《导数》变式题

1、专题：极限与导数原题 1:例 14.设 f (x) =|eX(x<0),当 a 为时，函数f(x)是连续的.? + x (% > 0),解答过程：lim f (x)=£lim(a+x) =a, lim f (x)=lim ex=1,而f (0) =Q,故当 a=1 时，limfx->0 +XT0+x->0_x->0-x->0(x) =f (0),即说明函数f (x)在x=0处连续，而在xHO时,f (x)显然连续，于是我们可判断当a=1时，f (x)在(一8,+ 8)内是连续的.小结：分段函数讨论连续性，淀要讨论在“分界点”的左、右极限，进而断定连

2、续性变式1: f (x) =l2x下列结论正确的是()o x < 1,a. lim /(x)= lim f Cx)B. lim/ (x) =2, lim y 仗)不存在X >1+X >1X >1x >厂C. lim f (Q - 0,lim f(x)不存在D. lim f (x) H(QX->1 +X>1 +lim f变式2：下列图象表示的函数在尸页处连续的是()k氐C.D.原题2 :设/(x)=1 + 2*2x + b:J 0x > 0,x = 0,试确定的值，使x < 0,lim/(x)存在。% >0变式1：例1. y ax +

3、b x > 1=/(x)= <在兀=11处可导，则。=b思路： ax + bxx<lx >1:1 a+b =在x = l处可导，必连续A->rlim/(x) = 1lim/(x)=a + b /(l)=lim 冬=2心 T(T a%lim 冬=aAXTO + a%a-l原题3:得肥牛已知/W =丄,兀 ArAO则lim4”一 V 选 AAxB.2fn的值是Ax1C.4x-2()D.-2变式1 :设厂(3)h 0=4,则lim屮。一屮为(2hC. -3D.1A? 一 1解：亠匕厂T.-hf(3 一 仇)一lim U 2hTO2h选式B2:设/' (x)在勺可

4、导，则lin/ (兀+心)一几兀一彳心)f(3)=-lim2 -力TOAx等于C. 3 广(xD. 4 广(x ° )解：lim 几勺+山)一几勺一 3山)AXTOAXA- 2 广解：(X ° )由导数定 义 fg = lim /AotAx)-/A)Ax->0,Ax(勺-3心)Ax->0=lim / (勺 +心)一 / (勺)+ /(勺)Ax/?(勺)一于(勺一 3/(A+M-/U )3Ax->0+ 3x lim / 仇-3Ax)-/g)-3Ax->0=limAx->0AxAy才Go) + 3厂(兀)选D变式3:设fix).g(x)分别是定义在

5、Ax=lim / (勺 +“)一 / (勺) 心一°=4 厂(X o )R上的奇函数和偶函数，当x<0时，广(x)g(x) + y (x)g'(x) >0.且g(3)=0.则不等式Av)g(.r)<0的解集是B. (-3,0) U(0, 3)D. ( 8,- 3)U(0, 3)解：由已知得当 x<00 寸,(/(%)A. (-3,0) U (3,+ °C. ( 8, - 3)U(3,+ 8) g(x)'>0即当x<0时，/(x) g(x)单调递增(1)又?/(x), g(x)分别是定义在 R上得奇函数与偶函数? /W g(

6、x是定义在人上得奇函数Biy( x) g(x)的图像关于原点对称(2) 又 g (3)=0,贝'Jg(-3)=0g(-3) = / g =0艮叭x)g(x)图像过点(一 3,0)与(3, 0)(3)由(2) ,(3)得/ '(x)g(x)函数图像? /W g(x< 0的解集为选项 D41原题4: 原题4: lim ()=2 4-X22 +X变式1: lim匕廿2 ?,则叶X + 2变式2:已知lim 处+处+1 = 3 ,贝0 a + /? = a x-1则y=f( x)的图象最有可能的是变式1:设广(兀)是函数乐)的导函数，y=fx)的图象如右图所示A)(B)(C)(D

7、)原题5：已知函数y = xlnx.求这个函数的导数；(2)求这个函数在点 x = 1处的切线的方程变式1:已知函数y = ev.(1)求这个函数在点 x = e处的切线的方程;(2)过原点作曲线y=e*的切线，求切线的方程解：(1)依题意得：切点为(e,ee),v y'A=e e, : .k=ee,即 y=eh©+eJ（2）设切点为 （x °,戶）, ?y， x=x=e :.k=e °,由点斜式得y _ e" =e也（x _兀0）,?切线过原点，.？（） e =ex°（0-xo）,ve%° >0,. xo =1,.&#

8、39;.切点为（l,e）, k = e,由点斜式，得：ye = e（x_l）,即:y = ex.变式 2：函数 y=ax +1的图象与直线 y=x 相切，贝 U a =（）A. - B. - C. - D. 18 4 2解：设切点为（X0,y°）,v yr x=x°=2axo,:. k = 2ax 0 = 1,又? ?点do,%）在曲线与直线上，即旳 =此+1bo =-Y0由、得a=，选B4说明： 1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2.求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率 （即该点处的 导数

9、值）；（3） 若切点不明确，则应考虑先设切点 .原题 6：判断下列函数的单调性，并求出单调区间: (l)/(x) = x3 +3兀;(2) f(x) = x2 - 2x-3;(3) /(x) = sin x - x, x G (0,龙);32(4) /(x) = 2x + 3x - 24x +1.变式1：A函数解x)=/(x)f=0f-ex或广( 兀)= 1弋 +x-exe的一个单调递增区间？ e'4 1 0,2|(l-x)-e A 1e x r ?(_ 1)=(1 一兀)?厂0.?> 0,.?.兀 V 1,选?八>0,/. x<1. （理科要求：复合函数求导变式2：

10、 （1）已知函数y=Ax3 +x2 +ax-5若函数的单调递减区间是（-3, 1）,则a的值是.若函数在:1,+8)上是单调增函数，则a的取值范围是.解：若函数的单调递减区间是(-3, 1) 0(-3,1)=制广(x)<0, 若函数在1,+8)上 是单调增函数o : l,+8)gx|y'(x)>0解：y' = x 2+2x + a,因为函数的单调递减区间是(-3, 1) o ( 3,1)=罔广(x) < 0,所以-3,1是方程+2x + a = 0的两个实数根，由韦达定理，(一3) ? l = a,.: a = 3 (草图略)若函数在l,+oo)上是单调增函数

11、 O 1,+co) C |x|广(x) > 0 * ,女口图示，分类讨论： 当A<0,即4 4QW0,即Q1,*条件成立；fA>0a<l当卜lvl即一 3 < a v 1,*条件成立广no综上，a > -3,*条件成立，a>-3为所求.变式3:设心0，点P (T, 0)是函数/(x) = x3 +ax与g(x) = /?A : 2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(I )用 f 表示 a, b, c；(II)若函数y = /(x) - g(x)在(一 1,3)上单调递减，求t的取值范围.解：因为函数/(x), g(兀)的图象都过

12、点(T, 0),所以/(0 = 0,即 t3 + at = 0.因为 t H 0,所以 a = t2.g(t) = 0,即加 $ + c = 0,所以 c = ab.又因为/(X), g(兀)在点(r, o)处有相同的切线，所以广 a) = g'(f).而广(兀)=3x2 +a,g'(x) = 2 加，所以 3 尸 + Q = 2bt.将 a = t2 代入上式得 b = t.因此 c = ab = t3.故° =八，b = t, c = t(II)解法一 y = f(x) - g(x) = x 3 -t x-tx 2 +t3,y' = 3x? - 2tx-t

13、 2 = (3x + t)(x-1).由 y'<0,若 t > 0,则一-<x <t ，若 t < O,!UIJz < x < '3由题意，函数 y = fM-g(x)在(一 1,3)上单调递减，则(-1,3) u (-亍/)或(一 1,3) u (/,-j).所以 t>3 或一->3.BP? <-9 或/ >3.3所以/的取值范围为(一8 9 u 3,+8).解法二：y = /(.r) - g(x) = x3 -tx-tx +t3,y' =3x2 2tx-t 2 = (3x + /)(x-/)因为函数

14、y = f( x)-g(x)在(一 1,3)上单调递减，且 y' = (3x + t)(x-t) 是(一1,3)上的抛物线,解得/ < 9或/ >3.'(-3 + 0(-1-0 <0.(9 + 0(3-?)<0,所以t的取值范围为(一8,9 u 3,+8).原题7:求函数/(%) = * F _牡 + 4在0,3上的最大值与最小值(x)在(a,b)内的图象如图所示，贝 U函数变式1:函数/(x)的定义域为开区间(a,b),导函数广/(X)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解：注意审题，题目给岀的是导函数的图像。先由

15、导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A变式2:已知函数/(.r) = ax + bx + ex在点 心 处取得极大值 5，其导函数y = /'(%)的图象经过点 (1,0), (2,0),如图所示.求：(I ) X0的值；(II) a,b,c 的值.解：)由图得X(0, 1)1(1,2)2(2,+8)f(x)+00+f(x)J极 大*极 小 值/=5a + b + c - 5(II)依题意得 < f (1)=0 即 <3a + 2b + c = 0'(2) = 0 12a + 4b + c = 0 a =2,b =-9,c =12.

16、则 x() =l;变式3:”， 4若函数f (x) = ax3 -bx + 4 , 当x = 2时，函数/ '(x)有极值一§ ,(1) 求函数的解析式；(2) 若函数/(.r) = k有3个解，求实数 k的取值范围.2解：=3ax -b(1) 由题意：f4<3f=0解得<3b = 4:. 所求解析式为f(x) = |x 3-4x + 4(2) 由(1)可得：f(x)=x- 4 = (x-2) (x + 2)令/'(%) =0,得兀=2或兀=一 2当兀变化时，广、/的变化情况如下表X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+QO)广(X)+0-一一0+f(x

17、)单调递增/28 T单调递减43单调递增/因此，当x = -2时，/(X)有极大值寸 当x = 2时，/(x)d有极小值一扌函数/(x)=_4x + 4的y2Sy=k大負如图九13/分由图可知： < “？1i仁变式 4:已知函数 /(%) = X3 - a-x2 - 2x + c，对 xe-V(1,2),不等式f (x) <J恒成立，求c的取值范围。/巧XL/解：厂(X 丿=3x2 X 2=(3x+2)(X 1),函数/(X 丿的单调区间如下表：X(一00,23(2)31(1, +oo)f Q+00+f (x)T极大值I极小值T1222f (x) =X3 X2 2x + c, XG

18、 ( 1,2),当 X=时，f (x) = 一 +c 为极大值2327而于(2) =2+c,则于12丿=2+c为最大值。要使(x) vcXG ( 1,2)恒成立，只需 c?>f (2) =2+c 解得cv 1或c>2原题8：利用函数的单调性，证明：Inxvx<ex,x>0变式 1:证明：1 < In(x +1) < x , x > -1证明：(1)构造函数 /(x) = ln(x + l)-x,?. ?广 (x)=- 1 = (x > -1),当 x = 0,广(0) = 0,得下表x+1X+1-1 < x < 00x > 0广

19、(x)+0-一一?f(x)单调递增极大值f(0) = 0单调递减x > -1,总有 /(x) < /(0) = 0, /. ln(x + l)-x < 0, /. ln(x +1) < x.另解？.？广(x)=- 1 = (A>-1),当 x = 0,广 (0) = 0,x+1x+1当一i<x<o,广(x)oj( x)单调递增，i<xvo,y(x)vy(o) = o,综合得:当 x0, /f(x)<0,/(x)单调递减,.-.x>0,/(x)</(0)=0,当 x = 0, f(O) -O当 x> l 时，/(A) <

20、;0, ln(.r + l)-.r <0, ln(.r +1)v x构造函数g(x) = ln(x + l)+1,? .? gr(x)=一 .Ix+1x+1当 x = 0, g'( 0) = 0,当一 IvxvO, g'(x)vO,g(x)单调递减；当 X>0, g'(x)O,g(X)单调递增；？ X = 0,gO)极小值=:g (dmin =g (0) = 0,x > -1,总有 g(x) > g(0) =0,.? . In(x +1)1> 0,即：1< In(l + x).兀 +1X+1综上(1) (2)不等式1< ln(x

21、 +1)< x成立.x + 1变式：(理科)设函数f(x)=(l+x)2 ln(l+x)2 .若关于x的方程f(x)=x 2+x+a在0, 2上恰好有两个相 异的实根，求实数a的取值范围.解：方程 f(x)=x 2+x+a,艮卩 xa+1 ln( 1 +x) 2=0,记 g (x) =x a+1 ln( 1 +x)2.2r-1所以 g'(x) = 1=.由 g'(x) >0,得 x< 1 或 x>l,由 g'(x) <01 + x x + 1得一 1<X<1.所以g(x)在0, 1:上递减，在1,2:上递增，为使f(x)=x2+

22、x+a在0, 2:上恰好有两个相异 的实根，只须g(x)=O在0,1)和(1,2上各有一个实根，于是有g(0)>0,< g(l)vO,解得 2-21 n2 VQ <3-21 n3. g(2)>0.原题9:函数/(兀)=x3 +3x(x G /?),f(rnx 2)+ /(1 - mx) > 0恒成立，求实数加的取值范围解：由广=3/+3?30,得兀&( 8,+8),广0,/(劝单调递增；又兀 W ( 00,+00) , - x G (- 00,+00) , f (-x) = (- X )3 + 3( - X)= -x3 - 3x =-/(X),所以 /W

23、是奇函数.?* f (mx 2) + /(1 -mx) > 0, /(mx2)> -/(l-mx)= /(mx-1),V /(x)在(-00,+00)上单调递增，mX?加兀_1恒成立，gp. mx2 - mx + J > 0恒成立，分 类：当加=0时,10恒成立，加=0适合；°一 fm > 0当m 0, mx -mx +1 >0恒成立of解得：0<加<4;A = m 2 -4 m < 0综上，0<m<4说明： ( 1)通过研究函数的性质 ( 单调性与奇偶性 ) ，利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.（2）找寻

24、使加/>加兀-1恒成立的条件实际上依然用的是函数图像（数形结 合）的函数思想.变式：设函数=x3 + 3xx G R),若f(msin 0)+> o o <0<彳恒成立，求实数加的取值范围.解：由广=3/+3?30,得兀w ( oo,+oo),广>OJ(x)单调递增；又兀 W ( 00,+00) , - x G (- oo,+oo), f (-x) = (- %) 3 + 3( - %) = -x3 - 3x =-/(x),所以 /W 是奇函数? T/（/nsin。）一 /（1 一加）=/（加一 1）,msi门人>"1-1人0 < &

25、 W 彳亘成立，即 m（l-sin 0）< 1A0 <0<彳恒成立当 0 =兰,0<1 成立；m w R;当 OW0V 仝，m(l - sin 人)< 1? m <o221-si n &| , ?.* 0 < sin < 1, /. 0 < 1 - sin 0 <1,:. ->1,/. m < 11-s in"（1-sin 丿斷原题10：如图，曲线段0MB是函数f（x） = x0<x<6）的图象34丄兀轴于点 A,曲线 段0MB上一点若t已知，求切线PQ的方程（2）求A0AP的面积的最大值iQ,y BV/Q/|>XM（t,产）处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q解：（1）/'（X） = 2%,所以过点 M的切线的斜率为 k = f t） = It由点斜式得切线PQ方程为y-t2 = 2t（x-t）,2即 y = 2tx-t 比则=2卜円?0| = *（6 形）yQ对令x=6得=12t-t 2 令y=0得乃=打代入得=亍"6 二)(12f 八)=才户一6尸+ 36t,3,S QAP -r-12? + 36,令 印=0 解得 t = 4 或 / =12(舍去)4T(0,4)4(4,6)S，+0-S增极大值6