数值计算 1-2课程介绍+绪论

1、 信息与计算科学系信息与计算科学系 随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段。学手段。 数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、工程技术人员必须掌握的知识和工具。而工程技术人员必须掌握的知识和工具。而计算方计算方法法是数学与计算机技术相结合的一门学科。是数学与计算机技术相结合的一门学科。学习必要性 1956年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学研究组。伴随着我国独立研制成功

2、的研究组。伴随着我国独立研制成功的103计算机、计算机、104计算机、计算机、119计算机、计算机、109乙机和乙机和109丙机相继投入运行，丙机相继投入运行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强烈需及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强烈需求，这支队伍发展壮大极为迅速，求，这支队伍发展壮大极为迅速， 高级研究人员中有高级研究人员中有冯康、徐钟济教授。冯康、徐钟济教授。“文革文革”十年，仍在周总理的支十年，仍在周总理的支持下，不断发展。持下，不断发展。 二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数学与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆学

3、与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆盖了计算数学的所有分支。盖了计算数学的所有分支。 计算数学在中国的发展 面向结构工程和固体力学计算的边值问题数值方法；面向结构工程和固体力学计算的边值问题数值方法； 面向流体力学计算的初值与初边值问题数值方法面向流体力学计算的初值与初边值问题数值方法 ； 面向复杂系统控制的常微分方程数值解法；面向复杂系统控制的常微分方程数值解法； 面向交通运输等的最优化计算，面向交通运输等的最优化计算， 面向经济、人口和社会面向经济、人口和社会 发展的概率统计计算发展的概率统计计算 ； 面向计算机图形与显示技术的计算几何学等。面向计算机图形与显示技术的计算几何学等。

4、数值逼近，有限元法，边界元法，并行计算，多重网格数值逼近，有限元法，边界元法，并行计算，多重网格计算，最优化计算方法，计算几何等。计算，最优化计算方法，计算几何等。研究内容与方向雅可比雅可比笛卡儿笛卡儿冯冯 康康欧拉欧拉 03 世纪世纪泰勒泰勒 拉格朗日拉格朗日柯西柯西牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹 伯努利伯努利高斯高斯狄利克雷狄利克雷维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯 刘徽刘徽16 世纪世纪17 世纪世纪18 世纪世纪19 世纪世纪20 世纪世纪华罗庚华罗庚数学家数学家刘徽刘徽( (约约225 295225 295年年) )刘徽是我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽是我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的他撰写

5、的重重 差差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面的评中的方法和公式作了全面的评 注注, 指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献 .他的他的 “ 割圆术割圆术 ” 求圆周率求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要极限思想极限思想 . 的方法的方法 :高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和

6、物理学家德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献性的贡献, 他还十分重视数学的应用他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎他在学术上十分谨慎, 原则原则: 代数、非欧几何、代数、非欧几何、 微分几何、微分几何、 超几何超几何 在

7、对天文学、大在对天文学、大恪守这样的恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 华罗庚华罗庚(1910 1985)我国在国际上享有盛誉的数学家我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论他在解析数论,自守函数论自守函数论,高维数值积分高维数值积分等广泛的数学领域中等广泛的数学领域中,程程,都作出了卓越的贡献都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近发表专著与学术论文近 300 篇篇.偏微分方偏微分方多复变函数论多复变函数论,矩阵几何学矩阵几何学, 典型群典型群,他对青年学生的成长非常关心他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是他提出治学之道是 “ 宽

8、宽, 专专, 漫漫 ”, 即基础要宽即基础要宽, 专业要专专业要专, 要使自己的专业要使自己的专业知识漫到其它领域知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给年来中国矿业大学视察时给给师生题词给师生题词: “ 学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创 ”. 冯冯 康康 国际上享有盛名的计算数学家国际上享有盛名的计算数学家. 1944年毕业于中央大学电机工程系。年毕业于中央大学电机工程系。曾任中科院计算中心主任、名誉主任。曾任中科院计算中心主任、名誉主任。还担任国内和国际上许多大学，研究所还担任国内和国际上许多大学，研究所的兼职教授、名誉教授等职。的兼职教授、名誉教授等职。1980年

9、当年当选为中科院院士。选为中科院院士。 冯康冯康先生在上世纪五六十年代中国与世界数学界先生在上世纪五六十年代中国与世界数学界隔绝的情况下，独立创造了求解微分方程的隔绝的情况下，独立创造了求解微分方程的有限元有限元方法方法，并先于西方建立了严密的理论体系，是国际，并先于西方建立了严密的理论体系，是国际公认的当代计算数学的一项重大成就公认的当代计算数学的一项重大成就 。并于上世纪。并于上世纪八九十年代开创了八九十年代开创了辛几何算法辛几何算法。计算方法教学大纲 课程编号：课程编号： 学时：学时：40/60 学分：学分：3课程性质：课程性质：必修必修适用专业：适用专业：数学类专业数学类专业 课程别名

10、：课程别名：数值分析数值分析计算方法性质、任务性质性质“计算方法计算方法”研究用计算机解决数学问题的数值方法及研究用计算机解决数学问题的数值方法及理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。 任务任务熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析；熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析； 提高算法设计和理论分析能力；提高算法设计和理论分析能力； 对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果。对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果。计算方法课时安排授课内容授课内容讲课讲课习题习题试验试验课外课外一般概念一般概念4026Mathematic

11、a/Matlab0024插值与拟合插值与拟合100412数值微分与数值积分数值微分与数值积分40410线性方程组直接与迭代解线性方程组直接与迭代解6028非线性方程的解法非线性方程的解法6026常微分方程数值解法常微分方程数值解法2226合计合计3421854计算方法考核方式期末考试期末考试 70上机试验上机试验 10平时成绩平时成绩 20计算方法参考教材使用教材使用教材实用数值分析教程实用数值分析教程冶金工业出版社出版冶金工业出版社出版 刘春凤、何亚丽主编刘春凤、何亚丽主编 参考教材参考教材应用数值分析应用数值分析 冶金工业出版社出版冶金工业出版社出版 刘春凤、米翠兰主编刘春凤、米翠兰主编

12、数值分析数值分析清华大学出版社出版清华大学出版社出版 李庆杨主编李庆杨主编计算方法计算方法课的要求课的要求1. 按时上课，不迟到；按时上课，不迟到；2. 每次都认真完成并按时上交作业；每次都认真完成并按时上交作业；3. 每个同学尽量做好笔记；每个同学尽量做好笔记；4. 有问题及时提问，做到听得懂、会做题。有问题及时提问，做到听得懂、会做题。办公室：科技搂办公室：科技搂804。学习计算方法的要求学习计算方法的要求计算方法计算方法课作业要求课作业要求 每章上交一次作业，下章第一次课上交；每章上交一次作业，下章第一次课上交； 要求必须在课前提交，课代表记录情况。要求必须在课前提交，课代表记录情况。

13、实验作业要求以电子文档形式上交。实验作业要求以电子文档形式上交。2. 通过邮箱将常见错误和标准答案下发，通过邮箱将常见错误和标准答案下发， 要求必须定期去查看相关作业。要求必须定期去查看相关作业。3. 邮箱：邮箱： 密密 码：码：jisuan学习计算方法的作业要求学习计算方法的作业要求第一章第一章 绪论绪论绪 论 数值分析的研究对象数值分析的研究对象 误差的来源与分类误差的来源与分类相对、绝对误差，有效数字相对、绝对误差，有效数字误差的传播误差的传播避免误差的准则避免误差的准则研究求数学问题近似解的方法和过程研究求数学问题近似解的方法和过程实际问题数学模型数值计算方法的理论程序设计上机计算求出

14、结果一 数值分析的研究对象计算数学计算数学应用数学应用数学研究例子研究例子: :求解线性方程组求解线性方程组 604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx 78. 020. 025. 033. 01 . 125. 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321xxxxxxxxx如把方程组的系数舍如把方程组的系数舍入成两位有效数字入成两位有效数字它的解为它的解为x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.其准确解为：其准确解为：x1=x2=x3=1一 数值分析的研究对象数值分析基本内容Mathematica程

15、序初步程序初步插值与拟合插值与拟合数值微分与数值积分数值微分与数值积分线性方程组的直接解法与迭代解线性方程组的直接解法与迭代解非线性方程的解法非线性方程的解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法二、数值分析的主要内容二、数值分析的主要内容矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算时间复杂性好时间复杂性好_指节省时间；指节省时间；空间复杂性好空间复杂性好_指节省存储空间。指节省存储空间。想想的精确度的精确度; ;收敛且稳定收敛且稳定; ;误差可以分析或估计误差可以分析或估计. .数值分析的主要特点三、数值分析的主要特点三、数值分析的主要特点为数学问题提供计算机上切实可行的算法为数学问题提供计算机上切实可行

16、的算法. .所提出的算法必须具有：可靠的理论分析所提出的算法必须具有：可靠的理论分析; ;理理 计算复杂性好计算复杂性好 通过数值实验证明算法行之有效通过数值实验证明算法行之有效. .数学分析数学分析( (高等数学高等数学) )高等代数高等代数( (线性代数线性代数) )微分方程微分方程数学软件数学软件学习数值分析的准备知识四、学习数值分析的准备知识四、学习数值分析的准备知识误误 差差 的的 来来 源源第第 1 1 节节误差的来源误差的分类(1)模型误差模型误差_数学模型与实际问题之间出现的误差数学模型与实际问题之间出现的误差.(2)观测误差观测误差_由观测、观察产生的误差由观测、观察产生的误

17、差.(3)截断误差截断误差_由简化问题（计算公式）所引起的解由简化问题（计算公式）所引起的解的的误差误差( (也称方法误差也称方法误差).). )(110907256423020126211111098765432xoxxxxxxxxxxx )1ln()1()(xxxf 将函数将函数 展成的幂级数展成的幂级数.再如：函数再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替用泰勒多项式近似代替nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 3.149323846(4) 舍入误差舍入误差_数字计算过程中产生的误差数字计算过程中产生的误差则数值方法的截断误差是则数值方法的截断误差是之间

18、与在xxnfxPxfxRnnnn0)!1()()()()(1)1(误差的分类 误差与有效数字误差与有效数字第第2节节)(_*绝绝对对误误差差限限误误差差限限 xxe精确值精确值_x)(_*绝绝对对误误差差误误差差xxe *xxorxxx,_. 1*近似值近似值定义定义x误差的一般描述一、误差的一般描述一、误差的一般描述 另外，另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超经过四舍五入得到的数，其误差必定不超如：用毫米刻度的米尺测量一长度如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为，读出的数为5 .1235 .1225 . 0* xxx22105 . 00016. 014. 3105 . 014.

19、 3: 因因为为，则则误误差差限限为为的的近近似似值值为为取取如如123mm，它是，它是x的近似值，它的误差限是的近似值，它的误差限是0.5mm,即即过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个单位为其误差限。半个单位为其误差限。误差的一般描述)(_*理理论论式式的的相相对对误误差差xxxxxeer 绝对误差限和相对误差限均无穷多绝对误差限和相对误差限均无穷多, ,自然越小越好自然越小越好. .误差估计的任务就是提供好的误差限误差估计的任务就是提供好的误差限, ,对于任何一个近对于任何一个近似值似值, ,如果得到一个好的误差限如果得到一个好的

20、误差限, ,那么就可以肯定这些数那么就可以肯定这些数据是准确可靠的据是准确可靠的! !)(_*应应用用式式的的相相对对误误差差xxxxxeer 的相对误差限的相对误差限*_ xxxxxeerr 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异. .误差的一般描述如果如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数称近似数x准确到准确到用四舍五入得到的数都是有效数字用四舍五入得到的数都是有效数字; ;定义定义: :小数点后第小数点后第k位位, 从这小数点后第从这小数点后第k位数字直到最位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字左边

21、非零数字之间的所有数字都称为有效数字. .有效数字越多有效数字越多,误差越小误差越小,计算结果越精确计算结果越精确.有效数字二、有效数字二、有效数字 x3=1.7320是其近似值是其近似值,问它们分别有几位有效数字问它们分别有几位有效数字?到到小小数数点点后后两两位位。有有三三位位有有效效数数字字，准准确确故故1221105010205080002050807313xxx,.|.|* .,105 . 010.508. 0.0000508. 0|7320. 13|3343*有有四四位位有有效效数数字字故故xxx .,105 . 010.491. 0.0000491. 0|7321. 13|244

22、2*有有五五位位有有效效数数字字故故xxx 7320508. 13* x设设例例 1.1x1=1.73, x2=1.7321,有效数字解解 按定义，上述各数具有按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数位有效数字的近似数分别是：分别是： 187.93，0.037856，8.0000，2.7183。注意：注意： 8.000033 的的5位有效数字近似数是位有效数字近似数是8.0000而不是而不是8，因为，因为8只有只有1位有效数字位有效数字. 按四舍五入原则写出下列各数具有按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效位有效数字的近似数：数字的近似数： 187.9325，0.03785551，8.0000

23、33，2.7182818.例例1.2有效数字?722,141. 3,142. 3:321数数字字近近似似值值各各具具有有几几位位有有效效的的分分别别作作为为问问 xxx解解:.41位位有有效效数数字字具具有有x.32位位有有效效数数字字具具有有x0005. 01021.00004. 031 x 005. 01021.59000. 022 x 005. 01021.26001. 023 x .33位位有有效效数数字字具具有有x 3.149323846例例 1.3有效数字注注意意(1)有效数字的位数与小数点的位置无关有效数字的位数与小数点的位置无关;(2)有效数位越多有效数位越多,相对误差越小相对

24、误差越小.有效数字第 3 节数值计算中的误差传播)( )( *xfyxfy 设设dyyxfxfyyye )()()(*)(ln)()(*ydydyyyeyer 例例1.5.ln,21的的相相对对误误差差求求xyxyn )()(ln)(ln)(1xnexndxdyernr xxexxdxdyerrln)(ln)(ln)ln(ln)(2 基本运算中的误差估计 一、基本运算中的误差估计一、基本运算中的误差估计多元函数有类似的结果多元函数有类似的结果 nkkkknnnxxxxxfxxfxxf1*11*1)(),(),(),( nkkkxexfydye1*)()()(故故绝绝对对误误差差为为 nkkrn

25、kknknkkrxexxfxxfxxfxexffdyyeye1111)(),(),()()(ln)()(*相对误差为相对误差为基本运算中的误差估计:*2*1*2*1）则则（及及）（，其其绝绝对对误误差差限限分分别别为为与与若若两两个个近近似似数数xxxx ）（）（）（）（）（*1221122121xxxxxexxexxxe ./*）（）（）（）（0222122121 xxxexxexxxe）（）（）（）（）（*212121xxxexexxe ）（）（）（）（）（*/122221221221211xxxxxxxexxexxxe 基本运算中的误差估计:,*2*1*2*1则则）（）及及（为为，其其相

26、相对对误误差差限限分分别别与与若若两两个个近近似似数数xxxxrr *2*1*2*2*1*1*2*1)()(xxxxxxxxrrr ）（)(),(max:*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr ）（同号时同号时与与特别地特别地）（）（）（*2*1*2*1xxxxrrr ）（）（）（*/2121xxxxrrr 基本运算中的误差估计数值计算中应注意的问题第 4 节 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值;2。避免两个相近的数相减。避免两个相近的数相减;3. 要防止大数要防止大数“吃掉吃掉”小数小数;2。应选用数值稳定的计算方法。应选用数值稳定的计算方法;

27、2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。避免误差危害的若干原则 避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则解：解：ndxxdxxxxIInnnn可得算法：可得算法： )20, 2 , 1(511823. 05ln6ln10nInIInn建立积分建立积分20, 1 , 0510 ndxxxInn的递推关系式，并研究它的误差传递。的递推关系式，并研究它的误差传递。例例1.6一、使用数值稳定的计算公式一、使用数值稳定的计算公式避免误差危害的若干原则这个算法不具有稳定性，因为这个算法不具有稳定性，因为1823. 00 I的舍入误差传播

28、到的舍入误差传播到 时，该误差放大时，该误差放大5倍，传到倍，传到1I20I时，该误差将是时，该误差将是 倍，当倍，当n较大时，误差将较大时，误差将205淹没真值，这种递推公式不宜采用。淹没真值，这种递推公式不宜采用。5561 , 0nnnxxxxx 时时，所以有估计式所以有估计式)1(51)1(61 nInn避免误差危害的若干原则于是于是2151216120 I粗略地取粗略地取0087301587. 021051126120 I可得另一算法：可得另一算法： )1 ,19,20)(1(510087301587. 0120nInIInn这个算法是稳定的，因为由这个算法是稳定的，因为由 引起的误差

29、在引起的误差在以后的计算过程中将逐渐减小。以后的计算过程中将逐渐减小。20I避免误差危害的若干原则二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）避免误差危害的若干原则很接近时，应用很接近时，应用和和如果如果21xx.lglglg2121xxxx 应应用用很很大大时时当当,x,111 xxxx一一般般情情况况，时时当当)()(*xfxf 可可用用泰泰勒勒展展开开 )(2)( )( )()(*xxxfxxxfxfxf取右端的有限项近似代替左端。取右端的有限项近似代替左端。 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时

30、算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉吃掉从从而引起计算结果不可靠而引起计算结果不可靠.三、防止大数吃小数三、防止大数吃小数避免误差危害的若干原则在在4位有效数字的限制下，计算：位有效数字的限制下，计算： 100012000kkA 1000214010,.,. ii其中其中解解10002110001.20002000 kkA从左到右从左到右,逐项相加逐项相加.2000200010001 kkA 如果先计算如果先计算 10001kk , 再加再加240010004 . 0200010001 . 020002100 A绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精

31、确度绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度.大大数数吃吃小小数数例例例例1.10避免误差危害的若干原则 分母接近零的数会产生溢出错误分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的因而产生大的误差误差, 此时可以用数学公式化简后再做此时可以用数学公式化简后再做.很很多多。时时，舍舍入入误误差差可可能能增增大大当当对对于于xyyx ,/四、防止接近零的数做除数四、防止接近零的数做除数避免误差危害的若干原则 线性方程组线性方程组 22100001.02121xxxx，的的准准确确解解为为11000000.500003199999x 999995. 01999991999982 x失真的原因：失

32、真的原因： 除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。 .2000. 0101000. 0102000. 010,1000. 0101000. 0101000. 010121112114xxxx如果把方程改写成：如果把方程改写成：,.).(减减第第二二方方程程）后后除除第第一一个个方方程程再再乘乘（若若用用200001010000104 )(1, 021严重失真！严重失真！得到：得到： xx例例1.11避免误差危害的若干原则五、注意简化计算步骤，减少运算次数五、注意简化计算步骤，减少运算次数避免误差危害的若干原则 求一个问题的数值解往往有多种算法，不同的求一个问题

33、的数值解往往有多种算法，不同的算法需要不同的计算量，而计算量的大小会影响误算法需要不同的计算量，而计算量的大小会影响误差的积累。差的积累。 .,的的原原则则这这是是数数值值计计算算必必须须遵遵从从舍舍入入误误差差还还能能减减少少算算时时间间不不但但可可节节省省计计算算机机的的计计如如果果能能减减少少运运算算次次数数同同样样一一个个计计算算问问题题若直接计算，再逐项相加共需要做若直接计算，再逐项相加共需要做4+3+2+1=10次次乘法和乘法和4次加法次加法.分析分析若用著名的秦九韶算法：若用著名的秦九韶算法：5)4)3)2()(4 xxxxxP只要做只要做4次乘法和次乘法和4次加法。次加法。54

34、323)(2344xxxxxP例例1.12求下列多项式在求下列多项式在 的值的值2 x避免误差危害的若干原则2)1(12)1( nnnn0111axaxaxaxPnnnnn )(,的的值值,再再逐逐项项相相加加若若直直接接计计算算kkxa一共需做一共需做次乘法和次乘法和 n 次加法。次加法。计算多项式计算多项式推而广之推而广之避免误差危害的若干原则若用秦九韶算法：若用秦九韶算法：只要做只要做n次乘法和次乘法和n次加法。次加法。利用等价变换使下列表达式计算比较精确利用等价变换使下列表达式计算比较精确.; 111211)1( xxxx; 111)2( xxxxx例例1.13避免误差危害的若干原则)

35、1)(21(211211)1(2xxxxxx xxxxxxxxx11211)2( ; 11)3(12 xxxtdt; 1)1ln()4(2 xxxxxtdtxxarctan)1arctan(1)3(12 xxxxxxxx)1(11arctan)1(1)1(arctanarctan)1arctan(arctantan 2221(4) ln(1)lnln(1);1xxxxxx 避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则; 11)5( xex0;cos1)6( xx0.sincos1)7( xxx;! 41! 31! 211)5(432xxxxex ;2sin2cos1)6(2xx .2tan2c

36、os2sin22sin2sincos1)7(2xxxxxx （1 1）误差的种类及表示方法；）误差的种类及表示方法；内容小结内容小结内容小结（2 2）有效数字的定义及求解；）有效数字的定义及求解；（3 3）避免误差的五个原则。）避免误差的五个原则。 计算：计算：3)1212( 序序号号 算式算式 Math数据数据10.32 0.330.340.36)12( 27099 6)121( 270991 5/72 0040960. 0)52(6 00523278. 0)125(6 00507614. 01971 12/172 00523278. 0)125(6 16666667. 061 005019

37、95. 0)2912(6 00504626. 0237812 1列表分析列表分析例例1.14避免误差危害的若干原则 计算计算 ，取，取 ，利用下列等，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？式计算，哪一个得到的结果最好？321()21f4 . 12 61( 21)3(32 2)9970 2答案：答案：思考与练习270991 270991 定义定义1:1: 有效数字有效数字- -如果如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数称近似数x准确到小数点后第准确到小数点后第k位位,从这小数点后第从这小数点后第k位数字直到位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 定义定义2:2: 设设x x的近似值的近似值 x x* * 为为: :mnaaaax10. 0321* 0,9,.,2 , 1 , 0,.,:121 aaaan其中其中即即的的半半个个单单位位的的绝绝