数学建模输油管的铺设

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： C2904 所属学校（请填写完整的全名）： 泉州理工职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 乐美芳 2. 高陈冲 3. 沈标安 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘秀梅 日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管的布置摘 要论文对输油管建设的布置进行了研究,力求以最短距离敷设管线,使

3、管线建设费用最小.运用线性规划中常用的图解法与单纯形法来解决管线布置方案及相应费用的目标规划.用MATLAB计算出具体数值,从而确定出最优的方案.针对问题一所要求的设计方案，根据两点之间线段最短以及中垂线定理，借助图解法求出设计的方案.针对问题二所要设计的管线布置方案及相应的费用，借助图解法来求解出满足问题二条件的最优方案是车站必须建在两点之间使得相应的费用最省,具体位置在点右边4.902千米处.用解决问题二的方法来求解出问题三所要解答的问题是车站必须建在两点之间,具体位置在点右边7.0213千米处.通过对此问题的解决,用同样的方法来解决排水管的布置.天然气的运输有着现实可行的意义.可以把此问

4、题推广开来.【关键词】中垂线定理 图解法 优化设计 MATLAB 一 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案.在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区（图中的I区域）, 厂位于城区（图中的II区域）,两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表

5、示的距离（单位:千米）分别为, 8, , . 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示:工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用.3. 在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元,输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加

6、费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二 符号假设: 厂到车站的距离,单位:千米;: 厂到共用管线起点的距离,单位:千米;: 是 、两厂的中点;: 点到共用管线起点的距离,单位:千米;: 共用管线起点到车站的距离,单位:千米;: 车站与分界线的距离,单位:千米;: 每千米、两厂单独铺设输油管到车站的费用,单位:万元;: 每千米、两厂用共用管道铺设到车站的费用,单位:万元;: 、两厂之间距离的一半,单位:千米; : 、两厂共用管线的距离,单位:千米;: 、两产共用管线的总费用,单位:万元;: 输送厂成品油每千米的费用,单位:万元;: 输送厂成品油每千米的费用,单位:万元;: 输送、两厂共

7、用管线的费用,单位:万元;: 第个工程咨询公司评估出来每千米的费用,单位:万元, ;三 模型假设1.两炼油厂建在安全的距离范围之内,如果其中一个厂爆炸的话并不会影响到另一个厂.2. 、两炼油厂铺设管道之前所花的代价忽略不计.3.在建立模型时把炼油厂和车站都看作一个点4.铺设管道的过程中,铺设管道的方向不受任何因素的影响5.铺设管道的水平高度都一样三 问题的分析问题一: 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形再加上若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.根据两点之间线段最短的原理来分析出其中的一种情况是、两厂垂直于铁路,垂足为车站,这是一种最理想最优的方

8、案,然而现实生活中很难存在这样的情况.所以应该认为所有点都为动点,根据中垂线定理来解决出这个问题的一般情况.问题二:如果车站建立在点的右边,在城市建车站所需的附加费用比车站建在点与点的费用多.如果车站建在点的左边,增加两厂离车站的距离,会增大铺设管道的费用且比建在点与点的费用多,最合理的方式就是把车站建在之间.因为涉及到拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.为了在铺设管道后的几十年管道不出问题，应采取有优势的公司来对在铺设管线还需拆迁和工程补偿等的附加费用的估算,在这三家公司由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.再通过各种几何关系及

9、角度的大小,来得出各个量之间的关系.利用MATLAB来求出具体的数值,得出最优方案及相应的费用.问题三:同问题二的分析,在该实际问题中,为进一步节省费用,根据炼油厂不同的生产能力,就会有、两厂不同的运输费用. 最合理的方式就是把车站建在之间.因为涉及到拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.为了在铺设管道后的几十年管道不出问题，应采取有优势的公司来对铺设管线还需拆迁和工程补偿等的附加费用的估算,在这三家公司由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.再通过各种几何关系及角度的大小,来得出各个量之间的关系.利用MATLAB来求出具体的数值,得

10、出最优方案及相应的费用.五 模型的建立（一） 问题一:根据垂直平分线的定理,任取两点分别作为厂和厂.作、两点中点的垂直平分线交铁路于点, 点即为铁路线上的车站.如要用到共用管线,那么共用管线的起点必在这条垂直平分线上.但也同样存在、都垂直于铁路相交与点.1 方案一(如图一所示):图一1) 当共用管线费用相同，即时,两厂单独铺设输油管到车站的费用为: 其中：，表示每千米、两厂单独铺设输油管到车站的费用，表示每千米、两厂用共用管道铺设到车站的费用两厂用共用管道铺设到车站的费用为: 由得,因此采用铺设共用管道的方案所需的费用更省,所以选用铺设共用管道的方案.2) 当共用管道费用不相同，即时,两厂单独

11、铺设输油管到车站的费用为: 两厂用共用管道铺设到车站的费用为: 当0时,解得因此当时,采用有铺设共用管道的方案.反之采用单用铺设管道的方案.2 方案二(如图二所示):图二1）当共用管线费用相同,即时，两厂单独铺设输油管到车站的费用为: 两厂用共用管道铺设到车站的费用为: 其中：，表示每千米、两厂单独铺设输油管到车站的费用，表示每千米、两厂用共用管道铺设到车站的费用若,则两厂单独铺设输油管到车站的费用比较多,所以采用有铺设共用管道的方案所需的费用更省.若,则两厂用共用管道铺设到车站的费用比较多,所以采用单独铺设输油管的方案所需的费用更省2) 当共用管道费用不相同，即时,两厂单独铺设输油管到车站的

12、费用为: 两厂用共用管道铺设到车站的费用为: 若,则两厂单独铺设输油管到车站的费用比较多,所以采用有铺设共用管道的方案所需的费用更省.若,则两厂用共用管道铺设到车站的费用比较多,所以采用单独铺设输油管的方案所需的费用更省.（二）问题二:由第二个问题中所给的图形再根据根据两点之间线段最短的原理可得下图（根据两点之间线段最短的原理图中厂和厂的共用管线垂直于铁路线,垂足为车站的所在点）,如图三所示： 图三为了使附加费用最省,所以在城区的范围内作厂垂直于分界线的线段,垂足为.共用管道的长度不能高于厂到车站的距离.建立如下模型: 其中：表示、两产共用管线的总费用表示输送厂成品油每千米的费用;表示输送厂成

13、品油每千米的费用;表示输送、两厂共用管线的费用;第个工程咨询公司评估出来每千米的费用，；（三）问题三如图四所示:图四建立如下模型: 其中：表示、两产共用管线的总费用表示输送厂成品油每千米的费用;表示输送厂成品油每千米的费用;表示输送、两厂共用管线的费用;第个工程咨询公司评估出来每千米的费用，；六 模型的求解利用上面的分析,根据各个管道不同的费用来解决出具体的数值.由问题二的已知条件可以确定出x的取值范围在0到15之间,y的的取值范围在0到8之间.为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.1、对问题二进行求解用MATLAB进行

14、曲线拟合（见附录程序一）得如图五所示图五把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型:约束条件利用MATLAB软件进行编程（见附录程序四），求得，当=10.098(千米). =2.16989(千米)时,即把车站建在C点右边4.902千米处铺设管道的总费用最省,此时的总费用为281.3307(万元).2 对问题三进行求解用MATLAB进行曲线拟合（见附录程序三）得如图六所示图六把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型:约束条件为利用MATLAB软件进行编程（见附录程序四），求得当=7.9787(千米). =0.3303(千米), 即把车站建在C点右边7.0213千米处铺设管道总费用最省,此时总费

15、用为250.8742(万元).七. 模型的评价和推广模型很好的描述出了两炼油厂管线到车站的路径是变化的，在铺设的过程中可分为有共用管线与无共用管线，不同的铺设方案能够较为准确的预算出总费用,并且可以算出具体的费用.对铺设管线的不同方式有较好的指导作用.能尽可能的把铺设管线的费用降到最低.模型的不足之处在于很多现实生活中存在的客观因素并没有很全面的考虑在内。编程现实简单,可操作性强,易于推广.可以推广到污水排放,天然气的运输,电线铺设等情况.参考文献1 周勤学等.数学规划及其运用.广州:中山大学出版社,19902 姜启源.数学模型.第2版.北京:高等教育出版社,19933 徐永仁.运筹学试题精选

16、与答题技巧.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,20014 刘则毅主编.科学计算技术与MATLAB.北京:科学出版社,20015 附 录程序一%画图syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x.2+(8-y).2)+7.2*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序二%对函数求导syms x y ;W=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x2+(8-y)2)+7.2*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+y*7.2;B=diff(W,x)C=diff

17、(W,y)%求函数的极值点x,y=solve(36/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*x+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-30+2*x),.18/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*(-16+2*y)+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-10+2*y)+36/5,x,y);a=vpa(x,5)b=vpa(y,5)%求函数的最值W=inline(7.2*5+5*21+7.2*sqrt(x(1)2+(8-x(2)2)+7.2*sqrt(15-x(1)2+(5-x(2)2)+x(2)*7.2);x0=10.1,0;x,fval=fminsearch(z,x0)程序三%画图syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5.6*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+6*sqrt(x.2+(8-y).2)+135+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序四%对函数求导syms x y;W=5.6*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+6*sqrt(x2+(8-y)2)+135+y*7.2;B=diff(W,x)A=diff(W,y)%