数对号函数”性质或示例性质或示例1的方法求解的方法求解抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析由由an1|an|(n1,2，)得数列得数列an为递增数列，反为递增数列，反之不成立之不成立答案答案充分不必要充分不必要解析解析由由SnSmSnm，得，得S1S9S10；所