反比例函数综合复习讲义

1、反比例函数知识整理1 反比例函数的概念k一般地，函数y( k 是常数，k = 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成X1y=kx的形式。自变量 x 的取值范围是 x = o 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x = 0，函数 y=0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、 三象限。在每个象限内，y 随 x

2、的增大而减小。 当 k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定k确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y中，只有一个待定系数，因x此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义k如下图，过反比例函数y= (kHO)图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM PN 则所得x的矩形 PMON 勺面积 S=PMPN=y x = xy。考点一、反比例函数的性质【例 1】已知反比例函数y=10，当 1x2 时,xy 的取值范围是(A) 0y5(B) 1y2(

3、C) 5y10yxy=k,S=k。【举一反三】1、已知 y 是 x 的反比例函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小请写出一个满足以上条件 的函数表达式2、已知一次函数 yi=kx+b (ky2时，实数 x 的取值范围是()A . x I 或 0 x3 B .一 1xO 或 0 x3 C. 1x3 D. Ox1,X1-x2 0B. X1+x2 0C.0 x1+ x2 0D. X1+x2与 X1-X2的符号都不确定【举一反三】【例 2】(2015 自贡)若点(, % ) , (x2,y2) , (X3,y3)都是反比例函数图象上的点，并且y :0*y3，则下列各式中正确的是(A. %：X2:

4、.为X3：D .X2：x3：x11、若点 A (1, y1)和点1B (2,y2)在反则 y1与 y2的大小关系是:y1y2(填“v”或“=”).2、如图，过点 C (1,2)分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线k若反比例函数y(x 0)的图像与ABC 有公共点，则x2 X 9y= x+6 于 A、B 两点,k 的取值范围是(3、如图,B. 2 斉 8P是函数y=l(x0)的图象上的一点，直线 y = X 1 分别交x轴、y2xB,过点P分别作PMLx轴于点M,交AB于点E作PNLy轴于点N,轴于点A交AB于点F,则AF- BE的值为_。考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系1【例

5、 3】已知函数y的图象在第一象限的一支曲线上有一点考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征ACOP1、( 2015 湖南常德)已知 A ( 1, .3 )是反比例函数图象上的一点，直线AC 经过点 Ak2、如图，若双曲线y与边长为 5 的等边MOB勺边OA AB分别相交于C, D两点，且xOC3BD则实数k的值为_.43、如图，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y (x 0)图象上位x于直线下方的一点， 过点P作 x 轴的垂线，垂足为点M交AB于点E,过点P作y轴的垂 线，垂足为点N,交AB于点F。则AF BE=()A.8 B.6 C.4 D. 6. 2k4、如上图中，正比

6、例函数y =3x的图象与反比例函数y (k 0)的图象交于点 B,若kx取 1, 2, 3，20,对应的 Rt AOB 的面积分别为 S!,S2，S20，则+S2+ S20=_ ；k1k5、两个反比例函数y和y在第一象限内的图象如图所示，点P在y的图象上，xxx11PC丄x轴于点C,交y-丄的图象于点A, PDLy轴于点D,交y二丄的图象于点B,当点 Pxxk在y的图象上运动时，以下结论：x及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C,求 C 的坐标及反比例函数的解析式。第 3 题图第 4 题图第 5 题图厶ODBAOCA勺面积相等；四边形PAOB勺面积不会发生变化；PA与PB始终相等； 当点

7、A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是_。考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题【例 4】如图，一次函数 yi=kix+b 的图象和反比例函数 y2=_?的图象交于 A( 1, 2), B (- 2,1、如图，在平面直角坐标系中，A( 3, 1)，以点 0 为直角顶点作等腰直角三角形AOB 双(1) 求反比例函数的解析式；(2)如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；(3)利用(2)的结果，在x轴上是否存在点P,使MOP为等腰三角形？若存在，请 把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由曲线二乞在第一象限内的图象经过点x时，x 的取值范

8、围是().B,设直线 AB 的解析式为 y2= k?x b ,当屮yC .一 6：x：1 D . 0：x : 1 或y =2x -1，其中一次函数的图象经过(a,b)、(a+1,b+k)两点.1（k 和）在第一象限内的图象经过点D、E,且 tan / BOA=.2（1） 求反比例函数的解析式和 n 的值；（2） 若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F,将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折 痕分别与 x、y 轴正半轴交于点 H、G,求线段 OG 的长.3面直角坐标系，双曲线y经过点 D,则正方形 ABCD 的面积是（）xAP/BCA. 10 B . 11 C . 12 D . 13【

9、举一反三】k1、如图，A. B是双曲线 y= 上的两点，过A点作Adx轴，交OB于D点，垂足为C.若xADO勺面积为 1,D为OB的中点，贝 Uk的值为（）k2、如图，正方形OABC勺面积是 4，点B在反比例函数y （k 0,x ”：0）的x图象上.若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M N,从矩形OMR的面积中减去其与正方形OABCt合部分的面积，记剩余考点典例五、反比例函数的图象和k 的几何意义【例 5】（2015 凉山州）以正方形 ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平BA.48C . 3 D部分的面积为S.则当S=m（m

10、为常数，且 0m0）和y二陂（x0）的图象于点 P 和 Q,连接 0P、xx0Q,则下列结论正确的是（）A.ZPOQ 不可能等于 90k4、如图，点 A （ xi, yi）、B （X2, y2）都在双曲线y=（x0）上，且xx2-xi=4,力-y2=2;分别过点 A、B 向 x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为 C、D、E、F, AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2 ,五边形 AEODB 的面积为 14 ,那么双曲线的解析式为_.课后练习一、选择题21. 已知反比例函数的图象y上有两点 A （X1,y1）、B（X2,y2），若 y1y2,贝 X1-xX2的值是（）A.正

11、数B .负数C . 非正数 D .不能确定2. （2015.河北省，第 10 题，3 分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x= 2 时，y= 20.则y与x的函数图象大致是（）y =匚旦 图象上有两点 A（X1,yj、B（X2,Xy2）,x1v0v x2,y1v y2，则 m 的取值范围是（）111 1A. mB. mvC. mD. m 2.二、填空题(B) 2 b 2 或 b - 2.(D) b - 2.9.已知双曲线y11.(2015.陕西省，第 13 题,轴、y轴的垂线与反比例函数3 分)如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3 , 2)分别作

12、X4y的图象交于 A、B 两点，则四边形MAOB 的面积为Xa)SAOB=6，SBO(=2.(1 )求一次函数的表达式；(2)求反比例函数的表达式.k15. (2015 辽宁大连)如图，在平面坐标系中，/ AOB=90 , AB/ x 轴，OB=2 双曲线 y=-x经过点 B.将厶 AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 X 轴的正半轴上.若 AB 的对 应线段CB 恰好经过点 O.(1 )点 B 的坐标和双曲线的解析式.4 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ODEF 和四边反比例函数 y=：(kz0, xF 在 x 轴的正半轴上，点 C 在边 DE 上,三、

13、解答题14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b 的图象与k在第一象限内的图象交于点xx 轴相交于点A(- 2, 0),与 y 轴交于点 C,与反比例函数B (m, n).连结 0B 若形 ABC都是正方形，点(2)判断点 C 是否在双曲线上，并说明理由 3k16.（2015 辽宁沈阳）如 图，已知一次函数yx-3与反比例函数y的图象相交于2x点A（ 4，n），与x轴相交于点B.（1）_填空：n的值为_ ,k的值为 ;（2） 以AB为边作菱形ABCD使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；k（3） 考察反比函数y的图象，当y_-2时，请直接写出自变量x的取值范围.17.（2015 湖北衡阳，25 题，分）（本小题满分 8 分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得 成人服药后血液中药物深度 y （微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示 （当 4x 乞