学业分层测评 第2章 2.1　柯西不等式

1、.学业分层测评建议用时：45分钟学业达标一、选择题1.假设a2b21，x2y22，那么axby的最大值为A.1B.2C.D.4【解析】axby2a2b2x2y22，axby.【答案】C2.假设实数a，b，c均大于0，且abc3，那么的最小值为A.3B.1C.D.【解析】abc1·a1·b1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得1·a1·b1·c2121212a2b2c2，a2b2c23.当且仅当abc1时等号成立，的最小值为.【答案】D3.xy1，且x>0，y>0，那么2x23y2的最小值是 【导学号：38000033】

2、A. B.C.D.【解析】2x23y22x23y2·xy2，当且仅当x·y·，即x，y时等号成立，2x23y2的最小值为.【答案】B4.假设aaa1，bbb4，那么a1b1a2b2anbn的最大值为A.1B.1C.2D.2【解析】aaabbb，a1b1a2b2anbn2，a1b1a2b2anbn24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值为2.【答案】C5.a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，那么t的取值范围为A.0,1B.1,1C.0，1D.1,1【解析】设a，b，c，x，y，z.|1，|1，由|·|，得|t|1

3、.t的取值范围是1,1.【答案】D二、填空题6.a，b，cR，a2b3c6，那么a24b29c2的最小值为_.【解析】a2b3c6，1×a1×2b1×3c6，a24b29c2121212a2b3c2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号.【答案】127.假设a1,0，2，bx，y，z，假设x2y2z216，那么a·b的最大值为_.【解析】由题知，a·bx2z，由柯西不等式知120222x2y2z2x02z2，当且仅当向量a与b共线时“成立，5×16x2z2，4x2z4，即4a·b4.故a·b的

4、最大值为4.【答案】48.ab1，那么a2b2_.【解析】由柯西不等式得ab2a21a21b2b21，当且仅当时，上式取等号，ab·，a2b21a21b2，于是a2b21.【答案】1三、解答题9.为锐角，a，b均为正数.求证：ab2.【证明】设m，ncos ，sin ，那么|ab|m·n|m|n| ·，ab2.10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】如下图，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l2x21·x1×.由柯西不等式得l2x2212122·2R4R.当且仅当，即xR时等号成立.此时，宽R，即A

5、BCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.才能提升1.函数y的最小值是A.B.2C.112D.1【解析】y.根据柯西不等式，得y2x1223x252x1223x252x13xx13x2252112，当且仅当，即x时等号成立.此时，ymin1.【答案】D2.a，b，c均大于0，A，B，那么A，B的大小关系是A.ABB.ABC.ABD.AB【解析】121212·a2b2c2abc2，当且仅当abc时，等号成立.又a，b，c均大于0，abc0，.【答案】B3.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，那么_. 【导学号：38000034】【解析】由柯西不等式知：25×36a2b2c2·x2y2z2axbycz230225×36，当且仅当k时取“.由k2x2y2z2225×36，解得k，所以k.【答案】4.a1，a2，an都是正数，且a1a2an1.求证：.【证明】根据柯西不等式得左边a1a2a2a3a3a