无穷大量与无穷小量极限的运算法则

1、第五讲 授课题目：2.4无穷大量与无穷小量；2.5极限的运算法则。 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。 讲授内容：2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 ，当 时的变化趋势。当 时， 越来越大(任意大)，即：，要 ，也即：，当 时，有：。定义2.9：，变量在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，成立，则称变量是无穷大量，或称变量趋于无穷大，记：。如：，。注 1. 若：，则习惯地称此时的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆

2、； 3.无穷大与无界变量的区别；例如： 当时，无界，但非无穷大，时，为有限数。例1 函数 又当 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法若：当时，非无穷大，取，当充分大时必有，而 与(1)式矛盾。 时，非无穷大。4.无穷大运算的结论： (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量；(2)两个无穷大量之积是无穷大量；(3)有限个无穷大量之积是无穷大量。二、无穷小量：1.概念：定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。例如：，则称 时，变量 是无穷小量。注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。2.两个重要结论：结论1 定理2.9 ，。例如： ，而：，。结论2定理2.10 若：，且

3、：， 推论 若：为常数，。例如： ，。三、无穷大量与无穷小量的关系：定理2.11 若：， ；若：。例如：， 。注 无穷大、无穷小与极限过程有关。四、无穷小的阶(无穷小的比较)：1.概念：定义2.11 设是关于同一过程的无穷小，也是关于同一过程的极限，若：，则称是比较高阶的无穷小，记：；若：，则称是比低阶的无穷小；若：，则称是与同阶的无穷小；特别地：时，称与是等价的无穷小，记：。例如：， 时，与是同阶无穷小。注 1.同一过程的无穷小方能比较；2.存在，方能比较。2.重要结论：定理2.12 若：，且： ，则 =。常用的等价无穷小：时，。例2 设：时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则 解 ，

4、 ；又：， ，即：，故：。2.5 极限的运算法则定理2.13 若：，。推论1 ， 。推论2 ， 注 可推广到有限个。定理2.14 若：， 推论1 ， 推论2 ， 注 可推广到有限个。推论3 ， 推论4 ，为常数 推论5 ， ()，。定理2.15 若：，。例1 求：。解 注 若：是一多项式，则：。例2 求：若：是。解 注 若： 是多项式，则：=。例3 研究：解 ， 。例4 求：。解 例5 求：。() 解 例6 求：。解 例7 求：。解 例8 求：。解 例9 求：。解 注(是常数，且：，)。例10 已知：，研究：，。解 ， ；又：；。例11 求：解 。例12 求：解 =。 小结与提问:1. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容：两个定义，三个定理，一个推论；几点注意：五点注意。2.无穷小的阶意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢；应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙