高中数学选修2-2教学案1.3：导数在研究函数中的应用（教师版）

1、.导数在研究函数中的应用_ 一、函数的单调性与导数：1 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=fx的切线的斜率就是函数y=fx的导数从函数的图像可以看到：y=fx=x24x+3切线的斜率fx2，+增函数正0，2减函数负0在区间2，内，切线的斜率为正，函数y=fx的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=fx 在区间2，内为增函数；在区间，2内，切线的斜率为负，函数y=fx的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=fx 在区间，2内为减函数定义：一般地，设函数y=fx 在某个区间内有导数，假如在这个区间内>0，那么函数y=fx 在为这个区间内的增函数；假如在这个区间内

2、<0，那么函数y=fx 在为这个区间内的减函数2利用导数确定函数的单调性的步骤：1 确定函数fx的定义域；2 求出函数的导数；3 解不等式f ?x0，得函数的单调递增区间；解不等式f ?x0，得函数的单调递减区间 类型一：函数的单调性与导数：例1确定函数fx=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：fx=x22x+4=2x2令2x20，解得x1当x1，+时，fx0，fx是增函数令2x20，解得x1当x，1时，fx0，fx是减函数 例2确定函数fx=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：fx=2x36x2+7=6x212x令6x212x0，解得x2或

3、x0当x，0时，fx0，fx是增函数当x2，+时，fx0，fx是增函数令6x212x0，解得0x2当x0，2时，fx0，fx是减函数 例3证明函数fx=在0，+上是减函数证法一：用以前学的方法证证法二：用导数方法证fx= =1·x2=，x0，x20，0 fx0，fx= 在0，+上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些假如是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例4求函数y=x21x3的单调区间解：y=x21x3=2x1x3+x2·31x2·1=x1x221x3x=x1x2·25x令x1x225x0，解得

4、0x y=x21x3的单调增区间是0，令x1x225x0，解得x0或x且x1为拐点，y=x21x3的单调减区间是，0，+例5当x0时，证明不等式：1+2xe2x分析：假设令fx=e2x12xf0=e010=0, 假如可以证明fx在0，+上是增函数，那么fx0，那么不等式就可以证明。证明：令fx=e2x12x fx=2e2x2=2e2x1x0，e2xe0=1，2e2x10, 即fx0fx=e2x12x在0，+上是增函数。f0=e010=0当x0时，fxf0=0，即e2x12x01+2xe2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进展证明，把特殊点找出来使函数的值为0。例6函数y=x+

5、，试讨论出此函数的单调区间。解：y=x+=11·x2=令0 解得x1或x1y=x+的单调增区间是，1和1，+令0，解得1x0或0x1y=x+的单调减区间是1，0和0，1四、课堂练习1确定以下函数的单调区间1y=x39x2+24x 2y=xx31解：y=x39x2+24x=3x218x+24=3x2x4令3x2x40，解得x4或x2y=x39x2+24x的单调增区间是4，+和，2令3x2x40，解得2x4y=x39x2+24x的单调减区间是2，42解：y=xx3=13x2=3x2=3x+x令3x+x0，解得xy=xx3的单调增区间是，令3x+x0，解得x或xy=xx3的单调减区间是，和

6、，+2讨论二次函数y=ax2+bx+ca0的单调区间解：y=ax2+bx+c=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+ca0的单调增区间是，+令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+ca0的单调减区间是，3求以下函数的单调区间1y= 2y= 3y=+x1解：y=当x0时，0，y0y=的单调减区间是，0与0，+2解：y=当x±3时，0，y0y=的单调减区间是，3，3，3与3，+3解：y=+x当x0时+10，y0 y=+x的单调增区间是0，+1.函数fx=在区间-2，+上为增函数，那么实数a的取值范围为A.0<a<B.a<-1或a>C.a>D.

7、a>-2答案：C解析：fx=a+在-2,+递增，1-2a<0,即a>.2函数fxx22xalnx，假设函数fx在0,1上单调，那么实数a的取值范围是Aa0Ba<4Ca0或a4Da>0或a<4答案：C解析：fx2x2，fx在0,1上单调， fx0或fx0在0,1上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在0,1上恒成立， 所以a2x22x或a2x22x在0,1上恒成立记gx2x22x,0<x<1，可知4<gx<0， a0或a4，应选C.3函数fxx的单调区间为_答案：3,0，0,3解析：fx1，令fx<0，解得3<x<

8、0或0<x<3，故单调减区间为3,0和0,34.函数的单调增区间为_，单调减区间为_答案：；解析：5确定以下函数的单调区间:1y=x39x2+24x 2y=3xx3答案1解：y=x39x2+24x=3x218x+24=3x2x4令3x2x40，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是4，+和，2令3x2x40，解得2x4y=x39x2+24x的单调减区间是2，42解：y=3xx3=33x2=3x21=3x+1x1令3x+1x10，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是1，1.令3x+1x10，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是，1和1，+6函数ylnx2x2的单

9、调递减区间为_答案，1解析函数ylnx2x2的定义域为2，1，令fxx2x2，fx2x1<0，得x<，函数ylnx2x2的单调减区间为，17yx3bx2b2x3在R上不是单调增函数，那么b的范围为_答案b<1或b>2解析假设yx22bxb20恒成立，那么4b24b20，1b2，由题意b1或b2.8.xR,求证：exx+1证明:设fx=exx1,那么fx=ex1当x=0时，fx=0,fx=0当x0时，fx0,fx在0,+上是增函数fxf0=0当x0时，fx0,fx在,0上是减函数，fxf0=09函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=x+=11·x2=令

10、0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间;是，1和1，+.令0，解得1x0或0x1. y=x+的单调减区间是1，0和0，110函数的图象过点P0，2，且在点M1，f1处的切线方程为求函数y=fx的解析式；求函数y=fx的单调区间答案解：由fx的图象经过P0，2，知d=2，所以 由在M-1,f-1处的切线方程是， 知故所求的解析式是 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数点拨：此题考察函数的单调性、导数的应用等知识，考察运用数学知识分析问题和解决问题的才能11.函数fx=x3-x2+bx+c.1假设fx在-，+上是增函数，求b的取值范围;答案解:1=3x2-x+b,因fx在-，+上

11、是增函数，那么0.即3x2-x+b0,bx-3x2在-，+恒成立.设gx=x-3x2.当x=时，gxmax=,b.12.函数fx=xx-1x-a在2，+上是增函数，试确定实数a的取值范围.答案解:fx=xx-1x-a=x3-a+1x2+ax=3x2-2a+1x+a要使函数fx=xx-1x-a在2,+上是增函数，只需=3x2-2a+1x+a在2，+上满足0即可.=3x2-2a+1x+a的对称轴是x=,a的取值应满足：或解得:a.a的取值范围是a.13函数 在区间上是增函数，务实数的取值范围答案解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为点拨：函数的单调性求参

12、数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“假设函数单调递增，那么；假设函数单调递减，那么来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否那么漏解14.函数的图象过点P0，2，且在点M1，处的切线方程，1求函数的解析式；2求函数的单调区间。答案解：1由的图象经过P0，2，知，所以， 由在点M处的切线方程为 即 解得故所求的解析式是2 令，解得当或时，当时，故在内是增函数，在内是减函数在内是增函数点拨：此题考察函数的单调性、导数的应用等知识，考察运用数学知识分析问题和解决问题的才能15函数fx，求导函数f x，并确定fx的单调区间解析：f x令f x0，得xb1且x1.当b11，即b2

13、时，f x的变化情况如下表：x，b1b1b1,11，f x0当b11，即b2时，f x的变化情况如下表：x，11，b1b1b1，f x0所以，当b2时，函数fx在，b1上单调递减，在b1,1上单调递增，在1，上单调递减当b2时，函数fx在，1上单调递减，在1，b1上单调递增，在b1，上单调递减当b11，即b2时，fx，所以函数fx在，1上单调递减，在1，上单调递减_根底稳固一、选择题1函数yx42x25的单调递减区间为A，1和0,1B1,0和1，C1,1D，1和1，答案A解析y4x34x，令y<0，即4x34x<0，解得x<1或0<x<1，所以函数的单调减区间为，

14、1和0,1，故应选A.2函数fxax3x在R上为减函数，那么Aa0 Ba<1Ca<2 Da答案A解析f x3ax210恒成立，a0.3对任意实数x，有fxfx，gxgx，且x>0时，fx>0，gx>0，那么x<0时Afx>0，gx>0 Bfx>0，gx<0Cfx<0，gx>0 Dfx<0，gx<0答案B解析fx为奇函数，gx为偶函数，奇偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性一样反，x<0时，f x>0，gx<0.4设p：fxx32x2mx1在，内单调递增，q：m>，那么p是q的A充分不必

15、要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f x3x24xm，fx在R上单调递增，f x0在R上恒成立，1612m0，m，故p是q的必要不充分条件5设f x是函数fx的导函数，yf x的图象如下图，那么yfx的图象最有可能的是答案C分析由导函数fx的图象位于x轴上方下方，确定fx的单调性，比照fx的图象，用排除法求解解析由f x的图象知，x，0时，f x>0，fx为增函数，x0,2时，fx<0，fx为减函数，x2，时，f x>0，fx为增函数只有C符合题意，应选C.6设函数Fx是定义在R上的函数，其中fx的导函数fx满足f x<fx对于xR

16、恒成立，那么Af2>e2f0，f2019>e2019f0Bf2<e2f0，f2019>e2019f0Cf2<e2f0，f2019<e2019f0Df2>e2f0，f2019<e2019f0答案C解析函数Fx的导数Fx<0，函数Fx是定义在R上的减函数，F2<F0，即<，故有f2<e2f0同理可得f2019<e2019f0应选C.二、填空题7函数ylnx2x2的单调递减区间为_答案，1解析函数ylnx2x2的定义域为2，1，令fxx2x2，f x2x1<0，得x<，函数ylnx2x2的单调减区间为，18函数

17、fxx3ax23x在区间1，上是增函数，那么实数a的取值范围是_答案，0解析fxx3ax23x，f x3x22ax3，又因为fxx3ax23x在区间1，上是增函数，f x3x22ax30在区间1，上恒成立，解得a0，故答案为，09假设fxx2blnx2在1，上是减函数，那么b的取值范围是_答案b1解析fx在1，上为减函数，f x0在1，上恒成立，f xx，x0，bxx2在1，上恒成立，b1.三、解答题10函数fxx3ax2bxa、bR的图象过点P1,2，且在点P处的切线斜率为8.1求a、b的值；2求函数fx的单调区间解析1函数fx的图象过点P1,2，f12.ab1.又函数图象在点P处的切线斜率

18、为8，f 18，又f x3x22axb，2ab5.解由组成的方程组，可得a4，b3.2由1得f x3x28x3，令f x>0，可得x<3或x>；令f x<0，可得3<x<.函数fx的单调增区间为，3，单调减区间为3，一、选择题11函数fx2xx32在区间0,1内的零点个数是A0B1C2D3答案B解析本小题考察函数的零点与用导数判断函数的单调性，考察分析问题、解决问题的才能fx2xx32,0<x<1，f x2xln23x2>0在0,1上恒成立，fx在0,1上单调递增又f020021<0，f12121>0，f0f1<0，那么f

19、x在0,1内至少有一个零点，又函数yfx在0,1上单调递增，那么函数fx在0,1内有且仅有一个零点12函数fx及其导数f x，假设存在x0，使得fx0f x0，那么称x0是fx的一个“巧值点，以下函数中，有“巧值点的函数的个数是fxx2，fxex，fxlnx，fxtanx，fxxA2B3C4D5答案B解析中的函数fxx2，f x2x，要使fxf x，那么x22x，解得x0或2，可见函数有巧值点；对于中的函数，要使fxf x，那么exex，由对任意的x，有ex>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使fxf x，那么lnx，由函数fxlnx与y的图象有交点知方程有解，所以原函

20、数有巧值点；对于中的函数，要使fxf x，那么tanx，即sinxcosx1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于中的函数，要使fxf x，那么x1，即x3x2x10，设函数gxx3x2x1，gx3x22x1>0且g1<0，g0>0，显然函数gx在1,0上有零点，原函数有巧值点，故正确，选C.13函数fx是定义在R上的可导函数，其导函数记为fx，假设对于任意实数x，有fx>fx，且yfx1为奇函数，那么不等式fx<ex的解集为A，0B0，C，e4De4，答案B解析令gx，那么gx<0，所以gx在R上是减函数，又yfx1为奇函数，所以f010，所以f01，g01，所以原不等式可化为gx<1g0，所以x>0，应选B.14函数yxfx的图象如图1所示其中f x是函数fx的导函数，下面四个图象中，yfx的图象大致是答案C解析当0<x<1时xf x<0，f x<0，故yfx在0,1上为减函数当x>1时xfx>0，fx>0，故