整数分拆之最值与应用强化篇

1、整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘积最大”原则。2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a234的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：当多0时，将a拆成a234 (n-1) n；当多1时，将a拆成a345 (n-1) ( n-1)；当多2，3，n1中的数

2、时，就将该数从2，3，n1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？234567835比30大5，故将5去掉30被拆成234678【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘

3、积最大。【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有 种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？【巩固】把1993拆

4、分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？答案【例1】将15进行拆分，并计算乘积15114 11414 15213 2132615312 31236 15411 41144 15510 51050 1569 6954 1578 7856 15拆分成7和8的和，乘积最大，是56 【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时有110，29，38，47，56五种方法它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630 显然，把11拆分成56时有最大的积5630【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式若想乘积最大 1477，7

5、749 因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7749)最大【例2】由例1的说明对于两个数可知，假设nab (ab)且ab1时，乘积ab不是最大的。换句话说，若nab (ab)，当a、b两数相等或差为1时，乘积ab取最大值。那么对于三个数呢？假设nabc (abc)且ac1时，乘积abc不是最大的。若nabc (abc)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值。 因为14342，由分析可知：当ab5且c4时乘积abc554100为最大值【巩固】利用上面的结论可知，若nabc (abc)当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值由分析可知：当ab6且c7

6、时乘积abc667252为最大值【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1因为199982497，199982497由上述分析，拆法应是1个249，7个250其乘积2492507为最大【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大必须使这6个数中的任意两数相等或差数为1因为155362585由上述分析，拆法应是1个258，5个259其乘积2582595为最大【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大 【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米【例5】根据上面的讨论结果，我们应该把14拆分成四个3与一个2之和即1433332这五数的积有最大值33332162 【巩固】20016673 2001拆分成(667个3的和)时，其积最大199466432 1994拆分成(664个3的和) 2时，其积最大 199366431 1993拆分成时，其积最大【例6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能