工程数学线性代数课后答案解析同济第五版

1、 86 / 86第五章 相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1); 解 根据施密特正交化方法,. (2). 解 根据施密特正交化方法,. 2.下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2). 解 该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3. 设x为n维列向量,xTx=1, 令H=E-2某T, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为HT=(E-2某T)T=E-2(某T)T=E-2(某T)T=E-2(xT)TxT=E-2某T,所以H是对称矩阵. 因为HTH=HH=(E-2某T)(E-2某T)=E-2某T-2某T+(2

2、某T)(2某T)=E-4某T+4x(xTx)xT=E-4某T+4某T=E,所以H是正交矩阵. 4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵. 证明 因为A,B是n阶正交阵,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵. 5.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 ,故A的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解 ,故A的特征值为l1=0,l2=-1,l3=9. 对于特征值l1=0, 由,得方程Ax=0

3、的基础解系p1=(-1,-1,1)T, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量.对于特征值l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量. 对于特征值l3=9, 由,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量.(3). 解 ,故A的特征值为l1=l2=-1,l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 0, 0,-1)T,p2=(0, 1,-1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l

4、2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由,得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T,p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明 因为|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同.7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设R(A)=r,R(B)=t, 则r+t<n.若a1,a2,&#

5、215;××,an-r是齐次方程组Ax=0的基础解系, 显然它们是A的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 类似地, 设b1,b2,×××,bn-t是齐次方程组Bx=0的基础解系, 则它们是B的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1,a2,×××,an-r,b1,b2,×××,bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1,k2,×××,kn-r,l1,l2,××&

6、#215;,ln-t, 使k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r+l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0.记g=k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r),则k1,k2,×××,kn-r不全为0, 否则l1,l2,×××,ln-t不全为0, 而l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0,与b1,b2,×

7、××,bn-t线性无关相矛盾. 因此,g¹0,g是A的也是B的关于l=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2. 证明 设l是A的任意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量, 则(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因为x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明l=-1是A的特征值. 证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1.因为|A

8、|等于所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 设l¹0是m阶矩阵Am´nBn´m的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值. 证明 设x是AB的对应于l¹0的特征向量, 则有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值, 故|A3-5A

9、2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以A可逆, 故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1,j(2)=5,j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(-3)=-1´

10、5´(-5)=25. 13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相似. 证明 取P=A, 则P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB与BA相似. 14. 设矩阵可相似对角化, 求x.解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可相似对角化,所以对于l2=l3=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解,因此R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求. 15.已知p=(1, 1,-1)T是矩阵的一个特征向量. (1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;解设l是特征向量p所对应的特征值,则 (A-lE)p=0,即,解之得l=-1

11、,a=-3,b=0. (2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解由,得A的特征值为l1=l2=l3=1. 由知R(A-E)=2, 所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化.16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵: (1); 解 将所给矩阵记为A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵A的特征值为l1=-2,l2=1,l3=4.对于l1=-2,解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1,2,2)T, 单位化得. 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得特征向量(2,1,-2)T, 单位化得. 对于l3=4, 解方程(A

12、-4E)x=0, 即,得特征向量(2,-2,1)T, 单位化得. 于是有正交阵P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(-2,1,4). (2). 解 将所给矩阵记为A. 由=-(l-1)2(l-10),得矩阵A的特征值为l1=l2=1,l3=10.对于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得线性无关特征向量(-2,1,0)T和(2,0,1)T, 将它们正交化、单位化得,. 对于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即,得特征向量(-1,-2,2)T, 单位化得. 于是有正交阵P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(1,1,10). 17. 设矩阵与相似,

13、 求x,y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=L.解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5,l=-4,l=y是L的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为l=-4是A的特征值, 所以,解之得x=4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为,所以-20y=-100,y=5. 对于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1,0,-1)T,(1,-2, 0)T. 将它们正交化、单位化得,. 对于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2,1,2)T, 单位化得. 于是有正交矩阵, 使P-1AP=L.18.设3阶方阵A的特征值为l1=2,l2=-2,l3=1;对应的特征

14、向量依次为p1=(0,1,1)T, p2=(1,1,1)T, p3=(1,1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1,p2,p3),则P-1AP=diag(2,-2,1)=L,A=PLP-1. 因为,所以 .19. 设3阶对称阵A的特征值为l1=1,l2=-1,l3=0; 对应l1、l2的特征向量依次为p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T,求A. 解 设, 则Ap1=2p1,Ap2=-2p2, 即,-.-再由特征值的性质, 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0.-由解得,.令x6=0, 得,x2=0,.因此 .20.设3阶对称矩阵A的特征值l1=6,l2=3,l3=3, 与特征值

15、l1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A. 解 设. 因为l1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T, 所以有,即-.l2=l3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用可推出.因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1,x1=x4=x6=4.因此 .21. 设a=(a1,a2,× × ×,an)T,a1¹0,A=aaT. (1)证明l=0是A的n-1重特征值; 证明 设l是A的任意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量, 则有Ax=lx,l2x

16、=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax,于是可得l2=laTa, 从而l=0或l=aTa. 设l1,l2,×××,ln是A的所有特征值, 因为A=aaT的主对角线性上的元素为a12,a22,×××,an2,所以a12+a22+×××+an2=aTa=l1+l2+×××+ln,这说明在l1,l2,×××,ln中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即l=0是A的n-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.

17、解 设l1=aTa,l2=×××=ln=0.因为Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是对应于l1=aTa的特征向量. 对于l2=×××=ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a¹0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+×××+anxn=0, 其线性无关解为p2=(-a2,a1, 0,× × ×, 0)T,p3=(-a3,0,a1,× × ×, 0)T,×××,pn=(-a

18、n, 0,0,× × ×,a1)T.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为.22. 设, 求A100.解 由,得A的特征值为l1=1,l2=5,l3=-5.对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1,0,0)T.对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2,1,2)T.对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3), 则P-1AP=diag(1,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因为L100=diag(1,5100,5100),所以. 23

19、. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1). (1)求关系式中的矩阵A; 解 由题意知xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn,yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩阵表示为,因此 .(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得A的特征值为l1=1,l2=r, 其中r=1-p-q.对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q,p)T.对于l1=

20、r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1,1)T.令, 则P-1AP=diag(1,r)=L,A=PLP-1,An=PLnP-1.于是 ,. 24.(1)设,求j(A)=A10-5A9;解由,得A的特征值为l1=1,l2=5.对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量.对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量. 于是有正交矩阵, 使得P-1AP=diag(1,5)=L,从而A=PLP-1,Ak=PLkP-1. 因此j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1=Pdiag(1,510)-5diag(1,59)P-1=Pdiag(-4,0)

21、P-1.(2)设,求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩阵为,使得P-1AP=diag(-1, 1,5)=L,A=PLP-1. 于是j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P-1=PL8(L-E)(L-5E)P-1=Pdiag(1,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P-1=Pdiag(12,0,0)P-1. 25.用矩阵记号表示下列二次型: (1)f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;解. (2)f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz;解 . (3)f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+

22、6x2x3-4x2x4. 解 .26. 写出下列二次型的矩阵:(1);解 二次型的矩阵为.(2).解 二次型的矩阵为.27.求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1)f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩阵为. 由,得A的特征值为l1=2,l2=5,l3=1.当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1,0,0)T. 取p1=(1,0,0)T.当l2=5时,解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0,1,1)T.取.当l3=1时,解方程(A-E)x=0,由,得特征向量(0,-1,1)T.取.于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3)和正交变换x=Ty

23、, 使f=2y12+5y22+y32.(2)f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩阵为. 由,得A的特征值为l1=-1,l2=3,l3=l4=1.当l1=-1时,可得单位特征向量.当l2=3时,可得单位特征向量.当l3=l4=1时,可得线性无关的单位特征向量,. 于是有正交矩阵T=( p1,p2,p3,p4)和正交变换x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准方程.解 二次型的矩阵为.由, 得A的特征值为l1=2,l2=11,

24、l3=0,.对于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4,-1, 1)T, 单位化得.对于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2,-2)T, 单位化得.对于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得.于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2,11,0), 从而有正交变换,使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1. 29.明:二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.证明A为实对称矩阵,则有一正交矩阵T,使得TAT-1=diag(l1,l2,××

25、15;,ln)=L成立, 其中l1,l2,×××,ln为A的特征值,不妨设l1最大.作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+×××+lnyn2. 因为y=Tx正交变换, 所以当|x|=1时, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+×××+yn2=1.因此f=l1y12+l2y22+×××+lnyn2£l1,又当y1=1,y2=y3=×××=yn=0时f=l1, 所以f max=l1.30. 用配方法化下列二次形成规形, 并写出所用变换的矩阵.(1) f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x