恒成立问题初探

1、恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 恒成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:，在实数范围既xR内恒成立. 能成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内存在值使之成立,使之成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使之不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+10在x-2上能成立.恰成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能成立.例如:，在x1时恰成立. 可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能

2、符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的所有值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1x0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，. 对称轴为.当时，则，；时，；当时，. 综上，.例3：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围.方法一：解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将原不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是.练习：1.当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（ ） （A）(1，) （B）(，1) （C）(0，)

3、（D）(，2)2.已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_.3（1）已知函数（为常数），若在区间上是增函数，则的取值范围是 .(2)若函数的单调递增区间是，则=_.3、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.或者方法二：时，恒成立，可化为时，恒成立.可分情况讨论但较为麻烦.则，则；时，方法三：分情况分离变量：，在恒成立； 或 ，在恒成立.即时，例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这

4、样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立

5、，则c的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。同步练习1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，。2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任

6、意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。3、 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立设则方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2si

7、n2x5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a24、 设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图

8、可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1。5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), 1,并且必须也只需故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1

9、l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）。7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可