高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法（学生版）

1、.数学归纳法_1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想本质及在归纳推理中发现详细问题的递推关系.1、 数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用处，因此成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考察，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜测证明的思维形式，就显得特别重要。    一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展：    1归纳奠基证明当n取第一个值n = n 0时

2、命题成立；    2归纳递推假设n=k时命题成立，证明当时命题也成立。    只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开场的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。    数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的根底保证，即通过验证落实传递的起点，这个根底必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真

3、伪，而是证明命题是否具有传递性，假如没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明132333n3= n2n12题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明n1，且题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除题型五 归纳、猜测、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。一、选择题1用数学归纳法证明1<nnN*，n>

4、1时，第一步应验证不等式A1<2B12C13 D132用数学归纳法证明1aa2an1nN*，a1，在验证n1时，左边所得的项为A1B1aa2C1a D1aa2a33设fnnN*，那么fn1fn等于A.B.C.D.4某个命题与自然数n有关，假设nkkN*时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立如今当n5时，该命题不成立，那么可推得A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除，在第二步的证明时，正确的证法是A假设nkkN*，证明nk1时命题也成立B假设nkk是正奇数，证明nk1时命题也成

5、立C假设nkk是正奇数，证明nk2时命题也成立D假设n2k1kN，证明nk1时命题也成立6凸n边形有fn条对角线，那么凸n1边形对角线的条数fn1为Afnn1 BfnnCfnn1Dfnn27用数学归纳法证明“对一切nN*，都有2n>n22这一命题，证明过程中应验证An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立8fn2n7·3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除fn，那么最大的m的值为A30B26C36D69数列an的前n项和Snn2ann2，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜测anA.B.C.D.10对于不等式n1nN，某学

6、生的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立2假设nkkN时，不等式成立，即<k1，那么nk1时，<k11，当nk1时，不等式成立，上述证法A过程全都正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确二、填空题11用数学归纳法证明“2n1n2n2nN*时，第一步的验证为_12数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.13对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，那么最小的自然数a_.14用数学归纳法证明命题：1×42×73×10n3n1nn12.1当n0_时，左边_，右边_；当nk时，等式左边共有_项，第k1项是_2假设n

7、k时命题成立，即_成立3当nk1时，命题的形式是_；此时，左边增加的项为_三、解答题15求证：122232422n122n2n2n1nN*16求证：>n217在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域18 试比较2n2与n2的大小nN*，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜测的结论解答此题的关键是先利用特殊值猜测_根底稳固一、选择题1用数学归纳法证明1<nnN*，n>1时，第一步应验证不等式A1<2B12C13

8、D132 用数学归纳法证明1aa2an1nN*，a1，在验证n1时，左边所得的项为A1 B1aa2C1a D1aa2a33设fnnN*，那么fn1fn等于A BC D4某个命题与自然数n有关，假设nkkN*时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立如今当n5时，该命题不成立，那么可推得A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除，在第二步的证明时，正确的证法是A假设nkkN*时命题成立，证明nk1时命题也成立B假设nkk是正奇数时命题成立，证明nk1时命题也成立C假设nkk是正奇数时命题成立

9、，证明nk2时命题也成立D假设n2k1kN时命题成立，证明nk1时命题也成立6凸n边形有fn条对角线，那么凸n1边形对角线的条数fn1为Afnn1 BfnnCfnn1 Dfnn2二、填空题7 用数学归纳法证明n1n2nn2n·1·32n1nN*时，从“nk到nk1左边需增乘的代数式为A2k1 B22k1C D8数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.9用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_三、解答题10 数列an满足Sn2nannN*1计算a1、a2、a3，并猜测an的通项公式；2用数学归纳法证明1中的猜测才能提升一、选择题11用数学归纳法证明123n2，那么当nk1时左端应在nk的根底上加上Ak21Bk12CDk21k22k23k1212设凸k边形的内角和为fk，那么凸k1边形的内角和fk1fk_.A2 BC D13 用数学归纳法证明“n3n13n23nN*能被9整除，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开Ak33 Bk23Ck13 Dk13k2314 观察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么归纳猜测a7b7A26 B27C28 D29二、填空题15用数学归纳法证明“