第4章射影变换学习辅导(1)

1、第4章 射影变换学习辅导(1)学习方法引荐本章内容是在仿射变换的基础上，进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量交比.即从介绍交比概念，引入共线四点的交比和调和比，共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应，射影变换及其特殊情况对合，主要研究点列到点列的射影对应.在本章内容中，交比是重要的概念，它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应（变换）是平面射影几何的基础.作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性，这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性，它们在射影几何中也具有重要地位.学习本章时要抓住

2、以下几点：1.点列与线束的交比与调和比；2.完全四点形和完全四线形的调和性质；3.一维基本形的射影对应；4.一维基本形的对合.它们的基本内容包括如下：1.点列与线束的交比和调和比（1）点列的四点的交比.我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A，B，C，D共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB，CD）=1时，CD调和分割线段AB，由调和分割的关系是对等的，因此A，B，C，D称为调和点

3、列.（AB，CD）=（CD，AB）=1（2）交比的代数表示设点P1，P2，P的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），单比（P1P2P）=，则 （1）P的齐次坐标（，），当=1时，（1）式无意义.但当1时，可得到P1，P2所在直线上的无穷远点.所以（P1P2P）=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是（P1P2，P3P）=（P1P2P3）如果四点P1，P2，P3，P4中，P1或P2为无穷远点，则上式可作为交比的定义.设四个不同的共线点P1（A+1B），P2（A+2B），P3 (A+3B)，P4 (A+4B)，则其中i（i=1，2，3，4）彼此不相等.设四个不

4、同的共线点的三点及其交比k（k1，k0）为已知，则第四点必唯一确定.（3）线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.（AB，CD）=应该注意，四直线的交比值与直线的取法无关.如果线束S的四直线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）=（AB，CD）由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变，即交比为射影性质.2.完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的

5、作图方法.设S，S'是完全四点形ABCD的一对对边，它们的交点是对边点X，X与其它二对边点的连线是l，l'，图4-1.则必有（SS'，ll'）=1 X S l' D l S' M Q C Y L A B E图4-1设S，S'是完全四线形ABCD的一对对顶点，它们的连线是对顶线x，x与其它两对顶线交点T，T'，图4-2.则（SS'，TT'）=1. T S y A x D T' C A S' 图4-23.一维基本形的射影对应（1）透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，

6、则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的.显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.（2）射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质：是一一对应的AB则BA具有传递性，即若AB，BC，则AC两个点列间的一一对应是射影对应任何四点的交比与其对应四点的交比相等.已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应.两个点列间的射影对应是透视对应它们底的交点自对应.两个线束间的射影对应是透视对应它们顶点的连线自对应.4.一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况，在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以.射影

7、变换成为对合对应的充分必要条件.重点、难点解析1.交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A，B，C，D的交比定义为两个单比（ABC）和（ABD）的比，表为(AB,CD)=.交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A，B，C，D的坐标顺次为A，B，A+1B，A+

8、2B，则 (AB，CD)=以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB，CD)=，所用坐标的非齐坐标，AC，BD，BC，AD都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB，CD)=,用齐次坐标.例如，共线四点A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5，-5），求（AB，CD）时，可把A和B作为基础点对，则C=A + B，1=1，D= 2A-3B，2 =所求交比 = 注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以，定义(AB，CD)=，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB，CD)=的定义方法.关于交比的

9、定义，要注意以下问题： A，B，C，D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同； AC，BD，BC，AD都是有向线段的代数长，因而交比（AB，CD）是个数值.（2）交比的性质由于A，B，C，D四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知（AB，CD）=3，则可知（DC，BA）=（BA，DC）=（AB，CD）=3.而（AC，BD）=

10、1（AB，CD）= 2（3）几个特殊的交比共线四点A，B，C，D中，设A，B，C是固定点，第四点D沿直线移动.可以证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB，CD）的值.点D的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D'在两个不同的位置，且有（AB，CD）=（AB，CD'）则，因而（ABD）=（ABD'）这只有在D = D'时，等式才成立，因此，（AB，CD）的每个值，对应点D的一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是AB，AB，AB则由 （其中k为定值，且k0，1）可以求出，确定第四

11、点.因此第四点AB唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况D与C重合时，则有（AB，CD）= 1当D与B重合时，则有（AB，CD）=（AB，CB）= = 0当D与A重合时，（AB，CD）=（AB，CA）= D为无穷远点时，则有（AB，CD）=（AB，CD）=（ABC）可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB，CD）=1时，称为C，D调和分割A，B.或称点偶A，B与点偶C，D调和共轭.D叫做A，B，C的第四调和点.应当注意，在调和分割中，

12、两对点的关系是完全对等的.点列中四点A，B，C，D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比由定义知，四直线A，B，C，D的交比为=，注意这个定义中数目的排列.要注意定理4.7：如果线束S的四线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）=（AB，CD）的证明.在上述定理中，若点S，A，B，C，D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷远点或S为无穷远直线时（即A，B，C，D都是无穷远点），此定理仍成立

13、.即（AB，CD）的值与直线S的取法无关，所以仍可取（AB，CD）=（AB，CD）定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6）有关交比的作图问题 有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完成，需要用相应例题来理解. 第四调和点的作图l 用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.l 利用相似三角形作第四调和点.（7）

14、利用交比的调和共轭解初等几何问题 交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用，运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面： 角平分线的调和性. 利用交比证明有关圆的问题. 与图有关的调和共轭问题. 2.完全四点形和完全四线形的调和性 完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位. 值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比，所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全不用度量概念，而使用下

15、列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S上的点偶A，B与C，D，A，B是一个完全四点形的对边点，C，D是通过第三个对边点的两条对边与S的交点，则A，B与C，D成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义，这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和性.学习本单元内容时还应注意以下问题：（1）注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4，如图4-3.ABCD为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，如图4-4.完全四点形ABC

16、D有四个顶点A，B，C，D，有六条边（即任何两顶点的连线都是边），通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此有三对对边：AB与CD；AC与BD；AD与BC，对边交点叫对边点，共三个，即AB×CD=X，AC×BD=Y，AD×BC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ. B CD A Y C D X Z A B图4-3 图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.（2）利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道，一直线l上的点偶P1，P2，Q1，Q2成为调和共轭的充

17、要条件是：“P1和P2是一个完全四点形的对边点，Q1和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的交点”，根据这个道理，可以通过完全四点形的作图来作第四调和点.如图4-5，已知直线l上有三点P1，P2，P3，求作点P4，使（P1P2，P3P4）=-1.作法如下：过P1P2若任作一直线交于点A，在P2A上任取一点B，连BP3，过P1A于点C，再连P2C，P1B，交于点D.连AD与L交于P4，则P4为所求第四调和点. A C B D l P1 P4 P2 P3图4-5应当指出，以上作图是只用一根直尺完成的.而且过P1，P2的直线是任意作的，但P4点是唯一的，这由笛沙格定理保证.在图4-5中，根据定理，若

18、P4为P1P2中点，则P为l上无穷远点，于是利用直尺可以作出CB / P1P2，反之，如果知道 CB / P1P2，也可以用一根直尺求P1P2中点.（3）应用完全四点形的调和性解初等几何问题.利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点和共线问题.例如，三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.3.一维基本形的射影对应（1）什么叫一维基本形基本形，指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合，一维基本形指点列和线束.什么叫一维呢？关于维的概念，要注意几何学的维与空间的维是有区别的.几何学中的维数，指几何元素活动的自由度，也就是几何元素的坐标或参数必不可少的数目，这个数就是

19、几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标，但在点列中以A，B为基点的任一点坐标可以表为A，B的坐标的线性组合，即C = A + B，其中为参数，所以点列中的点可以用一个独立参数表示（对于线束也有类似结论）.也就是说，点列的每个点（或线束中的每一直线）都可以用一个独立参数表示，点列和线束就叫一维图形.点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数，是指把直线，平面或空间都看成四点构成，空间的维数是点活动的自由度，所以直线叫一维空间.平面叫二维空间，我们生活的空间叫三维空间.由于几何学研究的元素不限于点，所以几何学中的维与所处空间的维不同.比如，平面上的直线几何应该叫二维几何学，这是由于

20、把直线看作基本元素，平面上决定直线需要两个比值，即必不可少的参数为2.（2）一维基本形的透视对应与射影对应的关系在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言，本章所论的透视对应则对中心投影而言，透视对应包括点列和线束之间的透视对应；点列与点列之间的透视对应.在定义中可以将点列换成线束，或把线束换成点列.所以点列与线束的透视对应具有对称性.由透视对应的定义还可以看出，透视对应保持四元素的交比不变.但透视关系不满足传递性.需要注意，透视对应一定是射影对应，但射影不一定成透视对应，因此，透视对应与射影对应是特殊与一般的关系.射影对应必是一一对应，且具有传递性、对称性、反身性，即具有等价关系.透视对应

21、在什么条件下才成为射影对应呢？由定理知，两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应.两个点列成射影对应时，把它们的公共点看作是第一个点列的点时，它在第二个点列上的对应点，一般情况下不是它本身，只有当两个点列成透视对应时，其公共元素才自对应.应该注意，如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点，则该对应一定是仿射对应，要证明这个结论，只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变.所以，仿射对应可看作特殊的射影对应.4.一维基本形的对合（1）关于对合概念对合对应是重要的，特殊的射影变换.在两个重叠的射影对应的一维基本形中，第一个基本形的元素P对应

22、第二个基本形的元素P'，但如果把P'看作第一个基本形的元素，那么它在第二个基本形里不一定对应P.但如果这个对应为对合对应，则根据对合定义“在两个重叠而且射影对应的一维基本形里，如果对于任何元素，无论看作属于第一个基本形或第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合（对应）”.那么P'就一定对应P.若两个重叠一维基形成射影对应，可假设两个重叠点列成射影对应，在什么条件下才成为对合呢？实际上只要有一对对应元素符合对合条件，则这种射影变换一定是对合.（2）对合的代数表示和确定对合是特殊的射影变换，从对合的代数表示，也可以看出射影变换成为对合的条件，即在射

23、影变换式，中，若是对合，则有B = C，反之也成立.上式说明射影变换范围比对合大.我们知道，三对对应元素决定唯一一个射影变换，如果是对合，则只要有不重合的两对对应点便可决定唯一一个对合对应.判定一个射影变换是否为对合对应，也可用如下事实：对合对应存在两个二重元素，射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个二重元素调和共轭.例如，求由两个二重点1，2所确定的对合方程，可有两种解法.解法1 设对合方程为将1，2代入，得A+2B+D= 0 4A+4B+D= 0代入对合方程，得2'-3（+'）+ 4 = 0解法2 利用（12，x x'）= -1其中x，x'为一对对

24、合点的坐标则即2xx'3（x+x'）+ 4 = 0典型例题例1 填空题（1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 .（2）两点列间射影对应由 对对应点唯一确定.（3）共线四点的交比是 不变量.（4）两个点列经过中心投影， 不变.（5）不重合的 对应元素，可以确定唯一一个对合对应.解 （1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应.（2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.（3）共线四点的交比是射影不变量.（4）两个点列经过中心投影，交比不变.（5）不重合的两对对应元素，可以确定唯

25、一一个对合对应.例2 单选题（1）若（AB,CD）=r，则（DB，AC）=（ ）A. B. C. D.（2）设A，B，A +1B，A +2B是四条不同的有穷远共点直线l1，l2，l3，l4的齐次坐标，则（l1l2，l3l4）=（ ）A.1 B.2 C. D.12 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果（12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ）A.1 B.1 C.0 D.解 由交比的运算定理，（1）选D；（2）选C（3）选A例3 求证P1（3，1），P2（7，5）与P3（6，4），P4（9，7）成调和共轭.分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明解法1 (P1P2，

26、P3P4)=-1解法2 将P1，P2，P3，P4写成齐次坐标，则P1（3，1，1），P2（7，5，1），P3（6，4，1），P4（9，7，1）可以写作P3（24，16，4），P4（-18，-14，-2）于是 P3 =P1 +3P2 P4 =P1 -3P2(P1P2，P3P4)=-1例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭.证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.如图4-6所示，角的两边为A，B，其内外角平分线分别为l1，l2(AB，l1l2)= （ABl1）=1（ABl2）= -1 (AB，l1l2) = -1 S A B l2 l1 A B 图4-6证法2 用代数法设取原

27、点在三角形SAB内部，A×B分别在A，B直线上.设SA的法线方程为，设SB的法线方程为，为了求内角分线l1和外角分线l2方程，利用角平分线的几何特性，设P（x，y）为角平分线l1上的任一点，则它们到A，B的距离相离，即=或或取l1为即，即 l2为即，即( AB，l1l2)=证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l1 / l2求截角的两边A，B分别交A，B于A，B，交l1于T1，交l2于T，则由l1和l2互相垂直，可知ST1l1，又l1为角平分线，由初等几何定理，可知SAB为等腰三角形，且有AT1=T1B，即T1为AB中点，根据定理知 (AB，T1T)=-1 (AB，l1l2 )=-1

28、 S A T1 B l A l1 B图4-7例5 若A，B，C，D为共线四点，且（AB，CD）=-1，CD中点为O，求证OC2=OA·OB证明 (AB，CD)= 即AC·BD+BC·AD= 0把AC，BD，BC，AD都以0为原点表示，则有（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）= 0整理得 2（OA·OB+OC·OD）=(OA+OB)(OC+OD)而 OD=-OC 2(OA·OB-OC2)=(OA+OB)(OD-OC)=0即 OC2=OA·OB例6 设三直线 求证以p1= 0，p2= 0，p3= 0为三边的

29、三角形的重心由方程给出. A l3 p1 p2 E q3 q1 B O p3 C图4-8分析 如图4-8，ABC三边AB，AC，BC的方程分别为p1= 0，p2= 0，p3= 0.设BC边上中线AO的方程q3=0.过A点作BC的平行线l3，则l3的斜率为.由于l3过p1和p2的交点A，所以l3可由p1和p2线性表示，即l3的方程为l3的斜率为 l3的方程为由于l3与BC平行，所以l3与BC交于无穷远点L，又D为BC中点，（BC，DL）= -1两条直线截同一线束，所得对应四点的交比不变，可得（p1p2，q3l3）=-1 q3的方程为同理q1的方程为则q1与q3的交点为例7 已知A，B，C三直线交

30、于点P，试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.作法：如图4-9. A，B，C三直线交于点P，任作不通过P点的直线l，l与直线A，B，C分别交于A，B，C三点，在PA上任取一点M，连BM交PC于N.连AN交PB于K，连MK交l于P，则有（AB，CD）=-1.连PD，即为所求第四调和线D，即（AB，CD）= -1 P M B C D A N K l A C B D如图4-9例8 已知三点形ABC及平面上一点P（P不在ABC的任一边上）.AP，BP，CP与对边交于A'，B'，C'，且BC与B'C'交于A1，CA与C'A'交于B1，AB与A&#

31、39;B'交于C1. 如图4-10.求证：（1）（BC，AA'）= -1，（CA，B1B'）= -1（2）A1，B1，C1三点共线.证明（1）由完全四点形C'AB'P的调和性，可知（BC，A1A'）= -1又（B，C，A1，A'）（A，C，B'，B1）（CA，B1B'）=（AC，B'B1）=（BC，A1A'）= -1（2）由三点形ABC和A'B'C'的对应点连线共点P，由笛沙格定理可知，对应边交点A1，B1，C1共线. C B1 P A C B' A' B A1 C&

32、#39;图4-10例9 巴卜斯命题：设A1，B1，C1与A2，B2，C2为同一平面内两直线上的两组共线点，B1C2与B2C1交于L，C1A2与C2A1交于M，A1B2与A2B1交于N.如图4-11.求证L，M，N共线.证明 A1 B1 N D C1 M E L A2 B2 C2 O图4-11（B1，D，N，A2）（O，C2，B2，A2） （B1，C2，L，E）（B1，D，N，A2）（B1，C2，L，E）由于两点列底的交点B1自对应，有（B1，D，N，A2）（B1，C2，L，E）因此DC2，NL，A2E三直线共点M.即L，M，N共线. 例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点，那么这个三角形是

33、等腰三角形.证明 如图4-12，由于M为AB中点，CN为外角平分线，则有（AB，CN）= -1（ABM）= -1，（ABN）= 1即 而 从而，AC=BC. C N A M B N图4-12自测练习1.填空题（1）两点列间的射影对应是透视对应的充分必要条件是 .（2）共线四点的调和比为 .（3）四个共线点A，B，C，D，如果（AB，CD）=r，则（DA，BC）= .（4）一维基本形的射影变换的不变元素的个数 .（5）射影变换有 对对应元素满足对合对应的要求，则一定是对合.2.单选题（1）A，B，C，D为共线四点，且（CD，BA）= k，则（BD，AC）=（ ）.A. B.C. D.k（2）（

34、）对不同的对应元素，确定唯一一个射影对应.A.1 B.2C.3 D.4（3）两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比（ ）.A.相等 B.不等C.1 D.-1（4）线束S的四直线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，若（AB，CD）=k，则（AB，CD）=（ ）A. B.1-kC. D.k3.A，B，C，D为共线四点，如图4-13所示，相邻两点距离相等，计算这四点形成的各交比值. A B C D · · · ·图4-134.设A，B，C，D，E为直线上五点，求证：（AB，CD）·(AB，DE)·(AB，EC) = 15.已知点A=（1，1，1），B=（1，-1，1），C=（1，O，1）且（AB，CD）= 2，求C点坐标.6.若直线l1，l2，l3，l4的方程为（1），（2），求（l1l2，l3l4）.7.设P1，P2分别是坐标轴上的无穷远点，P3是斜率为1的直线上的无穷远点，又（P1P2，P3P4）= m，求P4的坐