数学2.3数学归纳法新人教A版选修2-2

1、.12.3 2.3 数学归纳法数学归纳法.2问题提出问题提出 1. 1.归纳推理的基本特征是什么？归纳推理的基本特征是什么？由个别事实概括出一般结论由个别事实概括出一般结论. . 2. 2.综合法，分析法和反证法的基本思综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？想分别是什么？综合法：综合法：由已知推可知，逐步推出未知由已知推可知，逐步推出未知. . 分析法：分析法：由未知探需知，逐步推向已知由未知探需知，逐步推向已知. . 反证法：反证法：假设结论不成立，推出矛盾得假设结论不成立，推出矛盾得 证明证明. . .3 3. 3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得

2、出的结论不一定正确，即使正确也但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性需要经过严格的证明才能肯定其真实性. . 综合法，分析法和反证法虽可证明某些综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的法，使之成为无与伦比的“黄金搭档黄金搭档”. .4.5探究（一）：探究（一）：数学归纳法的感性认识数学归纳法的感性认识 思考思考1 1：某人想排队进展览馆参观，不知某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；自己能

3、否进得去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去只要你前一个人能进去，你就能进去. .那那么此人能进去参观吗？若每个排队的人么此人能进去参观吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？都能进去参观，需要什么条件？（1 1）第一个人进去；）第一个人进去； （2 2）若前一个人进去，则后一个人也能）若前一个人进去，则后一个人也能 进去进去. . .6思考思考2 2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？米诺骨牌游戏的原理是什么？（1 1）推倒第一块骨牌；）推倒第一块骨牌；

4、 （2 2）前一块骨牌倒下时）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌能碰倒后一块骨牌. .多米诺骨牌.flv世界上最牛的多米诺骨牌.flv多米诺骨牌 台球傻眼 .mp4本田多米诺经典广告.mp4.7思考思考3 3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？么？ （1 1）始祖姓王；）始祖姓王； （2 2）子随父姓）子随父姓. . （第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓代姓T T，则第，则第k+1k+1代也姓代也姓T T）.8思考思考4 4：已知数列已知数列aan n 满足满足: : （nnN*

5、），那么该数列），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？需增加什么条件？ 11nnnaaa+=+由第由第k k项可推出第项可推出第k k1 1项项. . 给出第给出第1 1项；项；（1 1）（2 2）.9探究（二）：探究（二）：数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理 111kak+=+思考思考1 1：已知数列已知数列aan n 满足满足（nnN*），假设当），假设当n nk k时，时， ，则当则当n nk k1 1时，时，a ak k1 1等于什么？等于什么？若假设若假

6、设 ，则，则a ak k1 1等于什么？等于什么？11nnnaaa+=+1kak=221kak=-1221kak+=+.10思考思考2 2：若给出若给出a a1 11 1，则数列，则数列aan n 的通的通项公式是什么？若给出项公式是什么？若给出a a1 12 2，则数列，则数列aan n 的通项公式是什么？如何理解你的的通项公式是什么？如何理解你的结论？结论？ 1nan=221nan=-思考思考3 3：已知数列已知数列 an n 满足满足a1 11 1，an+1n+12 2an n3 3，利用上述思想如何证明数列，利用上述思想如何证明数列 an n 的通项公式是的通项公式是an n2 2n+

7、1n+1-3-3？.11思考思考4 4：利用上述思想如何证明：对任利用上述思想如何证明：对任意意nnN*都有等式都有等式2 24 46 62n2nn(nn(n1)1)成立？成立？ 思考思考5 5：上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整一般地，用数学归纳法证明一个与正整数数n n有关的命题，其证明步骤如何？有关的命题，其证明步骤如何？（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0NN*) )时时命题成立；命题成立；（2 2）假设当）假设当n nk(knk(kn0 0，kNkN*) )时命题时命题成立，证明当成立，证明

8、当n nk k1 1时命题也成立时命题也成立. . .12思考思考6 6：数学归纳法由两个步骤组成，其数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是中第一步是归纳奠基归纳奠基，第二步是，第二步是归纳递归纳递推推，完成这两个步骤的证明，实质上解，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？决了什么问题？逐一验证命题对从逐一验证命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .13理论迁移理论迁移 例例1.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 222(1)(21)126n nnn+=L(nN(nN*). ). .14 例例2.2.已知数列：已知数列：试猜想其前试猜想其前n n

9、项和项和S Sn n的表达式，并数学归的表达式，并数学归纳法证明纳法证明. .1111,14 47 710(32)(31)nn创+LL31nnSn=+.15小结作业小结作业 1. 1.数学归纳法的实质是建立一个无穷数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从递推机制，从而间接地验证了命题对从n0n0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立，它能证明都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明有些命题用数学归纳法也难以证明. .16 2. 2.归纳推理能发现结论，数学归纳归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用有强大的功能作用. .但在数学归纳法的实但在数学归纳法的实施过程中，还